师教民 （sjm618@sohu.com）　2008.07.05 19:33:48

微积分的三部曲

——简评专著《微积分之谜与美》

蒋礼

摘要：阐述了微积分的发展概况，说明了专著《微积分之谜与美》真正揭开了微积分之谜，彻底解

决了第二次数学危机这个世界数学大难题．

关键词：无穷小量分析法；微积分之谜；贝克莱悖论；第二次数学危机；世界数学大难题；标准分析

法；《微积分之谜与美》；辩证分析法；变化趋势；无穷小数；微分；分微分（导数）；积微分（积分）

中图分类号：O172 文献标识码：A

1诞生曲

微积分是莱布尼茨和牛顿在1661～1680年间，以无穷小量为基点创立的，故叫做无穷小量分析法．它虽然在实践中无所不能，但却在理论上留下了微分dx既等于0又不等于0的矛盾之谜．例如：

求函数y = x²的导数时，令自变量x变化无穷小增量dx≠0，则y随之变化增量dy，所以

y +dy = (x+dx)² = x²+2xdx+(dx)²．

上式两边同减去相等的量y和x²得

dy = 2xdx + (dx)²．

因为dx是无穷小增量而非0，即dx≠0，所以，上式两边同除 以dx得

dy/dx = 2x+dx．

因为dx是无穷小量，因此可以看作或认为dx = 0（请注意：其中的“看作或认为”体现出暴力性，因为把本来不为0的dx强行看作或认为是0），所以导数为

y′= (dy/dx) =2x+dx=2x+0=2x． (1)

这样，求得的导数y′=2x虽为真值，但却留下了dx≠0和dx= 0的矛盾之谜，叫做微积分之谜．因为主要是贝克莱指出了这个谜，所以该谜又叫做贝克莱悖论．因为该谜200年后仍未揭开，所以该谜还叫做第二次数学危机 [ 第一次数学危机为根号2]，并因此成了著名的世界数学大难题．

2成长曲

为了揭开微积分之谜，科学家们陆续奋斗了约200年（可见该世界数学大难题是多么的大和难），到了19世纪中叶，柯西等人用极限学说修改了微积分，把dx≠0和dx=0的矛盾用极限符号掩盖起来，故使人们难于发现错误，所以人们就误认为揭开了微积分之谜，从而形成了现行的经典理论，叫做标准分析法．

但是，现行的标准分析法并未真正揭开微积分之谜．例如，标准分析法求函数y = x²的导数时，令自变量x变化任意增量Δx≠0，则y随之变化增量Δy，所以

y +Δy = (x+Δx)² = x²+2xΔx+(Δx)²．

Δy = 2xΔx + (Δx)²．

Δy/Δx =2x+Δx．

或在Δx→0的条件下有 lim(Δy/Δx)= lim(2x + Δx) = 2x + 0 =2x． (2)

式(1)左数第三个等号左边的dx≠0，右边的dx=0；式(2)左数第二个等号左边的Δx≠0，右边的Δx=0．而式(1)中的dx和式(2)中的Δx都是增量，所以标准分析法和无穷小量分析法一样，没有揭开微积分之谜．

另外，现行的标准分析法把任意函数y = f (x)的自变量的微分dx凭空想像地强行看作或认为就是特殊函数y = x的微分，然后用自己的微分定义求得微分dx等于其函数的自变量的增量Δx，即dx = Δx；甚至有的标准分析法名著就凭空想像地强行把dx直接规定为Δx，即dx = Δx．这种“凭空想像地强行看作或认为甚至直接规定”的暴力性，和无穷小量分析法“把本来不等于0的dx强行看作或认为是0”的暴力性是一脉相承的，所以标准分析法也和无穷小量分析法一样，没有揭开微积分之谜．

标准分析法没有揭开微积分之谜的现实，使第二次数学危机这个世界大难题的解决，延长到300多年后的今天，因此马克思批判说：“为了得到导函数，就必须令x₁=x，所以是严格数学意义上的x₁-x=0，而无须任何只是接近之类的遁辞．”美国数学家、逻辑学家鲁滨逊，也对人们做了下述批评：“在这个时期的历史写作中，有一个鲜明的对照：对于莱布尼茨及其追随者，给以严格的待遇，而对于极限学说的发起者的错误，却予以谅解．”由于人们严格地对待无穷小量分析法而谅解标准分析法的错误，因而并未发现标准分析法还增加了一个新的大错误，从而使得现行的经典理论——标准分析法的大错误增加为以下3 条：

一是“凭空想像”的，而不是来源于实践的．

二是“强行看作或认为甚至直接规定”的，而不是用公理或成熟理论推导出来的．

三是新增加的那个大错误，即把微分概念和增量概念混淆了，亦即dx = Δx．

微分概念dx和增量概念Δx混淆的大错误，还给现行的经典理论——标准分析法惹了一个大麻烦．那就是：现行的经典理论——标准分析法把瞬时速率v定义为路程增量Δs与相应的时间增量Δt之比在时间增量Δt→0时的极限．即

v=lim(Δs/Δt)=ds/dt=ds/Δt（在Δt→0的条件下）．

瞬时速率v的物理意义是：瞬时内走过的路程与瞬时之比．那么，dt是不是瞬时？若dt是瞬时，ds是瞬时内走过的路程，那么现行的经典理论——标准分析法定义的瞬时速率v=ds/dt就符合物理意义，所以能称得上是来源于实践的理论．但若dt是瞬时，那么Δt就必然是瞬时（因为dt =Δt），而Δt时间内走过的路程是Δs，所以，再按照瞬时速率v的物理意义，就应有瞬时速率v=Δs/Δt，这就与v=ds/dt=ds/Δt发生了矛盾．若dt不是瞬时，那么什么是瞬时？瞬时到底包含多少时间？如果不知道什么是瞬时，不知道瞬时到底包含多少时间，那么又怎么能知道，“路程增量Δs与相应的时间增量Δt之比在Δt→0时的极限”，就一定是瞬时速率v？这样，由于现行的经典理论——标准分析法不知道何为瞬时，不知道瞬时到底包含多少时间，而使得它的瞬时速率v的定义，又成了上述的强行看作或认为甚至直接规定的了．

再说，如果用强行看作或认为甚至直接规定的办法就能产生理论的话，那么世界上就不会再有大难题了，因为遇到大难题时，把它强行看作或认为甚至直接规定一下，不就解决了吗？

3成熟曲

为了揭开微积分之谜，纠正现行经典理论的上述三大错误，师教民先生遵循世界四大数学家之一欧拉的“发明既等于0而又不同于0的新数”的伟大设想，本着世界集合论最高权威之一弗朗克尔的“要想检验无穷小量的功能，只须看它能否应用到微积分里去”的美好愿望，按照一位微积分理论伟大专家说的“要想使微积分理论真正成熟，非淘汰极限理论不可”的至理名言，运用唯物辩证法的对立统一规律，在他的理论专著《数理理论新探讨》三部曲的第一部《微积分之谜与美》和第三部《两地书中论科学》中创立了新的微积分理论，叫做辩证分析法，其主要特点有以下4条：

①坚持了理论来源于实践的原则，在实践原型中抽出了变化趋势的新概念，把带有变化趋势的0定义为无穷小数，把某种特殊函数的无穷小数增量定义为该函数的微分，把函数的微分和函数自变量的微分之比定义为该函数的分微分（导数），把函数的微分的无限积累定义为该函数的积微分（积分），从而创立了新的微积分理论，知道了无穷小究竟小到多少，微分真正微到什么程度，瞬时到底包含多少时间；揭开了微积分之谜，揭示出微积分之本质，展现出微积分之内在美，平息了第二次数学危机，攻克了这个世界数学大难题；解决了现行经典理论掩盖的矛盾，纠正了标准分析法的三大错误．

②由于师教民的新理论揭示出微积分的本质，解决了这个世界数学大难题，所以淘汰了现行的经典理论中最复杂、最繁琐、最难懂的极限理论，从根本上简化了标准分析法．这一突破性、原创性、革命性的措施，大大地降低了理解的难度，缩短了教学的时间．体现出极强的社会效益和极高的经济价值．

③师教民的新理论从根本上简化现行经典理论——标准分析法的典型例子是：在推导弧微分及弧长公式时，将现行的经典理论——标准分析法长达10页约8 000汉字的、仍有瑕疵的、很难理解的推导，缩短为不足100汉字，而且极易理解（其他例子也很多，见理论专著《数理理论新探讨》三部曲的第一部《微积分之谜与美》和第三部《两地书中论科学》），故能使人们节约大量的时间和精力，这就具体地表现出极强的社会效益和极高的经济价值．

④师教民的新理论还能解决许多现行经典理论所不能解决的问题，例如，现行经典理论只知道直角三角形直角边上的点和斜边上的点个数因为具有一一对应关系而相等，但不知道长直线（斜边）上的点与短直线（直角边）上的点的个数为何相等．师教民的新理论则能解释这一现象，这又体现出它的效益和价值．

4曲后话

①有人曾提出这样的疑问：既然微积分之谜（贝克莱悖论，第二次数学危机）这个世界数学大难题并未真正解决，那么为什么继续研究的人却非常少呢？这有以下两条原因：第一条原因是，标准分析法诞生前的200年中许多大数学家的心血都化为泡影，以后几代人的努力也宣告失败（如马克思的数学手稿，鲁宾逊的非标准分析法，鲁宾逊的著作中提到的进行种种尝试的人们，都未真正解决第二次数学危机），体现出解决这一大难题的艰难性，因此使人们望而生畏，从而人们便放弃了继续研究．正是因为此，凡是世界级的大难题，研究的人都非常少，据报道，现今世界上研究哥德巴赫猜想的专职人员仅有20～30人．第二条原因是，因为现行的经典理论——标准分析法求得的导数值正确，能解决不少实际问题．

②所以，又有人为现行的经典理论辩解说，求得的导数值正确、能解决实际问题就够了，何必费心劳神地去追求理论上的完美呢？可是莱布尼茨、牛顿的无穷小量分析法求得的导数也正确啊！因此它无所不能地解决了生产实践中的许多问题，成了18世纪统治科学论坛的皇帝，横行天下200年．那么，人们为什么还要去花费约200年的宝贵时光和消耗几代人的珍贵心血，来费心劳神地创立现行的经典理论——标准分析法呢？陈景润的1+1又生产不出袁隆平的大米，为什么非要为它累死不可呢？难道说这不是“理论的严密性”所要求的吗？何况标准分析法还有不少问题不能解决呀！再说，简单明了、极为严密、浅显易懂的新理论总要比繁琐复杂、多有瑕疵、深奥难解的旧学说好哇！为什么非要抱残守缺、墨守成规、故步自封不可呢？

科学！不是宗教，不是迷信，不是习惯．醒悟吧！人们．

参考文献：

[1]中国科学院数学研究所资料室．非标准分析[C]．北京：中国科学院数学研究所，1976，10．

[2]Г · М · ФИХТЕЕНГОЛЪЦ[苏]．数学分析原理[M]．吴亲仁，陆秀丽，丁寿田译．北京：高等教育出版社，1959，6～1962，12．

[3]樊映川等．高等数学讲义[M]．北京：人民教育出版社，1964，7～10．

[4]韩云瑞，扈志明．微积分教程（上）[M]．北京：清华大学出版社，1999，9．

[5]欧阳光中，姚允龙，周渊. 数学分析[M]. 上海：复旦大学出版社，2003，10．

[6]Karl Marx[德]．数学手稿[J]．复旦学报，1975，(1).

[7]A·Robinson[美]．非标准分析[M]．申又枨，王世强，张锦文等译．北京：科学出版社，1980，9．

[8]师教民，微积分之谜与美[M]．石家庄：河北科学技术出版社，2007，8．

[9]师教民，两地书中论科学[M]．石家庄：河北科学技术出版社，2007，8．

The trilogy on the calculus

——A simple comment on the riddle and beauty of the calculus

JIANG Li

Abstract：Expound general situation of development of the calculus. Explain that a book on a special subject——the riddle and beauty of the calculus reveals really the riddle of the calculus, solves thoroughly major difficult problem of world mathematics called the second mathematics crisis.

Key words：the infinitesimal analysis method；the riddle of the calculus；the Berkeley′s paradox；the second mathematics crisis；a major difficult problem of world mathematics；the standard analysis method；the riddle and beauty of the calculus；the dialectical analysis method；the variation trend；the infinitesimal number；the differential；the divided differential(the derivative)；the accumulative differential(the integral)

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