师教民 （sjm618@sohu.com）　2008.04.23 20:00:52

师教民网谈微积分（3-1）

尊敬的eigolomoh先生：您好！

我于2001年5月1日对包学行［bsese(b77行)］先生转给我的、您于2001年04月19日16时10分54秒发出的电子邮件做出答复以后，又收到您2001-07-27 21:04:59整理的邮件，现整理并答复如下：

1 您的邮件

您2001-07-27 21:04:59整理的电子邮件的主题为：师教民的关于“新理论体系”的回答和异调的驳斥，全文如下：

发信人: eigolomoh(异调)

整理人: eigolomoh(2001-07-27 21:04:59)，站内信件

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作 者:bsese(b77行)2001-06-12 09:28:06

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异调兄，我将您的意见转给了师教民先生，师教民先生给您作了答复：(转达不够及时请见谅.)

包学行(b77@126.com)

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作 者:eigolomoh(异调)2001-06-1216:18:48

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【在bsese的大作中提到：】

: 师教民先生对异调兄的答复

: 异调兄，我将您的意见转给了师教民先生，师教民先生给您做了答复：(转达不够及时请见谅.)

微积分理论是牛顿、莱布尼茨创立的，但是已经经过柯西和魏尔斯特拉斯的严格化，现在在学校里教授的微积分，就是这种严格化的经典理论．

师先生以为学学贝克莱大主教攻击一下创立时不完善的微积分理论，就算找出了经典理论的错误，是可笑的．师先生不知道是从哪本经典分析教程中看来的“经典理论把函数

y = f(x)

的微分定义为

dy = y′∆x，

把

y = f(x)

的自变量x的微分定义为

dx=∆x”？

他总可以象（师教民按：应该为像）大学一年级学生那样去学学用ε—δ语言定义的极限概念，以及在此概念上建立起来的导数概念吧．现代数学分析中形式化的微分计算，如果看得懂也可以看．

工程数学中的许多符号的用法是约定俗成的，从纯数学方面看来有不严格的地方，也是很平常的（就象［师教民按：应该为像］物理学家一样），不过师先生不是为了去严格工程数学吧．不要打马虎眼，抄一个实用的例子，就算找到了经典理论的错误．去把那两本书上的微分的定义抄下来，再来看是师先生自己理解错了，还是经典理论错了．

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作者:eigolomoh(异调)2001-06-1217:07:38

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【在bsese的大作中提到：】

: 师教民先生对异调兄的答复

: 异调兄，我将您的意见转给了师教民先生，师教民先生给您做了答复：(转达不够及时请见谅.)

补充一点：经典分析理论中没有无穷小量的定义．在经典分析理论中，dy和dx并不是师先生所理解的无穷小量（师先生把牛顿、莱布尼茨的理论随便地混在现代经典理论里，那当然是爱得出什么矛盾就得出什么矛盾了），而把它们看作（做）是在某点定义的线性函数，那么把函数

y = f(x)

的微分定义为

dy = y′∆x，

把

y = f(x)

的自变量x的微分定义为

dx=∆x

的确是可以的，但是不严密（但这并不就是说就没有严密的定义了），事实上这里的dy是一个值为线性函数的函数，就是说，dy在x₀点定义了一个线性函数

L(x) = y′(x₀)·(x- x₀)，

这个L是随着x₀的变化而变化的．

所以我们就可以看出师先生自以为找出的矛盾是什么了，如果∆x不为零，那么(3)和(2)式中的dr根本就不是定义在同一个r₀点的线性函数（一个定义在r (t₀)，另一个定义在 r(t)），它们不相同是很正常的，而这里表示的正是如果∆t趋于零，则这两个线性函数趣（师教民按：应为趋）于相同的意思．但是正象（师教民按：应为像）我上面所说，这种计算是不严密的，因为它把两种dr都写成一个符号（符号上混起来，但并非在定义上混起来）．任何包含了o(∆x)的式子，都应该在极限意义下理解，所以在此例子下，所有的式子都应在极限的意义下理解，也就是每个式子两边都该取x→x₀的极限．

但是真正的严格化早已在本世纪初完成．师先生要推翻经典理论，就去找找象(师教民按：应为像)鲁丁（W.Rudin）的《实分析和复分析》这样的分析经典教程的“矛盾和错误”．

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2 我的答复

1) 对您的上述反驳意见，我逐条答复如下：

① 您反驳我说：“微积分理论是牛顿、莱布尼茨创立的，但是已经经过柯西和魏尔斯特拉斯的严格化，现在在学校里教授的微积分，就是这种严格化的经典理论．”

您的这条反驳意见实际上并未反驳我，因为您的这条意见与我的观点一致．例如，我在答复您的意见中说：“微积分理论是英国数学家、哲学家、物理学家、天文学家牛顿（Isaac Newton，公元1642.12.25～1727.3.20），德国数学家、哲学家、自然科学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，公元1646.7.1～1716.11.14)创立的，并叫做无穷小量分析法．”该法“出现了

dx≠0

和

dx=0

的矛盾，叫做微积分之谜．由于科学家们无法否认这一矛盾，所以便形成第二次数学危机，并载入数学史册．因这个矛盾主要是被英国哲学家贝克莱（George Berkeley，公元1685.3～1753.1，一说公元1684～1753）发现（贝克莱说，dx到底是不是0？如果它是0，那么它就不能做除数，从而对于函数

y = x²

的导数，就不能从

y′= dy/dx=[2xdx+(dx)²]/dx

中约去dx而得到

y′= 2x+dx；

如果它不是0，那么就不能忽略它而得到

2x+ dx =2x+0 =2x，

如果非要忽略它不可，那么得出的2x就应该是近似值，但是事实上2x确实是真值．这样，贝克莱就发现了

dx≠0

和

dx=0

的矛盾），而人们又不服贝克莱，所以又叫做贝克莱悖论．为了解决这个矛盾，世界科学家们陆续奋斗了约200年．到19世纪中叶前后，捷克斯洛伐克数学家、哲学家、逻辑学家波尔查诺(Bernard或Bernhard Bolzano，公元1781.10.5～1848.12.18)，法国大数学家柯西（Augustin Louis Cauchy，公元1789.8.21～1857.5.22），德国大数学家维尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，公元1815.10.31～1897.2.19）、戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind，公元1831.10.6～1916.2.12）、康托尔（Georg Ferdinand Philip Cantor，公元1845.3.3～1918.1.6）等人，经过多年的刻苦钻研，以极限过程为基点修改了微积分，创立了至今仍在使用的标准分析法，形成经典理论．”

从上述我答复您的意见和您反驳我的意见看出，对于微积分从创立时的无穷小量分析法，发展成成为经典理论的标准分析法的过程，我们的观点是一致的．因此，您反驳的并不是我的观点。

接续篇：师教民网谈微积分（3-2）

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