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 师教民 （sjm618@sohu.com） 2008.04.23 19:58:11
师教民网谈微积分（3-2）
② 您对我反驳说：“师先生以为学学贝克莱大主教攻击一下创立时不完善的微积分理论，就算找出了经典理论的错误，是可笑的．师先生不知道是从哪本经典分析教程中看来的‘经典理论把函数
y = f(x)
的微分定义为
dy = y′∆x，
把
y = f(x)
的自变量x的微分定义为
dx=∆x’？
他总可以象（师教民按：应该为像）大学一年级学生那样去学学用ε—δ语言定义的极限概念，以及在此概念上建立起来的导数概念吧．现代数学分析中形式化的微分计算，如果看得懂也可以看．”
您说：“师先生以为学学贝克莱大主教攻击一下创立时不完善的微积分理论，就算找出了经典理论的错误”，这并不是我的观点，因为我虽然在答复您的意见中提到“贝克莱批判不完善的微积分理论”，但是我并未把这“就算找出了经典理论的错误”，贝克莱大主教攻击的并不是经典理论，贝克莱去世时经典理论的创立者们都还没有出生，因此，我也没有办法把“贝克莱批判不完善的微积分理论，就算找出了经典理论的错误”．“经典理论”即您所说的“柯西和魏尔斯特拉斯严格化”的理论的错误是我自己找出的．所以，“师先生以为学学贝克莱大主教攻击一下创立时不完善的微积分理论，就算找出了经典理论的错误”，是您假设的观点并强加给我后再进行反驳的．因此，我并不是像您所说的“是可笑的”．但我也决不会说“您把自己假设的观点强加给我并进行反驳”的行为是可笑的．因为我是科学工作者，只对学术观点发表评论，绝不对人的行为说长道短．
您说：“师先生不知道是从哪本经典分析教程中看来的‘经典理论把函数
y = f(x)
的微分定义为
dy = y′∆x，
把
y = f(x)
的自变量x的微分定义为
dx=∆x’？”
您的这个提问令我大吃一惊．因为我在答复您的意见中，已经说明“经典理论把函数
y = f(x)
的微分定义为
dy = y′∆x，
把
y = f(x)
的自变量x的微分定义为
dx=∆x”，
是从世界名著、苏联数学家菲赫金哥尔茨（Григорий Михайлович Фихтенголъц，公元1888.6.5 ～1959.6.26）著的，吴亲仁、陆秀丽、丁寿田译的、高等教育出版社 1959年 6 月～1962 年12月第1版的《数学分析原理》（简称为菲书）和中国名著、樊映川（Fan Yingchuan，公元1900～1967）等编的《高等数学讲义》（人民教育出版社1964年7月，10月第2版．简称为樊书）中看来的．因此您就应该知道了，但您为何说“不知道”呢？事实上，不仅上述两部名著是那样定义微分的，而且所有的经典微积分著作都是那样定义微分的，然而您却说“不知道”．
我在想，您作为一个数学专家，竟然对经典微积分著作中最基本、最重要、最起码、最常用的概念之一——“微分”都“不知道”，这还不令我大吃一惊吗？为了让您“知道”了“微分”的定义后再与我讨论，我现在再次把菲书和樊书（您在反驳我时曾经提到：把那两本书上的微分的定义抄下来）中的微分定义抄下来，请您千万不要再忘记了：
菲书在第1卷第1分册第169页中说：“…函数
y = f(x)
的微分永远是等于
dy = yx′∆x①， (2)
这里我们还要着重地指出，在这个表达式内的∆x是被我们理解为自变量的一个任意增量，……完全不必去假定∆x是个无穷小量，……”．
菲书在第1卷第1分册第170页中说：“最后我们来看看自变量x的本身：它的增量∆x，就叫做它的微分，即规定
dx=∆x， (4)
假若把自变量x的微分与函数
y =x
的微分看作（做）是同样的（这同样是一种规定！），那么引用(2)式就可以证明公式(4)：
dx= xx′∆x=1·∆x=∆x．”
樊书在上册第279页中说：“定义设函数
y = f(x)
在点x有导数y′，则自变量的增量∆x与这个导数的乘积
y′∆x
叫做函数在该点x的微分，记作（做）
dy = y′∆x； (3)
这时（即微分存在亦即导数存在时）并叫函数在该点x是可微的．……微分表达式(3)中的∆x是自变量x的一个任意增量（并且不依赖于x），不必假定它是无穷协…”．
樊书在上册第280页中说：“我们把自变量x的微分认为就是函数
y =x
的微分，则根据前节的式(3)，
dx= dy =(x)′∆x=1·∆x=∆x．”
尊敬的eigolomoh先生，您可一定要记住上述的经典理论的微分定义啊！千万不要再说“不知道是从哪本经典分析教程中看来的微分定义”了．
您在这一段的末尾说：“他总可以象（师教民按：应为像）大学一年级学生那样去学学用ε—δ语言定义的极限概念，以及在此概念上建立起来的导数概念吧．现代数学分析中形式化的微分计算，如果看得懂也可以看．”
您这句话我未看懂，我猜想您的意思是：您认为我对经典微积分理论学的很肤浅，应该像大学一年级学生那样继续学习（我若猜错，您可再说明白些，我重新答复）．
我认为，学的肤浅不肤浅，不能只凭一句没有任何理由支持的口号了断．而应该看这个人掌握的知识是否与经典理论的内容一致．一致则为“学的很深入”，不一致则为“学的很肤浅”．我掌握的微积分知识与世界名著菲书和中国名著樊书等经典理论的内容一致，因此就不能说我肤浅了．而您连经典微积分理论最起码的微分定义都不知道，这算不算“学的很肤浅”呢？
③ 您对我反驳说：“工程数学中的许多符号的用法是约定俗成的，从纯数学方面看来有不严格的地方，也是很平常的（就象[师教民按：应为像]物理学家一样），不过师先生不是为了去严格工程数学吧．不要打马虎眼，抄一个实用的例子，就算找到了经典理论的错误．去把那两本书上的微分的定义抄下来，再来看是师先生自己理解错了，还是经典理论错了．”
我在答复您的意见中引用的世界名著菲书是“纯数学”理论专著，是与工程数学课本截然不同的．我引用的中国名著樊书是工科数学教材，它的基本概念是与“纯数学”理论专著完全相同的，这一点可以从我上述引用的微分定义中看出来；它与“纯数学”理论专著的不同点是，把“纯数学”理论专著中复杂、难懂且用处不大的内容删掉了，例如，樊书把菲书中关于一致连续的内容删掉了；它与您所说的“工程数学”课本的不同点是，不出现您所说的“不严格的地方”．我说微积分经典理论中有矛盾和错误，是指的“纯数学”理论专著和基本概念与“纯数学”理论专著完全相同的工科数学教材，我举的例子也是上述的理论专著和工科数学教材，而您把上述的理论专著和工科数学教材当成工程数学课本来批判，那就不是批判我的观点了．尽管您把工程数学课本假设成理论专著或工科数学教材，从而把您假设的这一观点强加给我并予以批判，尽管您未弄清工程数学课本和工科数学教材的区别而将其混淆，但是我决不会说您“是可笑的”．因为我是科学工作者，只对学术观点发表评论，决不对人的行为评头品足．
您说：“工程数学…有不严格的地方，也是很平常的(就象[师教民按：应为像]物理学家一样)，…”
您这句话是非常错误的．因为我兼任物理学教授，经常接触物理学家，他们不论是研究理论，还是进行实验，都非常认真严格，不像您所说的“有不严格的地方”．至于您说到的“工程数学中”是否“有不严格的地方”，我就不清楚了，因为我没有从事过工程数学的教学和研究．
您说：“不要打马虎眼，抄一个实用的例子，就算找到了经典理论的错误．去把那两本书上的微分的定义抄下来，再来看是师先生自己理解错了，还是经典理论错了．”
首先，我不是“打马虎眼，抄一个实用的例子”，上述“实用的例子”不是我抄来的，是我在教授物理学时总结出来的．因此我也没有“就算找到了经典理论的错误”，而是真正“找到了经典理论的错误”．您不是说“把那两本书上的微分的定义抄下来，再来看是师先生自己理解错了，还是经典理论错了”吗？我已在上述⑴中②里抄下来了，就让大家看看是谁错误吧！您说“是师先生自己理解错了”，那么您为什么不指出我错在何处呢？为什么只喊一句“再来看是师先生自己理解错了，还是经典理论错了”的口号而不说明理由呢？是没有能力说明理由吗？
接续篇：师教民网谈微积分（3-3）
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