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师教民网谈微积分（3-3）
④ 您对我反驳说：“补充一点：经典分析中没有无穷小量的定义．在经典分析理论中，dy和dx并不是师先生所理解的无穷小量（师先生把牛顿、莱布尼茨的理论随便地混在现代经典理论里，那当然是爱得出什么矛盾就得出什么矛盾了），而把它们看作（做）是在某点定义的线性函数，那么把函数
y = f(x)
的微分定义为
dy = y′∆x，
把
y = f(x)
的自变量x的微分定义为
dx=∆x
的确是可以的，但是不严密（但这并不就是说就没有严密的定义了），事实上这里的dy是一个值为线性函数的函数，就是说，dy在x0点定义了一个线性函数
L(x) = y′(x0)·(x- x0)，
这个L是随着x0的变化而变化的．”
您说“经典分析中没有无穷小量的定义”，这再次让我大吃一惊．因为无穷小量是经典理论中最基本、最重要、最起码、最常用的概念之一．上述的世界名著、“纯数学”理论专著菲书和中国名著樊书以及所有的经典理论著作都把无限趋于0的变量或函数定义为无穷小量，简称为无穷小．例如，菲书在第1卷第1分册第55页中说：“以零为极限的变量xn叫做无穷小量，或简称为无穷斜；“若对于足够大的序号，变量xn的绝对值可变得小于并保持小于预给的任意小数
ε>0，
则它叫做无穷小．”中国名著樊书在上册第217页中说：“如果函数f(x)当
x→x0
（或x→ ∞）
时的极限为零，这时函数f(x)叫做
x→x0
（或x→ ∞）
时的无穷小．”在上册第218页中说：“定义 如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正数δ(或正数N )，使得对于适合不等式
0 <∣x- x0∣< δ
(或∣x∣> N )
的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式
∣f(x)∣< δ，
则称函数f(x)当
x→x0
（或x→ ∞）
时为无穷小．”
我在想，您作为一名数学专家，竟然连经典微积分理论中最起码的常识（无穷小量）都不知道，这还不令我再次大吃一惊吗？
您说：“在经典分析中，dy和dx并不是师先生所理解的无穷小量（师先生把牛顿、莱布尼茨的理论随便地混在现代经典理论里，那当然是爱得出什么矛盾就得出什么矛盾了），…”
在经典分析中，dy和dx的确不是无穷小量，所以我也未在经典分析中把它们理解成无穷小量．我只是在莱布尼茨、牛顿的无穷小量分析法中把dx理解成无穷小量．这一点我已经在答复您的意见中说明了，所以您认为dy和dx是我在经典分析中理解成的无穷小量，就是您把您假设的观点强加给我了．您说我“把牛顿、莱布尼茨的理论随便地混在现代经典理论里”，这就更是您把您假设的观点强加给我了，因为我在答复您的意见中，已经把牛顿、莱布尼茨的无穷小量分析法和成为现代经典理论的标准分析法以公元第19世纪中叶前后为界，泾渭分明地分开了．正是因为您上述说我的“把牛顿、莱布尼茨的理论随便地混在现代经典理论里，那当然是爱得出什么矛盾就得出什么矛盾了”是您假设后又强加给我的观点，所以您也只能是空喊口号，而无法再说明理由，因此您也就没有说明理由．
您说：“而把它们看作（做）是在某点定义的线性函数，那么把函数
y = f(x)
的微分定义为
dy = y′∆x，
把
y = f(x)
的自变量x的微分定义为
dx=∆x
的确是可以的，但是不严密（但这并不就是说就没有严密的定义了）”．您说我引用的菲书和樊书中的微分定义“是可以的”，其实不然，其实是根本就是这样．您说我引用的菲书和樊书中的微分定义“不严密”，这就与我的观点相同了，既然您的观点与我的观点相同，为什么您还说我理解错误而反驳我呢？您说“但这并不就是说就没有严密的定义了”．那么您为什么不说出那个“严密的定义”呢？是无能力说出来吗？如果您有能力说出那个“严密的定义”来，肯定会否定经典理论的那个“不严密的定义”．这样就否定了您所崇拜的经典理论．也就是说，您拿自己的矛戳了自己的盾，出现了自相矛盾．
您说：“事实上这里的dy是一个值为线性函数的函数，就是说，dy在x0点定义了一个线性函数
L(x) = y′(x0)·(x- x0)，
这个L是随着x0的变化而变化的．”
您的这段话让我第3次大吃一惊．因为在这段短短的话里就出现了1条根本性错误．现说明如下：
经典数学理论中的一元单值函数的定义为：若对于变量x的每一个取值，变量y（本例中为dy）就依照一定的法则，有一个确定的值与之对应，则称变量 y（本例中为dy）为变量 x 的一元单值函数．其中：x为自变量，其取值范围叫做定义域，y（本例中为dy）为因变量，其取值范围叫做值域，因变量y（本例中为dy）依照的一定法则叫做函数关系．（上述一元单值函数的定义见经典理论名著菲书、樊书以及其他的经典理论著作）．据此定义知，您说的上式
L(x) = y′(x0)·(x- x0)
中的因变量L是随着自变量x的变化而变化的，并不是像您所说的“L是随着x0的变化而变化的．”因为x0是固定点而非自变量．
我在想，您作为一名数学专家，竟然连经典微积分著作中最基本、最重要、最起码、最常用的概念之一——“函数”及其表示法都不知道，这还不令我第3次大吃一惊吗？
我还想，我3次大吃一惊后，终于明白了：在您和包学行先生即bsese（b77行）先生对我的专著的讨论中，您只是空喊口号而不敢涉及实际问题的真正原因．
接续篇：→ 师教民网谈微积分（3-4）
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师教民 （sjm618@sohu.com） 上传2008.04.23
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