微积分的三部曲

——《微积分之谜与美》简简评

⑴诞生曲：微积分是莱布尼茨和牛顿在1661～1680年间，以无穷小量为基点创立的．它虽然在实践中无所不能，但却在理论上留下了微分dx既等于0又不等于0的矛盾之谜．例如：

求函数y = x²的导数时，令自变量x变化无穷小增量dx，则y随之变化增量dy，所以

y +dy = (x+dx)² = x²+2xdx+(dx)²．

上式两边同减去相等的量y和x²得

dy = 2xdx + (dx)²．

因为dx是无穷小增量而非0，即dx≠0，所以，上式两边同除以dx得

dy / dx = 2x + dx．

因为dx是无穷小量，因此可以看作或认为dx= 0（请注意：其中的“看作或认为”体现出暴力性，因为把本来不为0的dx强行看作或认为是0），所以导数为

y′= (dy / dx) = 2x + dx = 2x + 0 =2x．

这样，求得的导数y′=2x虽为真值，但却留下了dx≠0和dx=0的矛盾之谜，叫做微积分之谜．因为贝克莱首先指出了这个谜，所以该谜又叫做贝克莱悖论．因为该谜200年后仍未揭开，所以该谜还叫做第二次数学危机（第一次为根号2），并因此成了著名的世界数学大难题．

⑵成长曲：为了揭开微积分之谜，科学家们陆续奋斗了约200年，到19世纪中叶，柯西等人用极限理论修改了微积分，把dx≠0和dx = 0的矛盾用极限符号掩盖起来，因而使人们难于发现错误，所以人们就误认为揭开了微积分之谜，因此便形成了现行的经典理论．

但是，现行的经典理论把任意函数y = f (x)的自变量的微分dx凭空想像地强行看作或认为就是特殊函数y = x的微分，然后用自己的微分定义求得微分dx等于其函数的自变量的增量Δx，即dx = Δx；甚至有的名著就凭空想像地强行把dx直接规定为Δx，即dx = Δx．这种“凭空想像地强行看作或认为甚至直接规定”的暴力性，和莱布尼茨、牛顿的理论“把本来不为0的dx强行看作或认为是0”的暴力性是一脉相承的，所以，现行的经典理论也和莱布尼茨、牛顿的理论一样，没有揭开微积分之谜，从而使这个世界数学大难题的解决，延长到300多年后的今天，并且它还增加了一个新的大错误．归纳起来，它的大错误有以下3 条：

①是“凭空想像”的，而不是来源于实践的．

②是“强行看作或认为甚至直接规定”的，而不是用公理或成熟理论推导出来的．

③新增加的大错误是，把微分概念和增量概念混淆了（即dx = Δx）．

⑶成熟曲：为了揭开微积分之谜，纠正上述的现行经典理论的三大错误，师教民在他的理论专著《微积分之谜与美》中创立了新的微积分理论，其主要特点有以下3条：

①坚持了理论来源于实践的原则，在实践原型中抽出了变化趋势的新概念，把带有变化趋势的0定义为无穷小数，把某种特殊函数的无穷小数增量定义为该函数的微分，把函数的微分和函数自变量的微分之比定义为该函数的分微分（导数），把函数的微分的无限积累定义为该函数的积微分（积分），从而揭开了微积分之谜，揭示出微积分之本质，展现出微积分之内在美；解决了现行经典理论掩盖的矛盾，纠正了现行经典理论的三大错误．

②由于师教民的新理论揭示出微积分的本质，解决了这个世界数学大难题，所以淘汰了现行的经典理论中最复杂、最难懂的极限理论，从根本上简化了现行的经典理论．这一原创性的、革命性的措施，使得微积分的教学活动收到了良好的效果．

③师教民的新理论从根本上简化现行经典理论的典型例子是：在推导弧微分及弧长公式时，将现行的经典理论长达10页约8 000汉字的、仍有瑕疵的、很难理解的推导，缩短为不足100汉字，而且极易理解．其他例子也很多，见理论专著《微积分之谜与美》．

曲后话：有人为现行的经典理论辩解说，求得的导数正确、能解决实际问题就够了，何必费心劳神地去追求理论上的完美呢？可是莱布尼茨、牛顿的理论求得的导数也正确啊！因此它无所不能地解决了生产实践中的许多问题，成了18世纪统治科学论坛的皇帝，横行天下200年．那么，人们为何还要费心劳神地去创立现行的经典理论呢？陈景润的1+1又产不出袁隆平的大米，为何非为它累死不可呢？难道这不是理论的严密性所要求的吗？再说，简单明了、极为严密、浅显易懂的理论总比繁琐复杂、多有瑕疵、深奥难解的学说好哇！

科学！不是宗教，不是迷信，不是习惯．醒悟吧！人们．

山野狂夫

2008.3.15 于 峰溪静野园 樵渔庐

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