师教民与他的数理理论新探讨三部曲之第一部曲：微积分之谜与美

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师教民 （sjm618@sohu.com）　2008.02.17 12:14:44

师教民与他的数理理论新探讨三部曲之第一部曲：微积分之谜与美

作者：师教民时间：2007年10月20日

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2007-10-20

前言

社会生产的发展，推动了自然科学的发展．从而使数学从研究常数运算发展到研究变数运算；从分析有限量问题发展到分析无限量问题．于是，要求数学革命的形势就摆在了人们的面前．

在这种形势下，英国数学家、哲学家、物理学家牛顿（Isaac Newton，公元1642.12.25～1727.3.20），德国数学家、哲学家、数理逻辑学家、自然科学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，公元1646.7.1～1716.11.14)，分别于公元第1661～1670年间和公元第1671～1680年间，各自以无穷小量为基点，分别创立了微积分理论，所以叫做无穷小量分析法．该法运算结果准确无误、丝毫不差，从而解决了社会生产所提出的许多重大实际问题，成为公元第18世纪统治科学论坛的皇帝．但无穷小量分析法却在理论上留下了微分和的矛盾之谜，被叫做微积分之谜．英国大哲学家贝克莱（George Berkeley，公元1685.3～1753.1，一说公元1684～1753），对微积分之谜进行了深刻地剖析和严肃地批判，并以此来全面否定微积分理论．因而引起坚持真理、信仰科学的数学家们的强烈不满．所以，数学家们便把贝克莱对微积分之谜的剖析和批判叫做贝克莱悖论．为了揭开微积分之谜，科学家们陆续奋斗了约200年，但未取得成功．虽然世界四大数学家之一，瑞士数学家、力学家、物理学家欧拉(Leonhard Euler，公元1707.4.15～1783.9.18)，希图发明既等于0而又不同于0的新数，从而达到了揭开微积分之谜的边缘，但最终还是功亏一篑．可见揭开微积分之谜是多么的难！因此，微积分之谜又被人们叫做第二次数学危机，成为世界重大数学难题．

到公元第19世纪中叶前后，法国著名数学家柯西（Augustin Louis Cauchy，公元1789.8.21～1857.5.22）等人，以极限过程为基点、以成为标准数的实数为极限过程无限趋近的目标修改了微积分，创立了标准分析法．标准分析法虽然大大丰富了微积分的内容，但却未真正揭开微积分之谜，只是把和的矛盾用极限符号掩盖起来，从而使第二次数学危机在表面上得到了缓解，所以便使一些人误认为它已揭开了微积分之谜．并且，还因为直到公元第1961～1970年间，人们还没有创造出比标准分析法更好的方法，所以，标准分析法便取代了无穷小量分析法的统治地位，成为人们心目中的经典理论．

但是，另有一些人却看透了标准分析法的本质与把戏，并在标准分析法统治微积分论坛的100多年中，进行了自始至终的坚持不懈的探索，以各种各样的心态提出了形形色色的新观点．这方面的例子很多，现举几例如下：

① 世界辩证唯物主义大师，伟大的德国经济学家、哲学家马克思（Karl Marx，公元1818.5.5～1883.3.14），对正在形成的标准分析法的弊病进行了严肃的批判，提出了微分，在数值上等于0的新思想，但他并未建立起新的理论体系．因此，这一新思想只是受到了人们的高度赞扬，而不能用来解决实际问题．

② 世界集合论最高权威之一，以色列逻辑学家、数学家弗朗克尔（Abraham Adolf Fraenkel，公元1891.2.17～1965.10.15），针对标准分析法中的无穷小量概念与微积分理论脱节的现状，表达了一个“要想检验无穷小量的功能，只须看它能否应用到微积分里去”的美好愿望．指明了建立微积分理论体系的正确思路．

③ 美国数学新秀、逻辑学家鲁滨逊（Abraham Robinson，公元1918.10.6～1974.4.11），也于公元第1961～1970年间，运用数理逻辑推理的方法，证明了绝对值大于0而又小于所有正实数的实无穷小数的存在，建立起超实数系，创立了与标准分析法分庭抗礼的非标准分析法．非标准分析法在一些人的拥戴、推动和宣传下，很快就传遍了全球．迫使国际数学界承认它是一套新的理论体系，并载入世界数学史册．但是，由于非标准分析法理论严重地脱离实际，致使它未能真正揭开微积分之谜；由于非标准分析法本身十分繁琐和标准分析法铆劲排挤，致使它的发展速度大打折扣，应用前景很不光明．然而，非标准分析法敢于开辟新数域的创新做法，却指出了揭开微积分之谜的必由之路．

④ 尽管因揭开微积分之谜太难而使一些人生畏并却步；尽管因经典理论对人们的压力太大而使一些人害怕并止步；尽管因无穷小量分析法和标准分析法，能够据自身错误的方法、算对实际应用的结果而使一些人释然并踏步，但正如鲁滨逊先生所说，“仍有一些科学家还在为微积分理论的完善而进行着种种尝试．”我也学着那些科学家们的样子，加入到这种尝试的行列中．

我于公元第1963年刚学微积分时，曾提出过“无穷小究竟小到多少”、“微分为何可以不微（在经典理论中，函数自变量的微分等于函数自变量的增量；函数的微分等于函数曲线的切线增量．因增量可任意大、充分大、足够大，故微分也可任意大、充分大、足够大而不微）”等一系列的疑问，并向河北、天津、北京、上海等地的大专家们请教过．可是，我除了收到 dx= 增量，dx= 增量→0，dx=0等不同的回复外，并未获得准确的合理的解释．这种答案的不同一、理由的不充分使我意识到，中国的大专家也未真正搞清微分的本质．因此，我只好一边请教、一边讨论、一边研究．在这一过程中，我发现：经典理论中存在的所有疑问，都与标准分析法未能真正揭开微积分之谜有关；大专家们对微分概念理解的不同，也是由于标准分析法的缺陷所致．于是，我便产生了揭开微积分之谜、建立新理论体系的念头．在科学大家欧拉、马克思、弗朗克尔、鲁滨逊的启发、影响和指引下，在中国数学界、哲学界、物理学界的老前辈们的关怀、帮助和指导下，我经过24 年的奋斗，终于在公元第1981～1990年间，创立了新的微积分理论体系——辩证分析法．并以讲座及其他形式广泛传播．

辩证分析法问世以后，不断地受到学者、专家和同行们的肯定、支持与赞扬．但是我并没有满足与陶醉，而是广泛地进行学术交流，热烈地参加各种讨论，虚心地征求不同意见，不断地吸收多种营养．就这样，我又经过了16年的讲座与辩论、钻研与深探、修改与补充、润色与凝练，于公元第2005年前期，写成了理论专著《微积分之谜与美》．

专著《微积分之谜与美》共分为3章21节．第1章为《微积分的发展史》．它通过微积分理论的孕育、诞生、成长和成熟的过程，指出了微积分理论在各个阶段中存在的缺陷和不足，阐明了微积分理论发展的原因．第2章为《微积分的新论域》．它通过微积分理论的发展趋向，从实践原型中抽出了“变化趋势”的新概念，开创了具有“变化”和“数值”双重内容的新变数，定义了新变数的特例——既等于0而又不同于0的新无穷小数，为微积分理论的成熟奠定了思想、物质和实践基础．第3章为《微积分的新体系》．它以上述新定义的无穷小数为基点，定义了新的瞬间、连续、微分、分微分（导数）、积微分（积分）等概念，建立起新的微积分理论体系——辩证分析法．

辩证分析法的最大创新之处是：

① 运用马克思的辩证唯物主义思想，仿效鲁滨逊的开辟新数域的创新做法，从实践中抽出了“变化趋势”的新概念，开创了具有“变”和“数”双重内容的新变数，继而发明了新变数的特例新无穷小数，从而完成了大数学家欧拉希图发明既等于0而又不同于0的新数的设想．

② 以新无穷小数为基点，定义了瞬间、连续、微分、分微分（导数）、积微分（积分）等微积分理论的新概念，实现了大逻辑学家弗朗克尔将无穷小量应用到微积分里去的愿望．从而使人们知道了无穷小究竟小到多少，微分真正微到什么程度，瞬时到底包含多少时间．因此，真正揭示出微积分的本质，彻底揭开了微积分之谜，完全平息了第二次数学危机．

所以，辩证分析法形成了许多新特点．现举4例说明如下：

① 辩证分析法能够将经典理论中非常繁琐、复杂、深奥、难懂的公式推导变得极其简单、明了、浅显、易懂.例如，能将经典理论中长达10页约8 000汉字的、且有瑕疵并极难理解的弧微分及弧长公式的推导，缩短到几十汉字之内，且很严密并极易理解．

② 能够解释经典理论不能解释的许多疑难．例如，能够解释直角三角形的斜边和直角边上的点一样多的原因．

③ 能够使经典理论中的一些含糊不清、似是而非的概念重新明确化、清楚化、恰当化、理想化．例如，经典理论并不知道自己的导数概念的实践原型——瞬时速度中的“瞬时”包含多少时间，因此，无法体现出“瞬时速度”的物理意义，无法知道时间增量内走过的位移与之比的极限就一定是瞬时速度．而辩证分析法却对“瞬时”给出了严格的、准确的、合理的、科学的定义，为导数的科学概念的引出奠定了理论基础．

④ 可以淘汰复杂、难懂且有瑕疵的极限理论．这种对经典理论根本性的革命大大降低了对微积分理解的难度．

所以，辩证分析法在教学和科研的实践中，能够使人们节约大量的时间和精力，去做更多的事情来为人类造福，从而体现出极强的社会效益和极高的经济价值．

对于我的这一研究工作，有些不同意见值得进一步探讨，现说明如下：

① 经典理论已经十分成熟，无可再研究之处．并劝我不要步入歧途，以免耽误青春的年华．

我十分体味前辈们的良苦用心，也非常感谢师长们的关怀和忠告．但是，当我在教授经典理论的过程中而被学生们问得张口结舌、无言以对的时候，我就会感到内疚和失职，感到对不起学生与国家；当我将这些疑问向全国的大专家们请教而没有结果的时候，我就会感到困惑和迷惘，感到不知出路在哪里．在这种处境的压力下，我不能训斥众学生不务正业，不能指责群后生为难老师；不能强求大专家给出答案，不能怪罪名权威推卸责任．所以，我只好一边请教、一边讨论、一边学着鲁滨逊先生所说的那些科学家们还在进行着种种尝试的样子进行研究，来设法解决这些使我感到内疚和失职、困惑和迷惘的问题．经过了几十年的奋斗，尽管我在前途、经济、身体、精神上损失过大，浪费了青春时期的大好时光，但是当我经过十几年的讲座和辩论，使一些真心发扬民主、诚心面对现实、敢于坚持真理、勇于修正错误的人们，改变了“经典理论已经十分成熟”的观点、而对我的新理论给出高度评价的时候，我还是感到了一丝欣慰．

② 在解决实际问题时，经典理论是好用的．理论能够解决实际问题就够了．耗费很大的精力，去追求理论上的完美，没有实际意义和价值．

对于这一观点，我考虑了很久也很多．我考虑到，要是只认定“能够解决实际问题”，无穷小量分析法早已做到了，那么人们为什么还要为理论的完善而奋斗200年，并创造出标准分析法来取代它？如果人们只满足于“能够解决实际问题而不去追求理论上的完善”，那么无穷小量分析法就已经够了，因此标准分析法是否还能够产生？我听说，数学是科学王国的皇帝，数论是皇帝头上的皇冠，哥德巴赫猜想是皇冠顶上的明珠．我想，像哥德巴赫猜想这一纯粹理论性的难题，除了能够开发智力、培养智慧、训练智能、滋补智商以外，绝对不会像袁隆平（Yuan Longping，公元1930.9.7～）的水稻那样，有直接养活几十亿人的实际意义和价值．但是为什么还有许多人研究它？为什么国际科学界还要给以只是摸了摸这颗明珠、而未摘取它的陈景润（Chen Jingrun，公元1933.5.22～1996.3.19）很高的评价？这些问题的未知答案一直萦绕在我的心头，因此，我还会为破解这些未知答案而继续考虑很多和很久．

③ 你的文章对经典理论批评太多，所以会伤害经典理论专家的感情，因此对你的新理论的发展很是不利．

这种观点一针见血，击中要害．的确，我文中的许多做法未考虑感情因素，不符合目前中国社会的现状，故很难在目前中国的学术界站稳脚跟．我虽然已明白其中的道理，但改变起来却很难．这是因为我长期从事科学研究，对科学中一是一、二是二的死板性及与科学密切相关的哥本哈根精神［在公元第19，20世纪之交，在丹麦首都哥本哈根，以小人物玻尔（Niels Henrik David Bohr，公元1885.10.7～1962.11.16；公元第1922年诺贝尔物理学奖得主）为代表的一批年轻人，整天对当时物理学中出现的、经典理论无法解释的怪现象进行争论．他们允许任何人参加，不论是大人物还是小人物，不论是老年人还是青年人，不论是老师还是学生，都有平等的发言权．大家可以吵得面红耳赤，但是不能伤害感情，为了发现新的真理这一共同目标而奋斗．结果吵出了一批科学家，建立起多套新理论，创造了科学界崇尚的哥本哈根精神］已经产生感情、形成习惯、出现迷信．对人类社会中为人处世的灵活性已经很不适应．这正像经典理论专家对柯西等人和标准分析法、伊斯兰教教徒对穆罕默德和真主安拉、基督教教徒对耶稣和上帝、佛教教徒对释迦牟尼和佛、甚至法轮功的信徒对李洪志和转法轮已经产生感情、形成习惯、出现迷信一样．只不过是对产生感情、形成习惯、出现迷信的人物和事物性质不同罢了．因此，我很想以尊师敬贤的精神和真诚谦恭的态度向经典理论的专家们请教．在专家们的关怀、帮助、教育、指导下，创造互相交心、互相促进、互相团结、互相信任的气氛；促成调整感情、放下面子、克服习惯、破除迷信的局面；营建不以感情代替真理、不以面子掩盖事实、不以习惯别过正确、不以迷信抹杀科学的环境．畅所欲言地、无拘无束地、开诚布公地、实事求是地研讨微积分理论．为了科学的发展和人类的进步做出更大的贡献．

对于辩证分析法今后的不同意见，我都会去认真地思考和严肃地对待．这不仅是因为我对玻尔们创造的哥本哈根精神，已经形成了习惯，而且更重要的是，因为我虽然坚信辩证分析法是正确的、先进的、有用的，但也认为，她毕竟是还没有经过大场面的考验．因此，对于辩证分析法，我不幻想她，能够成为通往微积分之舟的指路灯，指引人们达到理想的彼岸；也不幻想她，能够成为开启微积分之锁的金钥匙，为了众生打开神秘的大门．但是，我倒希望她，能够成为尖利的顽石，投入水中能激起无数美妙的涟漪；我还希望她，能够成为粗糙的棱砖，抛到工地会招来许多璀璨的宝玉．我更希望她，真正起到投石荡波、抛砖引玉的效果，使微积分的内在本质在这美妙涟漪的荡涤下，清晰地揭示出来；使微积分的理论基础在那璀璨宝玉的荟萃下，胜利地建立起来，从而造福于人类．

我真诚地等待着这一天的到来！

师教民

2005年5月18日于武夷山