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提要：本文针对近代作为数学方法、技巧需要的“数学波”定义所涉及的问题，以非线性的数量不稳定等进行了较直观地讨论。结果发现“数学波”，不仅没有解决作为“信号”的极值突然变化，还遇到了非线性数量不稳定可导致介质波的“粉碎”，也没有正面回答“色散”的物理机制。

关键词： “数学波” 非线性 介质 “粉碎”

Medium Waves and Tatters of Medium Waves OuYang Shoucheng

Chengdu University of Information and Technology, Chengdu , 610041, China

Abstract: This paper was what the problems of definition of “mathematical waves” was aimed at as need of modern mathematical method or technique, are bluntly discussed by instability of quantity for non-linearity. The result showed that the “mathematical waves” not only don’t resolved sharp variation of extreme value as signal, and it will run into “smashed to pieces” that instability of quantity for non-linearity lead to medium waves yet, and don’t respond bluntly physical mechanism of dispersion, too.

Key words: “Mathematical Waves” Non-linearity “Smashed to Pieces”

1.引言

作为物理的直观概念，波动是介质的振动而物质本身并不移动。但作为数学角度，近来

的波动概念已被演绎为抽象笼统化，并认为作为数学方法，技巧的需要，提出波动的物理直观概念不能概括“全部”波动现象，而提出了首先是宏观、抽象的概括，其次是物理性质的观点，并被作者称为“数学波”的20世纪中叶流行的，出于局限性较小和作为笼统的波动定义^[1,2]：

波动是可识别的信号，此信号具有从介质的一部分到另一部分的传播速度。可以是任何性质的扰动，即使量值或极值突然变化，但其扰动仍可清楚地被识别，其位置任何时刻都可以确定。即使信号发生畸变、改变量值，但仍可识别。

显然，这个提法必然导致波动的研究主要是在于数学方法或技巧，物理性质可以不必顾及了。更重要的是，将物理上直观的震荡式往复直线流的扰动，扩大至单向的涡流扰动或所有的运动状态。毋须讳言，其实质无非是隐含了为20世纪初兴起的近代物理学所要表述的“几率波”、“引力波”、“激波（sharp waves）”、“陷波(trapped waves)”或尔后的“弦论”（Theory of chord）等“波动化体系”的需要制造“学术舆论”。为此也就混淆了波动体系的线性，和涡动体系的非线性界限，或者说混淆了惯性系和非惯性系的区别。于是顺理成章地使欧几里得的逻辑思维体系延拓到曲率空间。所以，有人认为量子力学的“几率波”已经是认识微观物理的基础，并可扩展至所有基本粒子，遂有“所有基本粒子都是波”^[3]。为此，本文借助讨论非线性数学性质的同时，讨论了数量不稳定所涉及的“波动”问题。

2. 数量不稳定性与曲率空间

鉴于目前动力学方程体系的稳定性未涉及的非线性数量不稳定，为此，本文首先讨论非线性动力学方程的数量不稳定。数量分析中必然遇到如下三种情况：

如以表示数量，并按牛顿的“数量”时间（“时间”问题的讨论，另见文献[6]），则随的变化可以写为，

（2.1）式说明了数量随“数量时间”的变化，无非是趋近于数量的∞；不变或趋于不变等三种情况，其中第三种与第二种情况没有本质的差别，只是第三种被Lorenz误认为“Chaos”^[4，5]。现行数量分析中的稳定性限定，仅是随的不变性的第二种情况，而第一种情况又被当代科学定名为“不适定”而未予讨论。为此，讨论数量不稳定必须指出∞是什么^[6]。

如引入高维（三维）的曲率空间与低维（二维）的欧几里得空间的隐转换（图2）

图2 平面与曲率空间的转换

则不难看出二维欧氏空间的无穷大，无非是三维曲率空间的隐转换的转折性变化。如图2中的Xi点沿球 的Xi点沿球面上向南移动至赤道点，则在平面上的投影为；过P点后继续向南移，则在平面上的投影为（虚线）。显然，若平面没厚度，则与是平行且重合的。此时若站在平面的立场，则与的交汇点即为数量的∞，但与对应的点却是三维空间的转折点。所以,无限大的数量概念是低维的零曲率（欧氏）空间的线性形式逻辑概念，而不是曲率空间的物理实在。实际上毋须数量无穷大就已经发生转折了，也可以说欧氏空间的数量不稳定问题已经显示了转折性。但数量∞在传统的数学概念中，被称为“不确定”或“不适定”而失去了分析数量不稳定的“功能”，即数量不能处理数量的∞问题。由此也明确了数量的“不确定性”，并不等于物理的不确定性。或者说数量的“不确定”可以由曲率空间结构给出明确的结果，并引出曲率空间的结构分析方法^[6，7]。遂有此例的二维的欧氏空间到三维的曲率空间转换，解决数量∞问题的同时也解决了转折性变化。

尽管图2仅是简单的例子，但揭示了数量分析的一个重要问题，即数量本身存在“无界性”，而表明了数量仅是个线性计量工具而不能描述转折性。这也是为什么文献[6，7]在演化问题中提出了方向也是方法，且数量∞可运用结构化的斜率垂直性得到解决。也可以说数量分析的经典理论体系忽略了数量∞，或者不能处理数量的不稳定，而失去了描述演化转折性的功能。所以，数量分析体系是不完备性问题，类似的平稳序列的限定，也实质上消除了特殊性信息^[8],但特殊性不等于不存在（实际上没有特殊性，也就没有一般性）。

3. 非线性动力学方程的数量不稳定

此问题可以数学的一维的拟线性双曲型方程为例，

(3.1)

即使由传统方法，取,或取，

(3.2)

（3.2）对t求导，有

(3.3)

不难求得， (3.4)

取t = 0, , 则有

，或 (3.5)

显然，（3.4）—（3.5）最早是来自流体力学的欧拉方程，即为一维无外迫项的欧拉方程的特例。作为欧拉方程本是描述流体质点移动的流，而不是质点不移动振荡的波。但尔后居然出于数学方法、技巧的需要，将物理的流体的流也变成了数学的波。为此，作者还是以物理的流体的流动，去掉数学的数量不稳定条件限制，并在实际流体的流动转换的启发下，作了时间t →∞的全程分析，发现了流体演化的转折性变化——溃变，并还得出了二维流体的转换关系^{[9，10，11]}。即使作为数学而言，也体现了非线性的数量不稳定可以终结“线性的初值存在性定理”^[12]。可由下面的分析看出：（3.5）式中，为初值的散度。将（3.5）在 < 0（辐合）时绘制成图3，由图3中可以看到：

流体辐合、辐散非对称的物理空间转换。这表明非线性问题（3.1）：当<0时，可由 < 0转换为 > 0 ，并是非对称的；当 > 0时，当t → ∞，则→ 0。相应的

不能等于0，因为= 0，（3.1） 问题为平凡解。所以（3.1）

图3 辐合辐散的转折性 问题是是非对称的也是不可逆的，不能构成可恢复性变化，而 成为演化问题，并在t=tb时，构成了转折性变化——溃变（blown-up），不仅初值自相似体系的崩溃性消亡，而且在t稍大于tb 时就已由辐合转换为辐散了。但它首先是物理问题的需要，而不是“没有假定便没有科学”的数学“修改”或限制数量∞的需要。此例非常简单，但足以说明非线性与线性问题有本质性差别：

1）非线性问题在有限时间内不满足物理量的数学守恒式^[13]，在的左右是非对称的。

2) 非线性问题可在有限时间内（）出现数量的∞，而数量∞是曲率空间的转换。

3） 数量∞不等于不确定性，而是遇到了物理空间转换时，数量所不能描述的问题。相

应的所谓随机的平稳序列性，也不是物理的转折性问题 ^[6]。

至于拉格朗日语制的动力学方程的数量不稳定，见文献[6]的8个定理，本文不赘述。

4. 双曲波动

即使按数学角度，波动扰动的削弱现象也承认是来自物理，但数学是依据振幅削弱的数量值形态比的模拟，并不是物理实质的揭示。所提出波动的数学分类：双曲波和色散波，变成了来自微分方程或解的类型。双曲波动是借助双曲型偏微分方程描述，并与其是否存在显式解没有关系，仅决定于方程的类型。即使波动概念由数学决定，也仅限于线性微分方程的性质，还未涉及数学的非线性方程。目前数学界将欧拉方程列为数学的双曲型方程，还是基于“适定性”的初值存在性定理。按“先验估计”或分段处理，即将（3.1）式分开取辐合的初值；辐散的初值，再限定为稳定性。实际上，“先验估计”或分段处理都是出于事先套用数学的波动模式，而没有顾及流体流动的转折性或数学的非线性的数量不稳定。（3.1）问题是x-方向的流体的流动，更本质的是流体流动中的演化问题。如将（3.1）式改写为

而再称为波动或拟线性双曲波动方程，已经没有实际意义了。首要的是解决物理的流动，而不是为了数学而数学的套用“本本”的“波”。

5. 色散波

5.1一般色散

色散波动与双曲波动不同。色散波动是由方程解的类型描述的，并其解的传统形式为，

式中A为振幅，k为波数，ω = W（k）为频率，x, k可以是标量，也可以是矢量。双曲波与色散波有重叠性，如Klein―Gordon方程：既是双曲的也是色散的，但多为少数例子, 所以一般不应混淆两类波动的区别。按数学的提法：色散波的相速c与波数k是相关的，遂有数学上的色散问题^[1]。即波数k不同, 相速c的不同，可以导致波“散开（dispersion）”，但事实是否如此，将在后面讨论。为此，若相速是常数，不会有色散波。作为分析一般色散关系，可引入如下积分―微分方程,

(5.1)

式中K是已知函数，若（5.1）具有如下形式的解，

（5.2）

(5.2)代入（5.1），有

（5.3）

式中ζ= x ―ξ。（5.3）式即为色散关系，并因函数K（ζ）的不同而不同。若将（5.3）式改写为

（5.4）

式中是相速度，并（5.4）的右端正好是K（x）的Fourier变换，由反演公式可得

于是有一般的色散关系，即对任意给定的c（k）, 则K（x）应是c（k）的反Fourier变换。这表明K（x）必须是分段光滑，并在（―∞，∞）内绝对可积。特别的，若取

则由（5.5）式，有

于是（5.1）变为

当C（k）取为k的Taylor级数时，相应的方程是含有无穷阶导数的微分方程，而使限定条件更加严格。实质上，近代“数学波”定义要求的限制性较小的目的，并没有因数学方法、技巧而实现。因为（5.8）式色散关系的限制条件必须是连续光滑的，仅适用于常系数的线性方程。遂又引入变量分离形式的变系数函数，如，

并现行的作法中也是将限定为波动函数，保证计算结果的数量稳定，如取为Besser函数的色散波，则必须是光滑的。所以，即使作为数学方法或技巧，数学概念下的波动从来没有摆脱限定性。

应当注意（5.1）式是一维的积分―微分方程，即使按数学色散波的提法，相速不同产生波的追赶。但快波必然为慢波的阻挡而出现“交通堵塞”，一维波的快波又不能绕过或跳过前面的慢波（绕过或跳过必然是二维的）；其次，快、慢波追赶必然发生相互作用，相互作用又是非线性问题。所以数学上的形式逻辑的合理性，并不等于符合实际。“色散”应当有其更本质的物理原因。

5.2非线性色散

可以说，传统理论和方法中从来没有涉及过非线性色散问题。自从将波动概念扩大到所有扰动后，混淆了涡动扰动与振动扰动的概念。因涡动是非线性的，所以非线性色散必然成为不可回避的问题，只好笼统上承认非线性色散是一个未解决的问题。为此，至今还按线性化方式讨论色散关系，其结果必然不能进入其定义所要求的极值突然变化、畸变等问题。为此，作者尝试了，仅限定局部连续特征讨论非均质波，即取，

式中、均是x, t的函数。显然，（5.9）为数学的非线性，只不过cosξ是折反函数，不会因数量ξ的不稳定而演绎为不适定，其极值变化或畸变将为所决定。但传统的波动分析未料到仅仅是波数的变化，就可引出极值变化或畸变。即使按传统的定义为局部波数和局部频率，

(5.10)分别对t、x各求导一次，相加有

按D’Alember的行波变换和特征值ξ= const^[12]., 有

ξ= k x ― ωt = const. (5.12)

则有

取, 即波的相速度为，

沿用分离变量，取，则（5.11）可以写为

定义群速度

于是有，

（5.17）是波数k的非线性方程。即使按数学波的提法，也遇到波数k→∞,波长L= 2π/k→0。或者说非线性的数量不稳定可以导致介质波“粉碎”，并可“粉碎”到小于基本粒子。相应的波的“色散”赖依“散开”的介质已经“粉碎”而失去了连续介质的“色散”传播功能，必然不能回答扰动振幅削弱（“色散”）的物理机制。为此，本文附上气象上带有外迫项的线性化涡度方程^[9]，

按数学的波动讨论，作为奇阶的导数形式，应当是色散波^[9]。若= 0（应注意的是，是人为的，实际大气自己不会取平均），则。即使作为波的“色散”，则因k≥0（波数），“色散波”应当是逆向“传播”的，即扰动被效应逆向削弱。所以，若Rossby波确实是气象科学的物理性质，则不能是谐波所同时具有的上、下游频散效应。为此，相应的应用，必须遵循“单向倒退波”的理论，给出“单向倒退波”的分析方法，否则是违背当代气象科学的理论而不能运用“上、下游频散”的方法处理气象问题。或者说，若“上、下游频散”“体现”了“实际大气的运行”的话，则“单向倒退的Rossby波”理论是错的。至于Rossby波理论是与非的讨论，可见文献[6.7]。但有实际意义的，(其中是地球旋转的角速度，是地理纬度)项正好是涡量。显然，涡量作为外迫项必然是旋转效应。所以色散波扰动振幅的“散开”机制是物质演化的旋转性转换，数学色散波的色散不是最终答案，这也是作者列出线性化（5.18）方程的目的。

6.说明

本文最初是来自对读者对目前流行的波动的“扩展性定义”感到困惑, 和由此引出的“几率波”、“引力波”、“平面单向倒退波”和激波(sharp waves)的Burgers方程的可积性、孤波的Kdv方程的守恒律或完全可积性、“陷波（trapped waves）”，乃至于目前的“弦论”等理论，已经几乎将物理问题转换成纯数学波的笼统性，但实际问题依然没有解决。特别是作者等的“量子效应是粒子流的准非规则流”^[14]，和指出“引力波”是来自曲率空间引入了无旋的Reimann几何，而引起了读者们的兴趣。纷纷希望作者能否以较简洁地方式说明一下近代的“数学波”及其问题，遂引出了本文。作者认为：

6.1当人们还未完全理解物理上的非惯性系或数学非线性的时候，免不了沿袭惯性系或线性稳定性体系思维推想或猜测。

6.2数学总是希望擅长限制性较小、笼统、抽象或地概括所有问题而认为是简洁，但由此抽掉了物质的性质性，和忘记数学的假定是最大的限制性。也许“没有假定便没有科学”的提法多数是来自数学的笼统，和“数学可以把不存在的事务计算得比存在事务更精确”。并因数量正是欧几里得空间的形式逻辑演绎，而不能揭示曲率空间的结构性质。目前总是期望动力学非线性方程，由数学的线性方式求解。实质上动力学的非线性，早在1898年就由V Bjerknes的环流定理给出了力管的结构^[6,7]，已经不能再等同于线性的数量化了。显然，力管的结构性已经表明非线性的环流定理叛离了经典力学。

6.3显然，科学的宗旨是在于如何解决实际问题，物质变化的问题必然是过程物理学，也应当是真正的物理学。过程物理学之所以不同于当代物理学，就在于搅动的扰动是物质变化中体现了过程，而波动是以卸力或转移能量的方式维护了物质不变。为此，“数学波”恰恰是在维护物质不变中消除了过程。

实际上也可以说，科学在探索的过程中就是在于追求简洁化，但简洁并不等于数学的笼统和抽象，而在于简洁地指出物理实质和解决物理问题。所以，简洁并不容易，也往往涉及了变革，并真正达到简洁化则已经是“图难于其易”（老子）或近于“止于至善”(引自《大学》)了。

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