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(一)时空收缩率 我们先在绝对静参照系内建立一个三维直角坐标系。原点是o ，三个坐标轴分别是x、y、z ，时间是t ；然后再在一动参照系上也建立一个三维直角坐标系。原点是o′，三个坐标轴分别是x′、y′、z′，时间是t′。当 t = t′= 0时两坐标系重合，之后动坐标系沿x 轴以速度u做匀速直线平动，成为一个理想的动惯性系。 现有一实验者在动坐标系内测光在某一方向上往返的平均速度。光线是从原点o′发出， 在到达镜面后被反射，然后又沿原路回到o′点，单程距离是 s′。 因为光在静坐标系中是以恒定的速度传播的，但与此同时，动坐标系也在其中运动着。考虑到运动的影响，故光相对动坐标系已不是原光速了，且往返的速度也不相同。还有，在动坐标系内看来是来回重合的光路改在静坐标系中看也已经不再是重合的了。 设 惯性系中光路与y轴的夹角为α，那么我们可以按照经典速度合成的方法推得去的光速为 c1 = c1 – u = SQRT[ cc – (u cosα)^2] - u sinα 返回的光速为 c2 = c2 – u = SQRT[ cc – (u cosα)^2] + u sinα 则其往返的平均速度为 C = 2 c1 c2 / ( c1 + c2 ) =（cc — uu）/ SQRT [ cc —（u cosα）^ 2 ] 很显然，这个速度一般并不等于原光速。但这是在静坐标系中测量的结果 。如让动坐标系内的人自己测来，则仍旧等于原光速。这是因为按我们前边的洛仑兹假设， 动坐标系上的一切物体包括直尺都在x方向缩短了，但在垂直方向却不变。故原先如果是一个正圆球的话，那么现在则成了一个在x方向扁的椭圆球了。 设在垂直方向上的单位长度为1，那么在x方向上由于收缩单位长度变成 i。；而在与y 轴成α角的方向上单位长度则是 i . i = i。/SQRT[(sinα)^2 + (i。cosα)^2] 不仅只此，在动坐标系上，时钟因为变慢，所以同样一个单位时间，但在这里也变少了。即 △t′/△t = j。＜1 由于这两个原因，使C在动坐标系的人测来都变大了，结果等于原光速c .即 C′= C / i j。= c 将C式和 i式代入并整理，可以推得 i。= j。= SQRT（1 — uu/cc） 即在动坐标系上的空间真的在运动方向上发生了收缩，它上面的时钟也真的变慢了，并且按照相同的比率。动坐标系的运动速度越大，它上面的时空变化就越显著 。 由上述还可以看出，动坐标系上的空间收缩和时钟变慢虽都与动坐标系的运动速度有关，但却是独自进行的，互不影响。时间一维仍然是独立的。这给有关时空的计算提供了相当的方便。 (二)坐标的变换方法 根据以上讨论，我们可得出在动、静坐标系之间对同一点的坐标变换公式。如下所列： x＇= (x — u t ) / SQRT(1 — uu / cc ) y＇= y z＇= z t＇= t SQRT( 1 — uu / cc ) 可见，与伽利略变换比较接近，相比洛仑兹变换要简单一些。当动坐标系低速运动即 u<< c 时此变换即退变为伽利略变换。 事实上，原洛仑兹变换已经隐含了本变换的内容。其中的时间变换 t′＝ ( t — u x /c c ) / SQRT ( 1 — u u / c c ) 当设 x = u t 时 即得 t＇= t SQRT( 1 — uu / cc ) (三)相对时空变化 由以上讨论可知，在动坐标系上的时空真的发生了变化，同时这也是在绝对静坐标系中所观测的结果。事实上，也只有在绝对静坐标系中才能客观的、公正的、真实的观测到物质世界的本来面目。而在其它坐标系中由于自身时空的变化则都不能做到这一点。如在动坐标系内的人观测自己所在的系统，他们完全感觉不到自己正在运动中，也感觉不到本系统的时空发生了变化。在他们看来，本系统正处于静止状态，时空正常。测量光的往返平均速度也没有什么异常变化。 再就是在一动坐标系内观测与自己同步运行的另一动坐标系。在他们看来，两者没什么同步运动，只是相对静止，两系统成了一个系统。自然两坐标系上的时空彼此看来不会再有什么变化，可以统一成一个。但事实上，是两者的时空都发生了相同的变化，只是互相看不出来罢了。 由于绝对静参照系只有一个，当物体在里面静止时，它的形体长度和内部运行时间都没有发生变化，故可以当作标准，分别叫做本征长度和本征时间；而动参照系则有无数个，且以不同的速度大小向各个方向运动，因而它们各有自己的一方时空。其中长度收缩的大小和方向取决于动参照系做绝对运动的速度大小和方向；而时间的变慢则没有方向。其变慢的程度只与动参照系做绝对运动的速度大小有关，而与速度方向无关。在动参照系上，物体变化了的形体长度叫做客观长度，其内部变化了的运行时间叫做客观时间。在一动坐标系上观测与之同步的另一动坐标系内的物体所得到的长度和时间都是本征长度和本征时间，它和物体在绝对静坐标系中静止时的长度和时间是一样的。 还有，当在一动坐标系内观测与自己有相对运动的另一动坐标系中的物体时，由于观测者对自身的时空变化觉不出来，并以本系统为基准，故反而觉得其它坐标系上的时空变得异常了：其中他们测的客观长度在自己所做绝对运动的方向上变长了，他们测的客观时间进度比自己的变快了。 为简化起见，下面我们只讨论两运动方向平行的动坐标系上的相对时空变化。 (A)设观测者所在动坐标系的绝对运动速度是u。，被观测动坐标系的绝对运动速度是u ，两动坐标系的x轴及运动方向始终相互平行。现在被观测动坐标系内有一个物体，它在运动方向上的本征长度是△x，那么它在运动收缩后的客观长度是 △x′= △x SQRT（1— uu/cc） 而观测者所观测到的长度则是 △x。′= △x′/ SQRT（1— u。u。/cc） = Δx SQRT [ (cc — uu) / (cc — u。u。)] 由此可见，当u ＞ u。时 △x。′＜ △x 这说明观测长度小于本征长度； 当u = u。时 两坐标系同步运动，△x。′= △x 这说明观测长度等于本征长度； 当u ＜u。时 △x。′＞△x 说明观测长度大于本征长度； 当u = 0时 △x。′＝ △x max′ 这说明当在动坐标系上观测静坐标系及其中的静止物体时，它在相对运动方向上的形体长度达到最大。 当u＜0 即被观测坐标系反向运动时，观测长度的变化与正向运动时对称。 (B)设在绝对静坐标系内有一种运动，它的时间长度是△t ，那么它在动坐标系内由于速率减慢而实际运行的长度则为： △t′= △t SQRT（1— uu/cc） 而在观察者所在的动坐标系内测量则是 △t。′= △t′/ SQRT(1— u。u。/cc ) = Δt SQRT [ (cc — uu) / (cc — u。u。) ] △t。′在不同情况下的表现及变化规律与上边刚讨论过的 △x。′类同，此处不再重复。
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马国梁 （emgl@sohu.com） 上传2007.05
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