光在空间各处的传播速度是由当地的空间性质决定的。光在不同的空间区域内自有不同的速度，光在不同的介质中也有不同的速度。我们知道，光在介质中的传播速度比在真空中的要小。且介质的密度越大，光速减小的就越多。我们可以发现，对于一定频率的可见光来说，介质的折射率与介质的密度和光相对介质的传播速度皆成线性关系。即

n = c / c′= 1+ ScρΔt = 1+ kcρ

或 (n —1 )/ρ= kc

式中 S为光子在运动方向上的作用面积；

c为光子相对介质的运动速度；

Δt 为单位质量的介质质点从吸收到二次发射共所耽搁的时间；

ρ是介质的体积密度。

将部分介质的性能参数汇入下表，我们可以求出常数kc的数值.：

介质 n ρ( kg/m^3 ) kc [10^(-4) m^3/kg ]

CO 1.000334 1.25 2.6720

空气 1.0002919 1.29 2.2628

O₂ 1.000271 1.43 1.8951

CO₂ 1.000451 1.98 2.7778

SO₂ 1.000686 2.93 2.3413

盐酸 1.25 1200 2.0833

硝酸 1.40 1500 2.6667

硫酸 1.43 1800 2.3889

NaCI 1.544 2150 2.5302

普通玻璃 1.4843 2440 1.9848

石英 1.544 2650 2.0528

火石玻璃 1.60328 2900 2.0803

溴 1.66 3120 2.1154

kc平均值为 2.30×10^(-4) m^3/kg

当然由于分子结构上的原因，使得有些介质的kc值偏差较大。但总的来看，(n-1)/ρ确有不大的值域范围，从而可得：光的折射率与介质的密度基本上呈线性关系。

这样以来在静止介质中的光速计算公式将为

c′= c/ (1+ kcρ)

光在运动介质中的传播各个方向仍不具有对称性。它在各个方向的传播速度仍与光源的运动情况无关。当介质运动时，对于点光源来说，光在各个方向的相对传播速度和绝对传播速度迥然不同。对此我们分述如下。

1、在绝对静参照系中有一束光与x轴的夹角是β，则它在运动的真空惯性系中测量的相对速度是

c′=（c－ u cosβ）/(1— uu/cc)

设 这束光在运动的惯性系中测量与x′轴的夹角是β′，则 ∵ tgβ′= c sinβSQRT(1— uu/cc)/ (c cosβ－ u)

∴ 消去β可得 c′= c/（1+ cosβ′u/c）

可见这是一个标准的椭圆球形波面，其焦点即光源位置。

2、当在运动的介质惯性系中测量时，其相对速度为

c″= c′/n′= c′/ (1+ kρc′)

= c′/ [1 + (n -1) c′/c]

将真空中的 c′= c /（1+ cosβ′u/c）代入其中则得

c″= c /（n + cosβ′u/c）

可见这也是一个标准的椭圆球形波面，其焦点仍是光源位置。运动的真空惯性系只是当 n = 1时的特殊情况。

3、在运动的介质惯性系中光在各个方向上做往返运动的平均速度仍然是

C = c/n 这很容易证明.

∵ c₁″= c /（n + cosβ′u/c）

c₂″= c / [ n + cos（β′+180°）u/c ]

∴ C = 2s / (s/ c₁″+ s/ c₂″) = c/n

4、至于在绝对静参照系中测量光在运动介质中的绝对速度，情况要比这复杂。总的来说可认为：其大小等于介质的绝对运动速度再加上经介质减小后的相对运动速度（象是“搭车”行为）。即（矢量用黑体字母表示）

v = u + (c – u) / n′

= [ c + u (n′- 1) ]/ n′

∵ 其中 n′= 1 +（n – 1）c′/ c

当介质运动时，由于纵向长度收缩而使密度增大，还有光子与质点的作用时间延长，所以c′必须用经过修正的（c - u）.

即 c′= ( c – u cosβ)/ (1- uu/cc ) . 将此式代入n′式得

n′= 1 + (n – 1) (1 – u cosβ/c )/ (1- uu/cc )

再将此代入v 式

∴ 得 v = [ c (1- uu/cc) + u (n –1) (1 – u cosβ/c ) ]/ [ n – uu/cc – (n –1) u cosβ/c ]

v = SQRT[ cc (1- uu/cc)^2 + uu (n-1)^2 ( 1 – u cosβ/c )^2

+ 2 u (n-1) ( 1- uu/cc)( c – u cosβ) cosβ]

/ [ n – uu/cc - (n –1) u cosβ/c ]

该光线的传播方向与x轴的夹角由在真空中的β变成在介质中的φ.

tgφ= c sinβ/ [ c cosβ+ ( n′- 1 ) u ]

= sinβ/ [cosβ+ u ( n –1) ( c – u cosβ) / (cc – uu ) ]

≈ sinβ(cc – uu ) / [ (cc – nuu) cosβ+ ( n –1) cu ]

消去β，即得 v ~ φ关系式。因非常复杂，此略。

v ~ φ式所表达的已经不是一个正球面，而是一个在x轴向缩短的椭圆球面了。

(1) 该椭球的x向半轴是

a = [ nc ( 1 – uu/cc) / (nn – uu/cc) ]

y向半轴是 b = c SQRT[ (1 – uu/cc) / (nn – uu/cc) ]

半焦距在b半轴上。大小为 f = SQRT(bb – aa)

= u SQRT[ (nn -1) (1- uu/cc) ] / (nn - uu/cc)

离心率为 f / b = (u /c) SQRT[ (nn –1)/ (nn – uu/cc) ]

(2) 光源已偏向球心的后方。偏移距离是

e = (nn –1) u / (nn – uu/cc)

a轴顶点处的曲率半径是 R = bb /a = c / n

a轴上的曲率中心偏心距与光源的偏心距之比

(R - a) / e = u / nc

(3) 光线与波面法线的夹角为

tgB = dv/v dφ= (dv/v dβ) [ 1/ (dφ/dβ)] = f (β)

一个绝对静止的点光源，在运动的介质中发出一个光脉冲。在绝对静观测者看来，当u < c/n 时，脉冲球面将包围发光点；而当u ≥ c/n时，脉冲球面则由于介质的拽引作用而大大向前推移，成了只在发光点前方的椭球面，看上去就象是“吹气球”或“冒气泡”一样。其张角范围是

│φ│≤ 90°.

当β= 0 时，φ= 0 v₁ = (c + nu )/ (n + u/c)

当β= 180°时，φ= 180° v₂ = (c - nu )/ (n - u/c)

要求 u < c/n ；如果 u > c/n ， 则 v₂ < 0 . v₂变得与v₁ 同向，φ= 0 . 这样在介质的运动方向上光速就有两个值了。

当 tgβ= u/c 时，tgφ= SQRT(cc – uu ) / nu

v₃ = SQRT [cc/nn – (1- 1/nn)uu ]

当介质做低速运动即 u<< c 时，

tgφ≈ sinβ/ [ cosβ+ ( n –1) u/c ]

φ≈β

点光源周围光波面的形状可近似为偏心球面。光源的偏心距离为 (1—1/nn ) u ，光速的大小近似为

v = c/n + (1—1/nn ) u cosβ

光线的传播方向与波面法线（半径）的夹角近似为

tgB =（n —1/n）u sinβ/c

通过v式可以看出，光的绝对速度大小也可认为是等于被介质减小后的光速再加上被运动介质拽引的速度。其拽引系数为

f = 1—1/nn

这和历史上前人的研究结果是一致的。

当介质运动时，介质本身及界面都要在运动方向上发生收缩。这样界面及其法线与运动方向的夹角都要发生变化。设界面法线N与运动方向u的夹角是θ.

则tgθ′= tgθSQRT（1—uu/cc）

得θ′<θ 说明要减小。

当θ= 0时 θ′=θ界面方向不变；

θ= 90°时 θ′=θ 界面方向也不变；

当u = c时 θ′= 0 界面都将与运动方向垂直；

当u<<c时 tg△θ= —uu sin2θ/4cc

显然当θ= 45°时界面偏转角最大，为△θ= —uu/4cc

可见，界面偏转角在介质做低速运动时与速度成二次微小量，故完全可以忽略不计。

还有，当介质做低速运动时，它的密度因纵向收缩而引起的变化也完全可以忽略不计。



当光通过两种不同介质的界面时就会发生折射和反射现象。界面运动时对光的折、反射与静止时的有所不同。首先是有效界面发生了偏转。当一束平行光斜着射向界面时，其中较近的一侧与界面最先接触。但由于界面是运动的，所以当另一侧光到达界面时接触点已不在原来的位置上，而是向前移动了一段。这样有效界面就不是原界面、而是光束先后两个接触点的连线了。其次是在运动介质中，各个方向的绝对光速皆不相同，其波面呈在x轴向缩短的椭圆球形，球心在光源的正前方，光的传播方向与次生波的包络面也大多都不垂直，这样就使光的折、反射规律变得异常复杂。为简化起见，我们只研究在低速情况下（u<<c）光从真空射入介质时的折射和只在真空一侧的反射规律。这样在真空一侧的绝对折射率为1，光速为c ；而在介质内的绝对折射率则为n ，折射光速为v .

设 入射光相对原界面法线的入射角是α

折射光相对原界面法线的折射角是β

反射光相对原界面法线的反射角是γ

原界面法线与x轴的夹角是θ

有效界面相对原界面的偏转角是 Δθ

则 ∵　s′= ut sin(90°—θ) / sinΔθ= ct / sin(α+Δθ)

∴ 得 ctgΔθ= c / u cosθsinα- ctgα

tgΔθ≈ u cosθsinα/c

（一）由前述可知折射光速

v = c/n + (1 —1/nn ) u cos (β+θ）

在介质内折射光线与次生波包络面法线的夹角是B

∵ tgB = (n —1/n ) u sin (β+θ) / c

　s′= ct / sin(α+Δθ) = vt cosB/ sin(β+ B +Δθ)

∴ 得折射规律是

cosB sin（α+Δθ）/ sin（β+Δθ+ B）= c / v

① 当n = 1时 是界面两侧都为真空时的情况

此时 v = c B = 0 α=β

② 当u = 0时 是界面静止时的情况

Δθ= 0 v = c/n B = 0 sinα/sinβ= n

③ 当θ= 90°时 是界面与运动方向平行时的情况

∵ Δθ= 0 v = c/n —（1 —1/nn ）u sinβ

tgB =（n —1/n）u cosβ/ c

cosB sinα/ sin（β+ B ）= c / v

∴ sinα/ [sinβ+（n -1/n）u cosβ^2 /c ]

= n / [ 1 -（n -1/n）u sinβ/c ]

例如 当光竖直通过运动的水平平面玻璃后，其平移距离为

∵ α= 0 sinβ+（n -1/n）u cosβ^2 / c = 0

∴ 得 sinβ= — (n -1/n) u / c

Δx = Δy tgβ= —Δy (n -1/n ) u / c

④ 当θ= 0时 是界面与运动方向相垂直的情况。此时

tgΔθ= u sinα/c

v = c/n + (1—1/nn ) u cosβ

tgB =（n —1/n）u sinβ/ c

（a）当α= 0时 入射光顺行. Δθ= 0 β= 0 B = 0

v = c/n +（1—1/nn ）u

（b）当α=180°时 入射光逆行，Δθ= 0 β=180° B = 0

v = c/n —（1—1/nn ）u

（c）当n = 4/3 u = 0.1c

sinβ= 0.6 cosβ= 0.8 β= 36.87°时

算得 v = 0.785 c tgB = 0.035 B = 2°

α= 56.86° Δθ= 4.786° 其中α比静介质的入射角

α。= arc sin（n sinβ）= 53.13° 要大3.73°

⑤ 当α= 0时 是入射光与界面相垂直的情况，此时β与θ相关。 Δθ= 0 β= — B

（a）当θ= 0时 β= 0 v = c/n +（1-1/nn）u ]

（b）当θ=180°时 仍是 β= 0 v = c/n -（1-1/nn）u ]

（c）当θ= 90°时 tgβ= (n -1/n) u / c v = c/n

例 当n = 4/3 u = 0.1c 时 β= 3.34°

因为当光束垂直界面入射时，次生波的包络面虽与界面平行，但与折射光的传播方向却不垂直，所以折射角并不等于0。

（d）当 180°>θ> 0 时 皆是 β≠ 0

（二）当光在界面上发生反射时，虽然是在同一侧介质内，但因为：①光的入射角和反射角由于界面运动而发生了变化；②光的入射速度和反射速度由于方向不同而大小不同；③次生光波包络面与光的传播方向一般都不垂直，所以关于光在界面上的反射规律也就仍然非常复杂。但当入射光和反射光都是在真空中且界面做低速运动时情况将简单些。

此时我们已知真空中的绝对折射率为1，入射光速和反射光速均为c ，且入射光和反射光的传播方向都与其次生波的包络面垂直；还有已知反射面的偏转角是

tgΔθ≈ u cosθsinα/c

则由 s′= ct /sin（α+Δθ）= ct /sin（γ—Δθ）

得反射角 γ=α+2Δθ=α+2 u cosθsinα/c

从上述研究中可以看出，虽然观测者为静止的，但光在运动介质中的折射规律已相当复杂。若改在运动的介质惯性系中看，虽然界面不动了，光的传播仍为直线，但其相对光速在各个方向上仍然不同；且由于观测者所在参照系自身时空的变化，使介质中次生波的波面看起来都成为椭圆，各个角度的测量值也都发生了变化；光的传播方向与次生波面仍不垂直。所有这些原因都使得在其中研究光的折、反射规律亦都非常复杂。但当介质低速运动时，其中的动观测者可将之视为静参照系来进行研究。这样不仅较为简单方便，且误差也不会太大。

即当u << c时，可略去二次微小量，从而使问题大大简化。

（三）设在与介质做同步运动的动观测者看来，光线相对界面法线的入射角为α（应带撇，此处省去。下同），折射角为β，反射角为γ．界面法线与x′轴的夹角为θ. 则入射光速为

v₁ = cc/ [ n₁c + u cos（α+θ）]

入射光线与次生波包络面法线的夹角是

tgA = dv₁ /v₁dα= u sin（α+θ）/ [n₁c + u cos（α+θ）]

= u sin（α+θ）/ n₁c

折射光速 v₂ = cc/ [ n₂c + u cos（β+θ）]

tgB = dv₂ /v₂dβ= u sin（β+θ）/ n₂c

由 s = v₁t sin(90°+ A) /sin(α— A)

= v₂t sin(90°+ B) /sin(β— B)

得折射规律为

sin(α— A) cosB /sin(β— B) cosA = v₁ / v₂

= [ n₂ + cos（β+θ）u/c ]/ [ n₁ + cos（α+θ）u/c ]

将其展开并略去含有 uu/cc的二次微小量项，可算得含有一次微小量的项之和等于0 .于是得

sinα/ sinβ= n₂ / n₁

例 当光竖直射入做水平运动的水平玻璃界面时，θ= 90°

在同步运动的动观测者看来，入射角为

tgα= u/ c SQRT(1- uu/cc) sinα≈ u /c

得 sinβ= un₁ / cn₂

（四）在反射情况下，其光速为

v₃ = cc/ [ n₁c — u cos（γ—θ）]

反射光线与次生波包络面法线的夹角是

tgC = — dv₃ /v₃ dγ= u sin（γ—θ）/ n₁c

由 s = v₁t sin(90°+ A ) /sin(α— A)

= v₃t sin(90°- C ) /sin(γ+ C)

而得反射定律为

sin（α—A）cosC / [sin（γ+C）cosA ] = v₁ /v₃

= [ n₁c — u cos（γ—θ）] / [ n₁c + u cos（α+θ）]

也展开并略去含有二次微小量 uu/cc的项，可得

α=γ

可见，在低速运动的介质内，在一级精度上，光的折射规律和反射规律与在静止介质中的基本相同。

至此，关于光在运动介质中的传播规律问题终于得到圆满解决。

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