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我们先作几点说明： 1、波源的本征周期（频率）是由波源的特性决定的；波的传播速度是由媒质的性质决定的。 对于电磁波来说其绝对速度是由现实空间的性质决定的；而本征波长则是由本征周期和波动速度共同决定的。即 λ。= cT。 2、测量周期我们规定是观测点先后与相邻两波面相交所间隔的时间。测量频率是测量周期的倒数。 即 υ′= 1 / T′ 测量波速我们规定是当波面与观测点相交时，波面交点相对观测点的运动速度。波速方向不一定是横向或纵向，可以是倾斜的；波速大小可以随时间变化。 测量波长则规定是测量波速与测量周期的乘积。当波速变化时，周期必须很小。波长的方向 与波速相同。 λ′= c′T′ （ T′→0 ） 3、波源发出信息与观测者收到信息并不同时，观测者收到信息的时刻总要比发出时刻滞后 一些。
(一) 观测者静止，光源运动 此时光源的频率要减小，即 υ。′= υ。SQRT（1 — uu /cc ） 周期变长 T。′= T。/ SQRT（1 — uu /cc ） 对观测者来说，波速恒等于c . ①当光源做远离运动时，观测波长等于客观波长 λ′= ( c + u ) T。′= λ。SQRT [ (c + u ) /（c — u ）] 观测周期 T′= λ′/ c = T。SQRT [ (c + u ) /（c — u ）] 观测频率 υ′=υ。SQRT [（c — u ）/（c + u ）] ②当光源做趋近运动时，只需将上式中u前边的符号改变一下就行了。这样 λ′= λ。SQRT [（c — u ）/（c + u ）] 观测周期 T′= T。SQRT [（c — u ）/（c + u ）] 观测频率 υ′=υ。SQRT [（c + u ）/（c — u ）] ③当光源做垂直运动时，在垂点附近所发出的波在静观测者测来 λ′= c T。′= λ。/ SQRT（1 — uu /cc ） T′= T。′= T。/ SQRT（1 — uu /cc ） υ′=υ。′=υ。/ SQRT（1 — uu /cc ） （ 要求 u T。′= uλ′/ c << L）
(二) 光源静止，观测者运动 此时观测者所在参照系上的时空发生了变化。 ①当观测者远离光源运动时 观测光速 c′= cc / ( c + u ) 观测波长 λ′= λ。/ SQRT（1 — uu /cc ） 观测周期 T′= λ′/ c′= T。SQRT [ （c + u ）/（c — u ）] 观测频率 υ′= 1 / T′=υ。SQRT [（c — u ）/（c + u ）] ②当观测者趋近光源运动时 观测光速 c′= cc / ( c — u ) 观测波长 λ′= λ。/ SQRT（1 — uu /cc ） 观测周期 T′= λ′/ c′= T。SQRT [（c — u ）/（c + u ）] 观测频率 υ′= 1 / T′=υ。SQRT [（c + u ）/（c — u ）] ③当观测者做垂直运动时，观测者在垂点附近所测量的结果是 光速 c′= c /（1 — uu /cc ） 波长 λ′= λ。/ SQRT（1 — uu /cc ） 周期 T′= λ′/ c′= T。SQRT（1 — uu /cc ） 频率 υ′= 1 / T′= υ。/ SQRT（1 — uu /cc ） （ 要求 u T。= uλ。/ c << L）
(三) 光源与观测者同体平动 此时光源的频率减小，周期变长。 υ。′=υ。SQRT（1 — uu /cc ） T。′= T。/ SQRT（1 — uu /cc ） 但是测量频率和测量周期却不变，即 υ′=υ。T′= T。 测量光速为 c′= ( c — u cosβ) /（1 — uu /cc ） 测量波长为 λ′= c′T′ = λ。（1 — u cosβ／c ）/（1 — uu /cc ） 式中β为光的传播方向与参照系运动方向的夹角。 ①当观测者做顺光运动时，β=0 测量光速 c′= cc /（ c + u ） 测量波长 λ′=λ。c /（ c + u ） ②当观测者做逆光运动时，β=180° 测量光速 c′= cc /（ c — u ） 测量波长 λ′=λ。c /（ c — u ） ③当观测者做与光线垂直的运动时，β=90° c′= c /（1 — uu /cc ） λ′= λ。/（1 — uu /cc ） 此时在观测者看来，光线是倾斜的。 ④ 当观测者做斜顺光运动，其中 cosβ= u / c 时 c′= c λ′= λ。 此时在观测者看来，光线是垂直下来的。 利用上述原理，我们可以解决许多具体问题： A、当汽车迎向信号灯行驶时，在汽车司机看来，信号灯光的频率要提高。若将红光看成绿光，那么其频率将由4.5×10 ^14 赫兹提高到5.5×10 ^ 14赫兹，此时汽车行驶的速度将达到 ∵ SQRT [（c + u ）/（c — u ）] = υ′/υ = 5.5×10 ^ 14 / 4.5×10 ^ 14 ∴ 得 u = 0.198 c = 5.94×10 ^ 4 (千米/秒) 这么大的速度在现实生活中显然是不可能的。 B、目前广泛流行的“宇宙大爆炸”理论就是根据所观测到的遥远星光的“红移”现象，从而推断“所有的星系都在离我们远去”的。根据天文观测的结果已经证实，星光的红移量与其距离与正比。即 △λ/λ。=（λ′— λ。）/ λ。= H。r / c 假若此“红移”真的是由光的多普勒效应引起的，那么就可以推断：我们周围所有的星系都在远离我们而去，且半径越大，退行速度越大。再结合在周围空间内各向同性的观测事实，似乎我们正处在宇宙中心的位置静止着。这就等同于观测者静止、光源做远离运动的情况。根据前面所述的原理. ∵ λ′=λ。SQRT [（c + u ）/（c — u ）] ∴ （λ′—λ。）/λ。= SQRT [（c + u ）/（c — u ）] — 1 将之与前一式相比较，得 SQRT [（c + u ）/（c — u ）] — 1 = H。r / c 由此式可解得 u = [ (1＋H。r/ c) ^ 2 — 1 ] c / [ (1＋H。r/ c) ^ 2 + 1 ] 当 r →∞ 时 u → c 当 r →0 时 u ≈ H。r 可见，公式 u = H。r 只有在近距离范围内才适用，而不象有些人认为的r可以无限增大，甚至可以使 u = c .按照机械波的多普勒效应原理我们也可以推得此式。此时 △λ/ λ。=（ λ′— λ。）/λ。= u / c 让它与式 （λ′— λ。）/λ。= H。r / c 相比较可得 u = H。r 这当然是不够妥当的。可是尽管如此，当u = c时, r = R = c / H。仍然是一个很重要的参数。 如取哈勃常数 H。= 2.6×10 ^ ( —18） 1/秒， 则 R = 1.15×10 ^ 26 米 = 123×10 ^ 8 光年 在此距离上，星系的实际退行速度是 u = 0.6 c 当 r = 2 R 时 u = 0.8 c 当 r = 3 R 时 u = (15 /17 ) c C、雷达波的多普勒效应 a. 用静雷达测迎面飞来的飞机速度.被飞机反射的周期 T。′= T。c /（c +u ）= λ。/（c + u ） 雷达接收的波长 λ′= T。′( c — u ) = λ。（c — u ）/（c + u ） 接收周期 T′= λ′/ c = T。（c — u ）/（c + u ） 接收频率 υ′= 1/ T′=υ。（c + u ）/（c — u ） 根据频率的变化即可测出飞机的速度u. b. 用飞机上的动雷达测被前方静止物体反射的波. 此时飞机上的电磁波源频率变慢，周期变长. υ。′=υ。SQRT（1 — uu /cc ） T。′= T。/ SQRT（1 — uu /cc ） 飞机发射的波长 λ。′= T。′( c — u ) 电磁波被静物反射后波长不变，这样飞机接收的波长是 λ′= λ。′SQRT（1 — uu /cc ）= λ。c /（c + u ） 飞机接收周期 T′= [λ。′/（c + u ）] SQRT（1 — uu /cc ） = T。（c — u）/ （c + u ） 接收频率 υ′= 1/ T = υ。( c + u ）/（c — u ） 可见都与飞机的飞行速度u有关。 另飞机接收波速 c′= λ′/ T′= cc /（c — u） 这正是迎光运动时的光速计算公式。 我们是通过信息来观测周围物质世界的。由于信息接收的延时性，还由于物体各点信息传递过程的差异，所以不管我们采用什么观测方式，所收到的信息都不能及时地正确反映物体的形位情况。例如从天空中飞机声传来的方向我们往往找不见飞机；我们晚上所看到的恒星都是它在多年以前的星像，现在早已离开了该位置；我们从平面镜中看到的只是物体的虚像，物体并不真的在那儿；还有我们从“哈哈镜”中看自己结果是已经变得面目全非。 即使单用光来传递信息也不能改变这一局面。由于物体各位置点的信息发出时刻不同，它们的光路不同，所以我们在某一时刻收到的信息并不能反映同一时刻物体各点的真实位置。特别是当物体和观测者都在运动时情况更为复杂。下面我们只研究其中较为简单的一种情况：观测者静止、物体做纵向运动时，物体纵向长度的变化。 A：当物体做趋近运动时，我们所同时看到的近端、远端光线并不是在同一时刻发出的，其中远端光线发出的要早，因此测量长度将大些。 ∵ t = L。′/（c — u ） L。′= L。SQRT（1 — uu /cc ） ∴ L′= c t = c L。′/（c — u ） = L。SQRT [（c + u ）/（c — u ）] > L。 B：当物体做远离运动时，物体远端光线还是发出的较早，但测量长度却变短。 ∵ t = L。′/（c + u ） L。′= L。SQRT（1 — uu /cc ） ∴ L′= c t = c L。′/（c + u ） = L。SQRT [（c — u ）/（c + u ）] ＜ L。 这与光源在做远离运动时光的波长的变化情况正相反。 附： 在空间中，一运动观测者对任一运动光源的观测结果. 设 观测者的绝对运动速度为u1 ，运动方向与光传播方向的夹角为β1 ；光源的绝对运动速度为u2 ，运动方向与光传播方向的夹角为β2 . 则 客观频率 υ。′=υ。SQRT [1－ u2 u2 / cc ] 客观周期 T。′= T。/ SQRT [1－ u2 u2 / cc ] 客观波长 λ= (c － u2 cosβ2 ) T。/ SQRT [1－u2 u2 / cc ] 客观波速 c = 恒量 (与u2、β2无关)
观测波速 c′=（c — u1 cosβ）/ [1－u1 u1 / cc ] (与u2、β2无关 ) 观测波长λ′=（c — u2 cosβ2 ）T。/ SQRT [（1－u1u1/ cc）（1－u2 u2 / cc ）] (与β1无关 ) 观测周期 T′= T。[ ( c — u2 cosβ2 ) /（c— u1 cosβ1 ）] SQRT[ (cc — u1u1 ) / (cc— u2u2 ) ] 观测频率 υ′=υ。[ ( c — u1 cosβ1 )/（c — u2 cosβ2）] SQRT[ (cc — u2u2 )/ (cc— u1u1 ) ] 推导过程及换算关系从略。
关于光程角差的计算。设有一束光斜射向动观测者，光与绝对 运动方向的夹角是θ，那么在他看来，光与运动方向的夹角是 θ′. 则 tgθ′= c sinθSQRT(1- uu/cc ) / (c cosθ- u ) 当 u<< c θ<< 90° 时 Δθ=θ′—θ = u sinθ/c – uu sin2θ / 4cc – uuu sinθ / 2ccc 当 u<< c θ≈ 90° 时 Δθ= u / [ c SQRT(1- uu/cc ) ] = u/c + uuu/2ccc
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马国梁 （emgl@sohu.com） 上传2007.05
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