摘要 本文从另一角度提出了费马原理的表达形式，并据此推出了球面平行介质和平面平行介质的折射方程.

关键词 费马原理 折射方程

在一般教科书和报刊中，常将费马原理写成如下的微分形式

（1）

式中n为介质的折射率，A、B是空间中固定的两点，dl 为连接A、B两点空间曲线上的微元段。然而在实用上，这个公式却极不方便。它使推导过程及结果往往都变得非常复杂。

笔者经研究发现，费马原理还有另外一种表达形式，其微分式是

d(n r sinα) = 0 （2）

式中α是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然n、r和sinα都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。

1. 在球面平行介质中，因每个微元面的法线都在其半径方向上，此时折射率只是其半径的函数。

n = n(r) （3）

设 光线的出发点仍然是A ，则根据（2）式得

n r sinα= n_A r_A sinα_A （4）

在球心极坐标系中，设极角为φ

因为 dφ=

所以将（4）式代入此式可求得得

dφ= （5）

这就是光线在球面平行介质中的折射方程。它适用于宇宙中所有星球表面的大气折射。例如在地球表面上，沿地平线穿过大气层发射到太空中的光线偏折角可这样计算.

设 （6）

其中 n_o = 1.0002926 r_o = 6371 km H = 8 km

那么利用（5）式积分，r的积分区间是从r_o → ∞

可得光线所对的地心角是 φ= 90°39.7′

光线的偏转角为39.7′，这与实际情况是相符的。

2. 在平面平行介质中，因为各微元面的曲率半径都相等且为无穷大，所以（2）式变为

d(n sinα) = 0 （7）

由此可以推出现在最为常见的形式

n₁ sinα₁ = n₂ sinα₂ （8）

此公式不仅适用于折射率渐变的介质，也适用于折射率突变（有分界面）的两种介质间的光折射。

在平面平行介质中，折射率只是其垂直方向上高度的函数。即

n = n(y) （9）

则由 n sinα= n_A sinα_A 和 dx/dy = tanα

可推得 dx = （10）

当然，在r = r_A→ ∞ 时，由于 r/r_A = 1 ，再令 r dφ= dx 、dr = dy ，故由（5）式也可推得此式。即平面平行介质只是球面平行介质的特殊情况。

再将n = n(y) 式代入（10）式，即可得光线在平面平行介质中的折射方程。

dx = （11）

解此微分方程即得到光的折射路径方程。例如在地面附近，当研究由大气折射所形成的“海市蜃楼”现象时即可用此法求解。此时可设n = n。- ky ，n_A = n_o ，α_A = α_o ，将之代入（10）式可最后解得

x = （12）

光的折射路径会随发射角α_o 的变化而变化。当sinα_o > 1/n_o 时即将在远处产生“蜃景”。其详情不再赘述。

参考文献：
   [1] 芮策等.试析“海市蜃楼”现象[ J ].大学物理.1991.10（10）：44 ~ 46
   [2] 尹增谦等.渐变折射率介质中光线路径的数值计算[ J ].大学物理.2003.3（3）：8 ~ 10

作者简介 马国梁，男，1959年3月出生，山东省济南市人。1982年初毕业于山东农业大学。毕业后多年从事中专物理教研工作，现为山东省章丘市第一职业中专高级物理教师。从1996年开始研究相对论问题，著有《经典相对论》一书并在网上发表。

Author’s Brief Introduction Ma Guoliang; male; born in March , 1959; from Shandong Ji’nan. Graduated from Shandong University of Agriculture early 1982. Have been engaging in physics teaching and researching many years after graduation, is now an advanced physics teacher in Shandong Zhangqiu No.1 Technical Secondary School. Have been studying Relativity since 1996, and written a book Classical Relativity which released on internet .