四、量子力学与广义相对论没有统一的原因

《自然杂志》１９卷４期的‘探索物理学难题的科学意义的９７个悬而未决的难题：９１．引力能否用量子理论加以描述？９２．能否将引力和其他几种基本力统一起来？

丹尼斯·玻尔喜欢说:“我们是悬吊在文字上的” 【1】。而作者在不远处看到,人们在用文字.数字以及图形编织成的绳子上荡秋千。量子力学这根绳子已不堪引力量子化的重负!普朗克提出量子论已百余年,其间爱因斯坦将量子论与光辐射理论结合【2】;丹尼斯·玻尔将其引如原子内部;薛定鄂等人共同建立起量子力学大厦.但引力量子的研究目前是停滞不前，是二十乃至二十一世纪物理学晴朗天空上的一片乌云！量子引力的困难，暗示了对通常物质场有效的量子化方案引力场已不再适用。这就是为什么大统一理论不能纳入引力相互作用的原因，甚至于形式上的统一也办不到。场相互作用理论认为强相互作用是传递胶子实现的；弱相互作用是通过传递中间玻色子实现的；电磁相互作用是传递虚光子实现的；引力相互作用是传递引力子实现的。

广义相对论和量子力学彼此不直接矛盾，但是它们看起来不可能融于一个统一理论，根本原因在于广义相对论是研究引力场，量子力学研究electric field。虽然Einstein的狭义相对论开始写作《论运动物体的电动力学》，但是它只考虑到电磁质量与引力质量的等价性，没有研究其区别，与研究引力场没有区别。狭义相对论与量子力学的结合则十分自然地产生了相对论量子力学和相对论量子场论，在这基础上又发展出粒子物理学，经受了无数实验的检验。由经典力学和量子力学可知，物理系统其全部性质由其拉氏量ψ完全决定。拉氏量是由物理系统的动力学变量及其一阶时、空微商所构成。拉氏量中动力学变量的对称性，即在某类连续群变换下的不变性，反映了该系统存在的守恒量及相应的守恒流。连续群所表征的变换称为规范变换，其变换群参数是独立于背景space-time的常数。如将其参数改成依赖背景space-time位置的任意函数，其变换称为局域性变换，前者称为整体变换。由于局域性变换是space-time流形坐标的函数，因而它不能与space-time坐标微商交换。拉氏量对局域性变换不再具有原有的对称性，为了维持其对称，需将拉氏量中的普通微商改成协变微商，即在微商中引入补偿场，其场称为规范常物质之间的相互作用是通过规范场在中间传递来实现。【3】因此物质之间的相互作用力是规范力，规范场也是研究电磁质量和引力质量的等价性的。下面的分析来自于网络，说明对于电磁质量不能只考虑其对称性，还应当考虑考察它们的非对称性：

1． 关于电磁场的算子理论.

经典场论中并矢格林函数的形式为: (1)

但是可以证明由于奇异项的存在,格林函数不再具有几何对称性,即对于一个矩形腔,取不同的领示矢量就会得到不同的结果.用算子理论可以得到没有奇异项的并矢格林函数,十多年后国外也出现了电磁场算子理论的著作,也不再出现并矢格林函数中奇异项.

2.关于矢量偏微分算子理论. 麦克斯韦方程组是经典数学所不可能精确求解的.其原因在于经典数学无法严格的处理矢量偏微分运算符,因而研究并建立了矢量偏微分算子理论.它是以拉普拉斯算子的波函数空间和广义函数理论为基础,把那些原来只对于标量函数的数学理论扩展到三维矢量函数.一个三维矢量函数的几何空间,可以从欧氏空间的尺度对矢量函数进行射影,也可以在矢量偏微分算子的矢量波函数空间的子空间上进行射影.由于欧氏空间内的射影与麦克斯韦方程组本身的数学形式不符,因而只能是近似的,而不可能精确的求解麦克斯韦方程组.

3.关于电磁波基本方程组. 在矢量偏微分算子理论下,电磁场被分成了两个子空间:旋量场子空间和无旋场子空间.而电磁波属于旋量场子空间.通过子空间的射影可以把无旋场分离出去,建立纯旋量场空间内的电磁波方程组棗电磁波基本方程组.所以它实际上就是麦克斯韦方程组在旋量场空间尺度下的新形式.它是一个以两个标量波函数和两个标量拉普拉斯运算符,在一个联立的齐次边界条件组成的方程组.这一方程组具有数学逻辑的自洽性.

4.齐次边界和辐射边界条件下电磁波基本方程组的本征问题和格林函数问题.

由电磁波基本方程组的数学自洽性,从理论上可以解决理想边界和辐射边界条件下的本征问题和格林函数问题.也就是说现在我们对宏观的电磁场问题的认识,已经不再是Einstein时代的那种抽象的概念性的认识,不再只是一维平面波的认识,而是有了精确解决电磁波的各种传播特性的条件.

5.关于现代场论与经典场论.

它并没有改变麦克斯韦电磁场理论的基本内容,麦克斯韦方程组并没有任何改变.所改变的主要只是求解麦克斯韦方程组的数学方法.麦克斯韦方程组本来就是不能直接求解的,只有通过一定的变换才能得到可以解析或计算的形式.这种变换依赖的是一种“尺度”,不同的尺度对变换的等价性有不同的定义.经典理论用的是欧氏空间的尺度,现代场论用的是矢量偏微分算子空间的尺度,特别是它的旋量场子空间的尺度.这与其说是一种改变,不如说是把原来没有找到的合适的尺度找出来了.这一旋量场空间上的尺度的发现,在物理上搞清楚了两件事:一是原来电磁波与电磁场不是一回事,电磁波是电磁场中的一个子空间,它不是欧氏空间中的任意的矢量函数,它能够用两个独立的标量函数而不是欧氏空间中的三个射影来精确的表示.二是根据矢量函数的广义函数理论,麦克斯韦方程中的电流J也不再是经典函数形式的电流,其本身就成了电流与电磁波相互作用所产生的激励电磁波.

下面是中国科学院电子学研究所的宋文淼的分析：

现代电磁场理论使电磁波与光量子之间的差别大大缩小了:都是有两个独立的标量波函数组成的,对于光量子一般只考虑自由空间,两个函数就退化为一个;标量波函数都需要“旋”一下才能表达出它们更丰富的空间形态;只有在特殊的环境下,才能够以单一模式存在,一般情况下都以孪生模的形式存在.

所不同的只是:1.在微波状态下,不讨论粒子性问题,而对光量子要考虑粒子性,2.在量子光学中,自旋算符只是一种符号,而微波状态下,两类旋度算符与经典数学的运算方法最后是相通的.寻找这两者的更多的共同点,建立一个既有宏观机制又有粒子性电磁场理论,已经成了应该着手解决的努力方向.

(2)波函数尺度下的数理逻辑的因果律.

关于波函数的物理解释一直是物理学界争论不休的问题.现代电磁场理论解决了波函数空间尺度下的因果律问题.不同的数学范畴下,有它自己的运算规则和尺度.波函数空间下的尺度与欧氏空间下的尺度是不同的.在同一数学范畴下,各个量之间的等价性是可以通过严格的数学运算来表示的;而不同空间尺度下的物理量之间的等价性是不能直接用数学运算来表示的.这里需要的是建立一种为大量实验所认可的数理逻辑关系.这种逻辑关系不可能对于两种不同的数学范畴的运算规则和尺度,都保持严格的数学形式上的相等.

参考文献：

【1】理查德·罗兹.原子弹出世记[M].北京：世界知识出版社，1990：56;

【2】 A.Einstein,Annalen der Physik,17(1905),132-148.

【3】王仁川 著.《广义相对论引论》 中国科学技术大学出版社 1996年版