六、量子几何与现代物理学

“看到数学分布到很多领域，每个领域都需要奉献短短的一生，Einstein发现自己不知如何是好，Einstein认为，对于一名物理学家，只要了解数学基础知识，并且知道怎么用就足够了，其它深奥难解的事对于物理学家没有什么价值。到了后来，他才认识到自己的错误，但悔之晚矣。” 【1】

20世纪理论物理学家说得最多的话题是广义相对论和量子理论，而量子几何正是为现代物理学这两大支柱整合服务的。因为空间量子化不仅是许多物理学家曾经的猜测，而且因量子化概念本身的广泛应用已开启了人们的想象，传统的量子引力方案是继承广义相对论经典的表述方式，即以度规场作为基本场量，一个连续的背景时空会是量子场论中紫外发散的根源。1971年 R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。1986年后，A. Ashtekar 等物理学家借鉴了A. Sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，即以自对偶自旋联络作为基本场量 ，这组场量通常被称为 Ashtekar 变量，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同时 T. Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop Quantum Gravity。1994年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本征值，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和 Penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (Quantum Geometry)。这里它完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种背景无关的量子引力理论。一些物理学家认为 Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。

Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段。因为从几何上讲，Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此，自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架，因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人发现在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性，即称为微分同胚不变性所导致的约束条件与数学上的 “节理论” 有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘，其实在概念上并不难理解，微分同胚不变性的存在使得 Wilson loop 中具有实质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论的紫外发散。

我们知道一个量子系统的波函数由包含了对系统有影响的各种外场的作用。这种方程对于波函数 Ψ 是线性的，也就是说如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解，那么它们的任何线性组合也同样是方程的解。这被称为态迭加原理，在量子理论的现代表述中作为公理出现，是量子理论最基本的原理之一。但是一旦引进引力相互作用，情况就不同了。因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源，而引力相互作用又会反过来影响波函数，这就在系统的演化中引进了非线性耦合，从而破坏了量子理论的态迭加原理。不仅如此，进一步的分析还表明量子理论和广义相对论耦合体系的解是不稳定的。其次，广义相对论和量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临一些尖锐的问题。例如量子理论同样被无穷大所困扰，虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。但从理论结构的角度看，这些无穷大的出现预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的 “有效理论” 。因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力。引力量子化早期的尝试,几乎用遍了所有已知的场量子化方法。最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化。协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量分解为背景部分和涨落部份。但不同的文献对背景部份的选择又不尽相同，这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为 2 的无质量粒子，即引力子。由于这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明，基本上结束了早期协变量子引力的生命。

与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 ，从而破坏了明显的广义协变性。时间轴一旦选定，就可以定义系统的 Hamilton 量(哈密顿量)，，并运用有约束场论中普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既有数学上的，也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态。当然量子引力还有另一种极为流行的方案是超弦理论 。与传统的量子几何相比,量子引力只不过是超弦理论的一个部份。从量子引力的角度来看，传统的量子几何是正则量子化方案的发展，而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展。这是由于当年受困于不可重整性，人们曾经对协变量子化方法做过许多推广，比如引进超对称性，引进高阶微商项等，这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中。因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关，但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。经过十几年的发展，目前 Loop Quantum Gravity 已经具有了一个数学上相当严格的框架。除背景无关性之外，Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。一个国际合作的研究小组在１月１７日出版的英国《自然》杂志上，报告了他们对于地球重力场量子化的观测结果。他们让冷却到非常接近绝对零度的中子在重力场中运动，同时用一个探测器观测中子的下落。结果他们发现，中子的下落过程不是连续的，而是从一个位置“跳”到了另外一个位置，这一过程与理论的预测相符合，从而实际观测到了引力场的量子效应。不带电微粒子（如中子）在低真空度的管室内，在地球引力场的自由下落，不是沿下垂线连续落下的，而是阶梯式下落的。这表明引力场实际上也是象原子内的电磁场那样，也有能级的，是离散的。行星、卫星稳定轨道的不连续分布早就表明了这点，只是人们没从这一观点上去认识而已！

Einstein的广义相对论场方程直接支配运动方程，而无须引入任何新的常量。事实上，Einstein的广义相对论的运动方程可以直接从表述能量——动量张量的散度等于0的方程△r=T_ur中得出，因此electric field的方程应当直接得出量子跃迁的条件。在任何自恰的场理论基础中，不应该在场的概念上附加任何粒子概念。整个理论的基础应仅仅建立在偏微分方程及其非奇性解上。【2】如果考虑到拓扑空间结构没有时间轴，那么electric field的理论基础可能不是仅仅建立在偏微分方程及其非奇性解上。中微子不带quantity of electricity而具有引力质量说明其只具有度量结构，不具有拓扑结构。电磁质量与引力质量的差异性是对称的相对性的表现形式，例如数值在实数集上量子分布与连续分布、度量空间结构与拓扑空间结构、惯性差异等。

参考文献：

【1】《Einstein传》 51页【美】A•弗尔辛 著薛春志遥遥 译时代文艺出版社出版，1998年10月第1版

【2】Einstein 著 方在庆、韩文博、何维国 译.《Einstein晚年文集》海南出版社 2000年3月第1版