数学分析中的几个定理的探讨2

摘要：本文对数学分析中的几个定理作了进一步的探讨，有的放宽了条件，有的通过类比某些定理得到了新的定理。

关键词：拓广、莱布尼兹判别法、狄义希莱判别法、阿贝尔判别法

数学分析自从牛顿、莱布尼兹创立以来，在许多数学大师的努力之下日趋完善，建立起了完整的体系，并为其它学科的发展奠定了知识与方法论的基矗笔者通过学习发现数学分析中的几个定理有待于进一步改进。

（一） 莱布尼兹判别法

莱布尼兹判别法：对于交错级数 ,若（1）对任意自然数n≥1,有u≥u;

(2)limu＝零,则交错级数u收敛。

n→∞

莱布尼兹判别法是判定交错级数收敛的一个重要的判定定理，而级数的收敛散性与前面的有限项无关，因此可以去掉前面的有限项，可改进如下：

莱布尼兹判别法：对于交错级数 ,若（1）存在自然数N时，当n≥N时，有u≥u。

（2）limu ＝零。则交错级数 收敛。

n→∞

显然当N=1时，便与前面的莱布尼兹判别法，这样便将条件放宽了，使用范围更广了，其证明非常简单，在此从略。

㈡函数项级数的M判别法

函数项级数与含参变量广义积分具有许多相似的性质，尤其是它们收敛性的判别法从某种意义上讲可以认为它们是相同的，但有一点略微存在差异，这就是它们的——M判别法，下面列出国内出版的数学分析教材的一般叙述：

函数项级数的维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数 的一般项在某区域x上满足：| u(x)|≤M (x∈X,n=1,2,……),而收敛，则级数在X上绝对一致收敛。

含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法：设对任意x∈X,y≥a,有|f(x,y)|≤g(x,y),而g(x,y)dy一致收敛，则g(x,y)dy对x∈X绝对一致收敛。

通过比较，可以看出上面的两个定理极其相似，只是有一点区别：前面通过判定收敛数项级数来判定函数项级数的一致收敛性，后者通过判定已知含参变量的广义积分的一致收敛性来判定所求的含参变量广义积分的已知收敛性；显然后者比前者更具有一般性，因为由 M的收敛性可以推出M(x)的一致收敛性，但由 g(x,y)dy一致收敛得不到 g(y)dy收敛。为了使函数项级数一致收敛的判别法更具有一般性以及将函数项级数、含参变量广义积分一致收敛的判别法统一起来，笔者建议做如下修改：

函数项级数的维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数 的一般项在某区域x上满足：|u(x)|≤M(x) (x∈X,n=1,2,……),而 在x上一致收敛，则 在x上一致收敛。

证明：由于 一致收敛，因此对于任意的ε＞0，存在N，对于任意x∈X,对任意的自然数p,成立 ＜ε。于是，当n＞N时，不等式|

）|≤ ≤ ＜ε,对任意自然数p及任意x∈X成立。

证毕

另外，由于级数的收敛性与前有限项无关，因此我们可以进一步改造如下：

函数项级数的维尔斯特拉斯判别法 ：设函数项级 的一般项在某区域X上满足：存在N，当n＞N时，成立|u(x) |≤M(x), (x∈X,n=1,2,……)而 一致收敛，则级数 在x上一致收敛。

[注] 该判别法也可推广至复函数项级数。

含参变量广义积分的维尔特拉斯判别法：设对任意x∈X,存在β≥α ，当y≥β时，有|f(x,y)|≤g(x,y),且 g(x,y)dy一致收敛，则 g(x,y)dy对x∈X一致收敛。

㈢狄义希莱判别法

先讨论数值级数收敛的狄义希莱判别法：设级数部分和B=是有界的，即|B|≤M(n=1,2,……),又a是单调序列，lima=0,则收敛。

n→∞

狄义希莱判别法：设级数 的部分和B= 是有界的，即|B|≤M

(n=1,2,……),lima=0,则级数 收敛，若满足下列条件之一：⑴a是单调

n→∞

序列 ⑵a、b均不变号。

证明：⑴当a是单调序列时，命题成立已知。

⑵若a、b均不变号，∵b不变号，|B|≤M，∴对于任意自然数

n→∞

n, |b|≤M。

又∵lima=0 ,∴对于任意ε＞0，任取自然数p,存在N，

n→∞

当n＞N时，对上述ε＞0与自然数p，当n＞N时，

||≤ =M＜Mp×=ε

∴级数 收敛。

因为数值级数与无穷积分非常类似，所以也可以得到无穷积分的狄义希莱判别法（证明略）：对于无穷积分g(x)dx,有A＞c,| g(x)dx |≤M,

limf(x)=0,则无穷积分 g(x)dx收敛，若满足下列条件之一：

x→∞

⑴ f(x)单调；

⑵f(x),g(x)均不变号。

再讨论函数项级数一致收敛的 狄义希莱判别法：设在X上一致有界，其界为M，对每一x∈M是单调序列并一致趋向于零，则 在X上一致收敛。

与数项级数的狄义希莱判别法相比，函数项级数只是加了一致性，即对任意x∈Z这一条件，因此也可作如下修改（证明类似，在此从略）。

狄义希莱判别法：设在Z上一致有界，其界为M，a(x)对每一x∈X一致趋向于零，则 在X上一致收敛，若满足下列条件之一：

⑴对每一x∈X,a(x)是单调序列

⑵对每一x∈X，a(x)、b(x)均不变号。

类似于函数项既是也可以写出含参变量广义积分一致收敛的狄义希莱判别法：设⑴存在正常数M，对任意x∈X,A≥a,有| f(x,y)dy|≤M

⑵ y→∞时，g(x,y)对x∈X一致趋于零，则积分g(x,y)dy对x∈X 一致收敛

若满足下列条件之一：

⑴对任意固定的x∈X,g(x,y)是y的单调函数；

⑵对任意固定的x∈X,f(x,y)dy, g(x,y)dy均不变号。

㈣阿贝尔判别法

先讨论数值级数的阿贝尔判别法：设级数收敛，又a单调有界，|a|＜L(n=1,2,3,……),则级数收敛。

阿贝尔判别法是判定数值级数收敛的一种重要方法，不过它要求a单调，然而有时某些级数中a不单调，但级数 绝对一致收敛，我们也可以证明级

数 收敛，鉴于此可以将阿贝尔判别法作如下修正：

阿贝尔判别法：设a有界，即|a|＜L（n=1,2,3,……）,则级数 收敛，若满足