四面体重心的性质及其推广

一、前言

三角形是平面上最简单的封闭图形，四面体是空间最简单的封闭图形，它们之间存在这许多相似点，例如三角形中任何两边之和大于第三边，四面体中任何三个三角形的面积之和大于第四个三角形的面积；三角形与四面体都具有稳定性；三角形有五“心”，四面体中YE也有类似的概念（1）。

三角形的重心具有许多重要性质（3），三角形的重心定义及性质可进一步推广（2），那么四面体的重心是否也具有类似的性质，并可进一步推广，为此笔者尝试着进行了一些探索，得到了几个结论，并找到了一些应用，特提出以供商榷。

二、四面体重心的性质及应用

定义1：连接四面体的一个顶点所对的面的重心的线段称为四面体过这个顶点的一条中线。

定理1：四面体的四条中线共点，且这点把四面体的每一条中线都分成3：1的两段。

证明参阅（1）

定义2：四面体的四条中线的交点称为这个四面体的重心。

定理2：如下图所示，设G为四面体ABCD内一点，下面的命题组等价：

（1）G为四面体的重心；

（2）设E、F、G、H分别为△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的重心，则D、G、E共线，C、G、F共线，A、G、M共线，B、G、M共线，切DG：GE=3：1，CG：GF=3：1，AG：GM=3：1，BG：GH=3：1；

（3）平面BDG、ADG、ABG、ACG均把四面体分成体积相等的两部分；

（4）V_{四面体GABC}= V_{四面体GACD}= V_{四面体GBCD}= V_{四面体GABD}=0.25 V_{四面体ABCD}；

（5）设AB=c,BC=a,AC=b,AD=d,CD=e,BD=f,则AG²=（3b²+3c²+3d²-a²-e²-f²）/16, BG²=（3a²+3c²+3f²-b²-d²-e²）/16, CG²=（3b²+3a²+3e²-c²-d²-f²）/16, DG²=（3e²+3f²+3d²-a²-b²-c²）/16;

(6)a²+b²+c²+4DG²=a²+e²+f²+4AG²=d²+b²+e²+4BG²=c²+d²+f²+4CG²=0.75(a²+b²+c²+d²+e²+f²);

(7)AG²+BG²+CG²+DG²=0.25(a²+b²+c²+d²+e²+f²);

(8)设P为四面体ABCD内一点，则G为使AP²+BP²+CP²+DP²取得最小值点，且最小值为0.25(a²+b²+c²+d²+e²+f²)。

AB