实 数 的 量 子 化 理 论

(一)数学分析研究的时代背景

微积分是莱布尼茨和牛顿在1661～1680年间，以无穷小量为基点创立的，故叫做无穷小量分析法．它虽然在实践中无所不能，但却在理论上留下了微分dx既等于0又不等于0的矛盾之谜．例如：

求函数y = x²的导数时，令自变量x变化无穷小增量dx≠0，则y随之变化增量dy，所以

y +dy = (x+dx)² = x²+2xdx+(dx)²．

上式两边同减去相等的量y和x²得

dy = 2xdx + (dx)²．

因为dx是无穷小增量而非0，即dx≠0，所以，上式两边同除以dx得

dy/dx = 2x+dx．

因为dx是无穷小量，因此可以看作或认为dx = 0（请注意：其中的“看作或认为”体现出暴力性，因为把本来不为0的dx强行看作或认为是0），所以导数为

y′= (dy/dx) =2x+dx=2x+0=2x． (1)

这样，求得的导数y′=2x虽为真值，但却留下了dx≠0和dx= 0的矛盾之谜，叫做微积分之谜；因为主要是贝克莱指出了这个谜，所以该谜又叫做贝克莱悖论；因为该谜200年后仍未揭开，所以该谜还叫做第二次数学危机[ 第一次数学危机为]，并因此成了著名的世界数学大难题．

为了揭开微积分之谜，科学家们陆续奋斗了约200年（可见该世界数学大难题是多么的大和难），到了19世纪中叶，柯西等人用极限学说修改了微积分，把dx≠0和dx=0的矛盾用极限符号掩盖起来，故使人们难于发现错误，所以人们就误认为揭开了微积分之谜，从而形成了现行的经典理论，叫做标准分析法．

但是，现行的标准分析法并未真正揭开微积分之谜．例如，标准分析法求函数y = x²的导数时，令自变量x变化任意增量Δx≠0，则y随之变化增量Δy，所以

y +Δy = (x+Δx)² = x²+2xΔx+(Δx)²．

Δy = 2xΔx + (Δx)²．

Δy/Δx =2x+Δx．

． (2)

或在Δx→0的条件下有

lim(Δy/Δx)=lim(2x+Δx) =2x+0=2x． (2)

式(1)左数第三个等号左边的dx≠0，右边的dx=0；式(2)左数第二个等号左边的Δx≠0，右边的Δx=0．而式(1)中的dx和式(2)中的Δx都是增量，所以标准分析法和无穷小量分析法一样，没有揭开微积分之谜．

另外，现行的标准分析法把任意函数y = f (x)的自变量的微分dx凭空想像地强行看作或认为就是特殊函数y = x的微分，然后用自己的微分定义求得微分dx等于其函数的自变量的增量Δx，即dx = Δx；甚至有的标准分析法名著就凭空想像地强行把dx直接规定为Δx，即dx = Δx．这种“凭空想像地强行看作或认为甚至直接规定”的暴力性，和无穷小量分析法“把本来不等于0的dx强行看作或认为是0”的暴力性是一脉相承的，所以标准分析法也和无穷小量分析法一样，没有揭开微积分之谜．

标准分析法没有揭开微积分之谜的现实，使第二次数学危机这个世界大难题的解决，延长到300多年后的今天，因此马克思批判说：“为了得到导函数，就必须令x₁=x，所以是严格数学意义上的x₁-x=0，而无须任何只是接近之类的遁辞．”美国数学家、逻辑学家鲁滨逊，也对人们做了下述批评：“在这个时期的历史写作中，有一个鲜明的对照：对于莱布尼茨及其追随者，给以严格的待遇，而对于极限学说的发起者的错误，却予以谅解．”由于人们严格地对待无穷小量分析法而谅解标准分析法的错误，因而并未发现标准分析法还增加了一个新的大错误，从而使得现行的经典理论——标准分析法的大错误增加为以下3 条：

一是“凭空想像”的，而不是来源于实践的．

二是“强行看作或认为甚至直接规定”的，而不是用公理或成熟理论推导出来的．

三是新增加的那个大错误，即把微分概念和增量概念混淆了，亦即dx = Δx．

微分概念dx和增量概念Δx混淆的大错误，还给现行的经典理论——标准分析法惹了一个大麻烦．那就是：现行的经典理论——标准分析法把瞬时速率v定义为路程增量Δs与相应的时间增量Δt之比在时间增量Δt→0时的极限．即

[或：v=lim(Δs/Δt)=ds/dt=ds/Δt（在Δt→0的条件下）]．

瞬时速率v的物理意义是：瞬时内走过的路程与瞬时之比．那么，dt是不是瞬时？若dt是瞬时，ds是瞬时内走过的路程，那么现行的经典理论——标准分析法定义的瞬时速率v=ds/dt就符合物理意义，所以能称得上是来源于实践的理论．但若dt是瞬时，那么Δt就必然是瞬时（因为dt =Δt），而Δt时间内走过的路程是Δs，所以，再按照瞬时速率v的物理意义，就应有瞬时速率v=Δs/Δt，这就与v=ds/dt=ds/Δt发生了矛盾．若dt不是瞬时，那么什么是瞬时？瞬时到底包含多少时间？如果不知道什么是瞬时，不知道瞬时到底包含多少时间，那么又怎么能知道，“路程增量Δs与相应的时间增量Δt之比在Δt→0时的极限”，就一定是瞬时速率v？这样，由于现行的经典理论——标准分析法不知道何为瞬时，不知道瞬时到底包含多少时间，而使得它的瞬时速率v的定义，又成了上述的强行看作或认为甚至直接规定的了．

㈡离散与连续的相对性与绝对性原理

连续和离散是矛盾的两个方面，也是相对性与绝对性的统一，根据唯物辩证法的观点它们也具有统一性的一面，从某一个方面考察是连续的量，从另一个方面考察是离散的。我们称之为离散与连续的相对性与绝对性原理。

根据离散与连续的相对性与绝对性原理可知，必须假定某些以前认为是连续的物理量是由基本量子组成的，例如容器中气体在宏观上施与器壁的压强是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。无规则运动的气体分子不断地与器壁相碰，就某一个分子来说，它对器壁的碰撞是离散的，而且它每次给器壁多大的冲量，碰在什么地方都是偶然的。但是对大量分子整体来说，每一时刻都有许多分子与器壁相碰，所以在宏观上就表现出一个恒定的、持续的压力。这和雨点打在雨伞上的情形很相似，一个个雨点打在雨伞上是离散的，大量密集的雨点打在伞上就使我们感受到一个持续的向下的压力。电影片的播放是离散的，但是在观众看来是连续播放的。在实数集中考察自然数集是离散的，但是在整数集中考察自然数集是连续的；光子的频率是离散的，但是在光谱学中可以认为是连续的；引力质量从基本粒子的角度分析是离散的，但是根据相对论物体的运动状态可以连续变化，引力质量也可以连续变化。基因遗传与数量遗传分别是遗传的离散和连续的表现形式，数量遗传积累到一定程度肯定发生基因的变异，基因遗传是数量遗传长期积累的结果，生物的进化应当是用进废退（数量遗传）造成基因突变，在自然选择的作用下发展的。因此根据相对论时间和空间构成四维时空连续统，也可以认为时空是离散的，由时空量子组成。

㈢实数集的连续性与离散性

统一原可以被描述为由无数最小的单元即小无限所组成。实际上，统一原是永恒自在，绝对独立的客观实在，是一绝对统一的全息整体。统一原先于一切，包罗一切，规定一切，独立自由，至朴至实，统而为“一”，没有部分，绝对连续。“一”意味着唯一，没有部分，也没有边界，没有大小，超越了大校无限大即无限小，反之亦然。无限不是有限事物的叠加，是不可度量的，是无限大与无限小的统一，是统一一切的客观实在，是包罗一切的绝对全息体。

实数集在标准分析中是连续的，但是实数集可以与数轴上的点建立一一对应关系，而数轴可以认为由可数个离散的区间组成的，只需要两种颜色就可以把数轴上的区间分开。在非标准分析中是离散的，每一个点由可数个点构成，由非标准分析可以知道实数集是离散、连续的对立统一。集合论的创始人Cator把无穷基数分为无穷个等级，一个比一个大，并进一步证明了“任何集S的超限数基数比集S超限数还大”。在这里“整体大于部分”成了谬误，而“部分大于整体”成为真理。复数可以与复平面上的点建立一一对应关系，而复平面可以认为由可数个矩形区域组成的，根据四色定理只需要四种颜色就可以把平面上的区域分开。由于数学归纳法适用于离散集，因此也可以适用于实数集与复数集。类似地，只需要2n种颜色就可以把n维空间中区域分开，现代数学认为至少需要7种颜色才能把环面上的区域分开，其实只需要8种即可。

根据离散与连续的相对性与绝对性可以得知，离散与连续具有统一性的一面，因此函数与数列、级数与积分便统一在一起，函数极限的四则运算法则与数列极限的四则运算法则、函数极限的性质与数列极限的性质、函数极限的判定与数列极限的判定其实是同一个问题，也不难理解Heine定理离散型；随机变量与连续型随机变量也是相对性与绝对性的统一。

㈣实数的量子化理论

基本假设：（1）每一个点由可数个点组成，每一个实数由可数个超实数组成。设￠是实数集的 基 数，则超实数集的基数是2^￠。

（2）设δ是超实数的基本单位，只能与整数进行乘法运算,δ=1/（+∞）；

(3)δ只能与整数进行乘法运算，运算法则与实数乘法的运算法则相同，a∈R，k∈Z, a +kδ=a,.即kδ为数学中的无穷小量。

㈤ 极 限 问 题 分 析

1、数列的极限

由上面的基本假设可以得知: a_n=a的本质是当n→∞时，a_n=a+kδ, k∈Z，因此数列极限的四则运算法则成立，并且仅适用于有限项。

由于a_n=a的本质是当n→∞时，a_n=a+kδ, k ∈ Z，因此数列极限的下列命题成立：

①若x_n=a, y_n=b，且a＞b，则总有一个正整数N存在，当n＞N 时，不等式x_n＞y_n成立。

②若数列｛x_n｝收敛，则它的极限是唯一的。

③若有一正整数N，当n＞N 时，有x_n≤y_n≤z_n，且x_n = z_n =a，则有y_n=a.

④若｛x_n｝为有界数列，｛y_n｝为无穷小量，则它们的积｛x_ny_n｝是无穷小量。