最小公倍元

最大公因子是整环中的一个重要概念，它对研究唯一分解环有重要意义，它是来源于数论中的一个重要概念。最小公倍数也是数论中的一个重要概念，我们也把它引入整环中。

定义：在整环R中，元C叫做元a₁,a₂,a₃,……a_n的公倍元，假如a₁,a₂,a₃,……a_n能够同时整除C。元a₁,a₂,a₃,……a_n的一个公倍元d叫做它们的最小公倍元，假如d能够整除a₁,a₂,a₃,……a_n的每一个公倍元。规定0与任何元的公倍元为零元。

定理：一个唯一分解环I的两个元a和b在I里一定有最小公倍元。a和b的两个最小公倍元d和d`只能差一个单位因子：d`=εd（ε是单位），即在相伴意义下是唯一的。

证明：若a、b之中有一个是零元，不妨设a=0，那么a显然是一个最小公倍元。若是 a、b之中有一个是单位，譬如a是单位元，那么显然a是最小公倍元。

现在看a和b都不是零元与单位元时的情形。这时a=q₁q₂…q_r,b=q₁`q<sub>2</sub>`…q_s`(q<sub>i</sub>`.q_i是素元)，q_i同q_i`这+个元素中间的某一个可能是其它一个的相伴元。假如在这r+s个元中间有n个元互相不是相伴元，而其它的元都是这n个元中的某一个的相伴元。把这个元叫做p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>n</sub>,，那么a=ε<sub>a</sub>p<sub>1</sub><sup>h1</sup> p<sub>2</sub><sup>h2</sup>…p<sub>n</sub><sup>hn</sup>（ε<sub>a</sub>是单位，h<sub>i</sub>≥0），b=ε<sub>b</sub>p<sub>1</sub><sup>k1</sup> p<sub>2</sub><sup>k2</sup>…p<sub>n</sub><sup>kn</sup>（ε<sub>b</sub>是单位，k<sub>i</sub>≥0）。令l<sub>i</sub>=max｛h<sub>i</sub>,k<sub>i</sub>｝,而作元d=p<sub>1</sub><sup>l1</sup> p<sub>2</sub><sup>l2</sup>…p<sub>n</sub><sup>ln</sup>,那么显然a|d，b|d。假定c也是a与b的公倍元（c≠0）。若c是单位，则a与b均为单位元，d也为单位元，命题成立。若c不是单位元，那么c=p<sub>1</sub><sup>`</sup> p₂^{`</sup>…p<sub>t</sub><sup>`}（p_i`是素元），由于a|c，p<sub>j</sub>能整除某一个p<sub>i</sub>`，而是p_i`的相伴元，所以c=ε_cp₁^m1 p₂^m2…p_n^mn（ε_c是单位，m_i≥0），但a|c，并且p_i，p_j互相不是相伴元，因此m_i≥h_i。同理，由b|c可得m_i≥k_i。这就是说，m_i≥l_i，d|c。这样就证明了最小公倍元的存在。

假定d`也是a和b的最小公倍元，那么d|d`，d`|d:d`=ud，d=vd`,d=uvd。这样，若d=0，d`=0，d=d`；若d≠0，则1=uv，u是一个单位元ε，d`=εd。证毕。

由这一定理运用数学归纳法可得到推论：一个唯一分解环I的n个元a₁，a₂，…a_n在I里一定有最小公倍元，a₁，a₂，…a_n的两个最小公倍元只能差一个单位因子。