环的定义的扩充

摘要：本文对环的定义作了几种扩充，的出了一些新的概念，加深了对环的认识。

环是具有两种代数运算的集合，这两种运算满足一定的关系：对于一种运算构成加群，对另一种运算构成半群，两种运算之间满足分配律。但现实世界与科学研究中会出现这样的集合：具有两种代数运算，但是两种运算并不完全满足上述关系，为此必须对环的定义进一步拓广。下面给出几个定义，至于这些概念的应用及其性质的探讨，本文从略。

定义1：一个集合R叫做一个半环，假如①R对于一个叫做加法的代数运算来说是封闭的，并且满足结合律；②R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的，并且满足结合律；③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

注：若两种代数运算均满足交换律，称为加半环；若乘法满足交换律，称为乘法加半环。

定义2：一个集合R叫做一个亏环，假如①R对于一个叫做加法的代数运算来说构成一个群；②R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的，并且满足结合律；③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

定义3：一个集合R叫做一个加环，①假如R是一个加群，即R对于一个叫做加法的代数运算构成一个交换群；②R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是封闭的，并且满足结合律和交换律；③两个分配律成立之一 ——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

定义4：一个集合R叫做一个盈环，①假如R是一个加群，即R对于一个叫做加法的代数运算构成一个交换群；②R对于另一个叫做乘法的代数运算构成一个群；③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

定义5：一个集合R叫做一个自然环，假如①R对于一个叫做加法的代数运算构成一个群；②R对于一个叫做乘法的代数运算构成一个群；③两个分配律都成立——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

定义6：一个集合R叫做一个加盈环，①假如R对于一个叫做加法的代数运算构成一个加群；②R对于另一个叫做乘法的代数运算构成一个加群；③两个分配律成立之一 ——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

定义7：一个集合R叫做一个亏加环，①假如R对于一个叫做加法的代数运算构成一个群；②R对于另一个叫做乘法的代数运算封闭，并且满足交换律与结合律；③两个分配律成立之一 ——a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca，不管b、a、c是R的哪三个元。

上面仅列出几种形式，至于其它形式，本文从略。