不变子群与理想关系初探

理想在环论中的地位与不变子群在群论中的地位相似，但理想与不变子群有着本质的差异，为此先列出这两个定义：

不变子群的定义：一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN。

理想的定义：环R的一个非空子集合ц叫做一个理想子环，简称理想，假如（1）由a,b∈ц得a-b∈ц;(2)由a∈ц,r∈ц得ar,ra∈ц.

通过比较便可以清晰地看到它们的区别，在不变子群中要求：（1） a∈G，Na=aN，而在理想中则要求 r∈R， a∈ц得ar,ra∈ц。显然在不变子群中a∈G，r∈N，ar,ra不一定属于N，譬如G=S₃，N=｛（1），（123），（132）｝是一个不变子群，N（12）=｛（12），（123），（13）｝，（12）N=｛（12），（13），（23）｝，N（12）=（12）N，但（12）、（13）、（23）均不属于N。同理，当环R为非交换环，且环R有真理想时，也推不出｛ra｝=｛ar｝，r∈R，a∈ц。鉴于此，笔者建议再定义理想子群与不变子环，从而进一步认识不变子群与理想的区别。

不变子环的定义：环R的一个非空子集N叫做一个不变子环，或正规子环，假如（1）由a,b∈N得a-b∈N;(2)由a∈N,b∈N得ab∈N;(3) r∈R,rN=Nr.

理想子群的定义：一个群G的一个子群N叫做一个理想子群，假如 r∈G， a∈N得ar,ra∈N。