一、电子的电磁质量问题

摘要：本文回顾了电磁质量的引入过程和电子的电磁质量的计算方法，说明了经典电动力学与量子电动力学对于电磁质量认识的矛盾。

关键词：电子、电磁质量、计算方法、经典电动力学、量子电动力学

物理学是一门试图在最基本的层次上理解自然的古老科学， 她的早期曾经是哲学的一部分。 在那个时期， 物理学所关心的是一些有关世界本原的问题。 那些问题看似朴素， 其实却极为困难， 在后来的漫长岁月里， 物理学曾经一次次地回到那些问题上来， 就像一个远行的水手一次次地回望灯塔。

(一)电磁质量的引入

Einstein曾经说过：“力是简单的，无论是万有引力，电力或磁力都可以用同样的方法来表述。但是为了求得这个简单的表述方法，我们所付的代价也很高：引人了许多新的、没有重力的物质。它们都是颇为牵强的概念，而且与基本的物质——质量完全无关。”

德国科学家考夫曼，发现β射线的质量随速度的增加而增加，试图据此区分电子的固有质量和速度改变的电磁质量。对于电和磁的理论概念，人们又引入了一种特殊的质量（电磁质量）。并假定在此类物质间存在着类似于Newton的万有引力的超距作用。然而这种特殊物质又似乎缺乏惯性的基本性质，而且作用于这类物质和有重物质之间的力依然很含糊。在这些困难上，又不得不加上此类物质的极性特征——而这又不适合经典力学的纲领。当电动力学现象为人们所熟知时，这个理论的基础仍是不令人满意的。尽管这些现象使得物理学家可以借助电动力学现象解释电磁现象，并从而使电磁质量的假设成为多余。这个进步是由增加相互作用力的复杂性而换来的，在运动着的带电物体之间必须假设存在着这些力。物质参与电磁现象的根本原因在于其基本粒子带有恒定 electric charge（电量）【1】，从Einstein的论述中可以看出当时他已经认识到引力质量与电磁质量之间的区别与联系。

广义相对论需要被用来解释space-time基本结构，研究引力质量的变化规律；量子力学用来解释亚原子粒子运动，是关于电磁质量的变化规律的科学。对于这种数学综合的第一步尝试是量子场理论，它试图通过结合量子力学同狭义相对论来解释电子运动。这个理论取得了某些重大成功，但它的创立者Dirac承认：“要将这个理论建立在坚实的数学基础上似乎是不可能的。”第二步把广义相对论与量子力学结合起来，至今没有任何思路，温伯格认为也许需要一至两个世纪才能完成理论数学化的工作。电荷和质量作为万有引力和电磁力之源，他是我们无法统一该两类力的症结所在。对于电磁质量，现代理论物理并没有一个很好的说明，是否存在电磁质量还是一个问题，通常在处理电磁场的问题时，一般是不考虑电磁质量的。

电子的电磁质量问题在发现相对论前后一段时间比较引人注意，这个问题牵涉到电子的结构。物理学家一直试图将电磁质量作为引力质量的一部分，例如质子和中子的带电状态不同，它们的引力质量有很小的差别，引力质量的这一微小差别很可能是由带电状态不同造成的。按照近代基本粒子理论，电磁质量主要来自粒子与真空中凝聚场之间的相互作用，这种真空凝聚场并造成某些对称性的自发破坏，并影响基本粒子间的配对，自发破缺是产生引力质量和电荷的原因，惯性质量并不由这类因素决定。对于电磁质量的认识现在已经超出了相对论和量子力学的范畴。

（二）电子的电磁质量的计算

从经典电磁理论也可以推导出运动带电体质量随速度增加的结论。19世纪80年代，人们开始研究运动带电体问题。1878年罗兰发表运动电荷产生磁场的论文，激励人们从理论上进一步推测：由于磁场具有能量，驱使带电体运动，比驱使不带电体运动，一定要做更多的功，因为有一部分能量要用于建立新的磁场。所以，带电体的动能要比不带电体大。换句话说，带电动体的质量要比不带电动体大。这个由于电磁作用产生的“视在”质量，也叫电磁质量。　最先提出这个问题的是J.J.汤姆生。在1881年的一篇论文中，他首次用麦克斯韦电磁理论分析了带电体的运动。他假设带电体是一个半径为a的导体球，球上带的总电荷为e，导体球以速度v运动，得到由于带电而具有的动能为，其中m为磁导率。这就相当于在力学质量m₀之外，还有一电磁质量　. 1889年，亥维赛改进了汤姆生的计算，得。他推导出运动带电体的速度接近光速时，总电能和总磁能都随速度增加。还得出一条重要结论，当运动速度等于光速时，能量值将为无穷大，条件是电荷集中在球体的赤道线上。1897年，舍耳（G.F.C．Searle）假设电子相当于一无限薄的带电球壳，计算出快速运动的电子电磁质量为：　,其中。1903年，阿伯拉罕（M.Abraham）把电子看成完全刚性的球体，根据经典电磁理论，推出如下关系：　,其中m₀为电子的静止质量。

经典电子论最著名的人物是 H. A. Lorentz (1853-1928)， 他是一位经典物理学的大师。 在相对论诞生之前的那几年里， Lorentz 虽已年届半百， 却依然才思敏捷。 1904 年他发表了一篇题为 "Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less than that of Light" 的文章， 在这篇文章中他运用自己此前几年在研究运动系统的电磁理论时提出的包括长度收缩、 局域时间 (local time) 在内的一系列假设， 计算了具有均匀面电荷分布的运动电子的电磁动量， 由此得到电子的 “横质量” m_T 与 “纵质量” m_L ,分别为 (这里用的是 Gauss 单位制)：

m_T = (2/3)(e²/Rc²)γ； m_L = (2/3)(e²/Rc²)γ³

其中 e 为电子的电荷， R 为电子在静止参照系中的半径， c 为光速， γ=(1-v²/c²)^-1/2。 撇开系数不论， Lorentz 的这两个结果与后来的狭义相对论完全相同。 但 Lorentz 的文章一发表就遭到了经典电子论的另一位主要人物 M. Abraham (1875-1922) 的批评。 Abraham 指出， 质量除了象 Lorentz 那样通过动量来定义， 还应该可以通过能量来定义。 比方说纵质量可以定义为 m_L=(1/v)(dE/dv)。 但是简单的计算却表明， 用这种方法得到的质量与 Lorentz 的结果完全不同！

很明显， 这说明 Lorentz 的电子论有缺陷。 那么缺陷在哪里呢？ Abraham 提出 Lorentz 的计算忽略了为平衡电子电荷间的排斥力所必需的张力。 没有这种张力， Lorentz 的电子会在各电荷元的相互排斥下土崩瓦解。 除 Abraham 外， 另一位经典物理学的大师 H. Poincar (1854-1912) 也注意到了 Lorentz 电子论的这一问题。 Poincar 与 Lorentz 是 Einstein 之前在定量结果上最接近狭义相对论的物理学家。 不过比较而言， Lorentz 的工作更为直接， 为了调和以太理论与实验的矛盾， 他具体提出了许多新的假设， 而 Poincar 往往是在从美学与哲学角度审视 Lorentz 及其他人的工作时对那些工作进行修饰及完善。 这也很符合这两人的特点， Lorentz 是一位第一流的 working physicist， 而 Poincar 既是第一流的数学及物理学家， 又是第一流的科学哲学家。 1904 年至 1906 年间 Poincar 亲自对 Lorentz 电子论进行了研究， 并定量地引进了为维持电荷平衡所需的张力， 这种张力因此而被称为 Poincar 张力 (Poincar stress)。 在 Poincar 工作的基础上， 1911 年 (即在 Einstein 与 Minkowski 建立了狭义相对论的数学框架之后)， M. von Laue (1879-1960) 证明了带有 Poincar 张力的电子的能量动量具有正确的 Lorentz 变换规律。

下面我们用现代语言来简单叙述一下经典电子论有关电子结构的这些主要结果。 按照狭义相对论中最常用的约定， 我们引进两个惯性参照系： S 与 S'， S' 相对于 S 沿 x 轴以速度 v 运动。 假定电子在 S 系中静止， 则在 S' 系中电子的动量为：

p'^μ = ∫_t'=0T'^0μ(x'^ξ)d³x' = L⁰_αL^μ_β∫T^αβ(x^ξ)d³x'

其中 T^μν 为电子的总能量动量张量， L 为 Lorentz 变换矩阵。 由于 S 系中 T^μν 与 t 无关， 考虑到 ∫T^αβ(x^ξ)d³x' = ∫T^αβ(γx', y', z')d³x' = γ^-1∫T^αβ(x^ξ)d³x， 上式可以改写成：

p'^μ = γ^-1L⁰_αL^μ_β∫T^αβ(x^ξ)d³x

由此得到电子的能量与动量分别为 (有兴趣的读者可以试着自行证明一下)：

E = p'⁰ = γm + γ^-1L⁰_iL⁰_j∫T^ij(x^ξ)d³x

p = p'¹ = γvm + γ^-1L⁰_iL¹_j∫T^ij(x^ξ)d³x

这里 i, j 为空间指标 1, 2, 3， m=∫T⁰⁰(x^ξ)d³x， 这里为了简化结果， 我们取 c=1。 显然， 由这两个式子的第一项所给出的能量动量是狭义相对论所需要的， 而 Lorentz 电子论的问题就在于当 T^μν 只包含纯电磁能量动量张量 T_EM^μν 时这两个式子的第二项非零。

那么 Poincar 张力为什么能够避免 Lorentz 电子论的问题呢？ 关键在于引进 Poincar 张力后电子才成为一个满足 ∂_νT^μν=0 的孤立平衡体系。 在电子静止系 S 中 T^μν 不含时间， 因此 ∂_jT^ij=0。 由此可以得到一个很有用的关系式 (请读者自行证明)： ∂_k(T^ikx^j)=T^ij。 对这个式子做体积分， 注意到左边的积分为零， 便可得到：

∫T^ij(x^ξ)d³x =0

这个结果被称为 Laue 定理， 它表明我们上面给出的电子能量动量表达式中的第二项为零。 因此 Poincar 张力的引进非常漂亮地保证了电子能量动量的协变性。

至此， 经过 Lorentz， Poincar， Laue 等人的工作， 经典电子论似乎达到了一个颇为优美的境界， 既维持了电子的稳定性， 又满足了能量动量的协变性。 但事实上， 在这一系列工作完成时经典电子论对电子结构的描述已经处在了一个看似完善， 实则没落的境地。 这其中的一个原因便是那个 “非常漂亮地” 保证了电子能量动量协变性的 Poincar 张力。 这个张力究竟是什么？ 我们几乎一无所知。 更糟糕的是， 若真的完全一无所知倒也罢了， 我们却偏偏还知道一点， 那就是 Poincar 张力必须是非电磁起源的， 而这恰恰是对电磁观的一种沉重打击。 就这样， 试图把质量约化为纯电磁概念的努力由于必须引进非电磁起源的 Poincar 张力而化为了泡影。 但这对于很快到来的经典电子论及电磁观的整体没落来说还只是一个很次要的原因。

电子是电荷的原子，而电荷则是电磁场的场源。电子的电荷能激发一个电磁场，它也是电子自身的组成部分，于是电子乃是一个带电粒子与一个电磁场的统一体。带电粒子的运动是机械运动，电磁场的运动则是电磁运动，两者统一于“电子的运动”。电子论既然把一切物理运动归结为机械运动与电磁运动，也就把一切运动归结成为电子的运动。按照电动力学的原理，电子的带电粒子按照麦克斯韦方程不断激发电磁场，而电磁场则反过来以电磁力作用于带电粒子。电子的这两个组成部分随时地都处于这样的相互作用之中，这种相互作用乃是电子的各种行为的内因，外力只有通过这种内因才能对电子起作用。于是电子不再是牛顿力学意义下的只能被动地接受外力作用的“力学粒子”，而是一种现实的、包括场与实物的对立于自身，因而处于永恒的、内部的、必然的、自己的运动之中的“电学粒子”了。

在物理学历史上，只有以洛仑兹为代表的电子论才自觉地考虑过这个问题，我们称之为“洛仑兹问题”。电子论既然把一切物理运动归结为电子运动，也就把一切物理运动最终归结为洛仑兹问题。电子论采用刚球模型和推迟解，导出了一个电子动力学方程。汤姆逊首先得到这一方程，我们称之为汤姆逊方程。从这一方程得出结论，电子得固有磁场对其带电粒子的作用可以归结为两项：一项相当于电子增加了一份质量，称之为“电磁质量”；另一项是与辐射相联系的阻力，称之为“辐射阻尼”。这一方程未能象电子论期待的那样揭开原子世界的秘密，却给物理学带来了两次危机。第一次危机是“电磁质量”这一范畴带来的。它不遵循质量守恒定律，从而使动量守恒定律乃至能量守恒定律也都不成立。这一情况使物理学家们大位震惊，彭加勒惊呼“原理的普遍毁灭”！第二次危机则是“辐射阻尼”这一范畴带来的，它得出结论：“电子作变速运动必然导致辐射电磁波。”（0.1）应用于卢瑟福在1911年建立的原子有核模型，将得出结论：“原子将因辐射而落于核。”（0.2）这意味着原子刚一构成就会立刻解体，可是事实却证明原子能够持久地存在。第一次危机动摇了人们对经典物理学的信念，第二次危机则把经典物理学逐出了原子世界。动必然导致辐射电磁波。”（0.1）应用于卢瑟福在1911年建立的原子有核模型，将得出结论：“原子将因辐射而落于核。”（0.2）"而对前面的"第一次危机是“电磁质量”这一范畴带来的。它不遵循质量守恒定律，从而使动量守恒定律乃至能量守恒定律也都不成立。这一情况使物理学家们大位震惊，彭加勒惊呼“原理的普遍毁灭”！

"经典电动力学计算一个半径为R，带电量为Q的均匀球体的静电自能为W_自=0.5ρudv=3Q²/(20πε₀R)。

一个电子的库仑场的能量为w=（ε₀/2）∫^∞_re(e/4πε₀r²)²4πr²dr,量子电动力学根据电磁场的能量计算电子的电磁质量，然后设电子的质量全部来源于电磁质量，计算出电子的半径a=2.8×10^-15米(1)。同样设电子的电荷在半径a的球中有一定的分布也可得电磁质量，结果类似。但要维持这种平衡，需要未知的非电磁力平衡，实验还无法验证。在相对论发现后有理由认为电子的电磁质量是电子引力质量的3/4，其余的与某种非电磁力有关。H.Poincare.Rend.Pol.21(1906)129.他作了一些尝试，但也未具体地说明用什么别的力可以使电子不分裂。Einstein试图证明“宇宙的能量起源于电磁，起源于引力”？

已知电子在真空中单位体积内的电场能为： (1)

又知道，点电荷的场强为： (2)

我们将电场强度E带入式（1）之中，就可以得出： (3)。

于是，我们可以求出电子在整个空间范围上的电场能

就可以对于上式求定积分，并得出： (5)

下面是李正先生的分析——

1、运动电荷的电磁场

假设光速为c，电荷的电量为q，速度为v，t₀时刻电荷所在位置为X₀，若观察时刻为t，则电荷在t₀时刻产生的电磁场传播到以X₀为球心，以c(t-t₀)为半径的球面上，我们称该球面为波面。波面上电磁场的大小为：

(1)

(2)

其中R为半径，为单位半径矢量，为加速度，q为和的夹角，且

我们看到(1)式右边分两部分，一部分和1/R²成正比，大小和电荷的速度有关；另一部分和1/R成正比，大小和加速度有关。当电荷作匀速运动时，(1)式中右边第二项为零，

(3)

把它在球坐标下展开，

(4)

(5)

(6)

磁场大小由(2)式确定

(7)

(8)

(9)

下图在球坐标上表示它们

图1运动电荷产生的电磁场

可见电场在半径和径度线方向上有分量，而纬度线上没有分量；磁场只有纬度线上有分量，与赤道面平行。

那么作匀速运动的电荷所携带的电磁能为多少呢？

2、运动电荷携带的电磁能量

假设电荷已经作匀速运动很长时间，我们在t时刻观察，电磁场的总能量就是电荷在t以前所产生的电磁能的总和。下面是电荷在一段时间内产生的波面

图2运动电荷产生的波面

它们是圆心在同一直线上、半径不等、逐个包含的一系列球面。同一时刻产生的电磁场就分布在同一球面上。随着时间的流逝，这些球面将不断扩大，同时新的球面也不断产生。

假设电荷在t₀时位于X₀的位置，t₀+dt时位置在X₀+dX处。在t时刻观察，产生波面的半径分别为c(t-t₀)和c(t-t₀-dt)。电荷在dt内产生的电磁能就在这两个球面之间，为dW。

w为电磁场的能量密度，而dV即为这两个球面之间的体积。

我们先计算能量密度，它分为电场能量密度w_E和磁场能量密度w_B，而总的能量密度就是这两者之和。

电场能量密度为

(10)

磁场能量密度

而

因此

(11)

总能量密度

(12)

现在计算dV，它为两个球面之间的体积。采用球坐标系，

(13)

因为这两个球面不是同一球心的。在图2中可以看到，靠近前方体积要小一点，后方体积要大一点，设dR为这两个球面的半径之差，它与dR’之间的关系为，

(14)

所以

(15)

由此可得

(16)

将(12)代入(16)得

(17)

可见这部分能量和1/R²成正比，不能传播到无穷远，事实上，它是跟随电荷一起运动的。经过计算

(18)

而总能量W就是图2中从大到小的一系列波面所包含的能量的总和。

(19)

理论上W应该是无穷大，但事实上没有真正的点电荷，只是电荷的半径十分小而已，所以用点电荷的角度去分析它所产生的场是足够精确的，但它所携带的电磁能量不可能为无穷大，是一个有限值。假设它的半径为r，静止时的电场能量为W₀

(20)

r很小，以电子为例，r<10^-10m，因此运动电荷的总能量

(21)

从中可以看出，运动时刻电磁能比静止时的要大。

用同样的方法计算跟加速度有关的那部分电磁场的能量，在dt时间内，电荷辐射的能量

(22)

这部分能量是由电荷的加速运动引起的，它跟半径无关，因此可以脱离电荷独立存在，这称为电磁辐射。电磁辐射的功率为

(23)

3、非线性电动力学

电荷的能量不仅包括电磁能，还有机械能(动能)。其总能量为

(24)

前面一部分是电荷能量的最直接的表现形式，任何能量都必须最终表现为物体的运动。而后面一部分并没有直接表现出来，以电磁场的形式储存起来。当电荷速度接近光速时，它所携带的电磁能将趋近无穷大。

从能量守恒的原则看，外力做功并没有全部转化为电荷的机械能，有一部分转化为电磁能，它跟随电荷一起运动，不能传播到无穷远；还有一部分称为电磁辐射，是由电荷加速运动引起的，这部分能量可以脱离电荷独立存在。只要外力作用在电荷上，电荷就会加速，就会引起电磁辐射，它就像摩擦力一样，是无法避免的。如果我们忽略损失掉的能量，认为外力做的功全部转化为电荷的能量。

(25)

(26)

经化解得到

(27)

两边同时除以dt，得到

(28)

这样电荷的惯性质量为

(29)

上式是电荷的惯性质量。可这只是不计电磁辐射造成的能量损耗下，所得的近似质量。如果要计入电磁辐射，情况要复杂一些。我们至少知道，电动力学是非线性的，电荷的惯性质量是和它的速度相关的。

但对电磁场能量的积分需要涉及电子的半径问题，电子的半径至今仍然不是一个很明确的物理量。另外所谓的电磁质量可能得涉及到电子会参与的弱作用等过程，计算非常复杂。

在量子理论中，把电磁场的Maxwell方程组量子化后，发展为量子电动力学，认为电磁波的发射是量子化的。在通常的量子电动力学理论中，都须设电子为点粒子，否则理论上很难处理。对于点粒子而言，所发射虚光子的波长下限应当为0。若电子有有限半径，则波长比其直径小的光，在电子半径内由于E位置的变化，ρE正负交替使有效耦合衰减，波长更小时耦合衰减到可以不计。若限制虚光子有一波长下限λ，则相当于要求电子半径r₀∝λ，这样电磁质量∝ln（A²/λ²）（其中A为一量纲为长度的常数），即对数性发散，经典电动力学中为线性发散。目前量子电动力学对各种物理过程的理论计算和实验结果在很高精确度下相符，表明它有反映客观规律的正确性的一面。但是现代量子力学仍有一些基本困难没有解决，一个主要困难是它从点模型出发，没有触及电子的内部结构问题。如果电子的半径r₀趋于0，则其电磁质量以r₀发散，因而对电子自能或电磁质量的（临时的）毫无用处的答案是无限大，至今还缺乏一种能把原子核物理学范畴内的大量论据联系起来而其基本观念又很简单的理论。只有通过“重整化”再减去一个无穷大使电子质量变为实验所测值，回避了电磁或非电磁质量的问题后，量子电动力学的计算结果才与实验相符。由于重正化意味着质量和力的强度的实际值不能从理论中得到预言，必须被选择以去适合观测，因此重正化有一严重的缺陷。虽然用重整化方案方可消除这些发散，然而这种技术近乎是一种“耍赖皮”（王竹溪语）的手段，在概念上也存在不自洽之处。虽然这种技术很有效，但物理学家相信这只是一时的权宜之计。现代物理实验清楚的表明：宇宙中的基本粒子都显得具有一内禀角动量，等于h/4π的某一整数倍（h为普朗克常数）。

在经历了将发散积分替换为实验可观测的物理量 (如质量及电荷) 所带来的十余年的极大兴奋之后， 新的看似足以妨碍对重整化问题作任何进一步理解的严重困难出现了。 在六十年代， 已知的可重整量子场论主要有两种原型：

8. 量子电动力学 (QED)， 一个描述带电费米子与电磁场相互作用的现实模型， 以及λφ⁴-理论， 一个标量粒子自相作用的理论。 与第一个理论不同的是， 人们并不期望这一理论描述当时已知的任何基本粒子。

当时普遍的看法是： 现实世界并不由可重整量子场论所描述。 现在我们就来做一次事后诸葛， 找出这一误解产生的原因。

1953 年， Peterman 与 Stueckelberg 注意到重整化振幅的一个重要特征。 比方说一个三粒子顶点 (3-vertex) 可以表示为：

或者说：

Γ = g^ren + (g)³∫(...) - Δg

(1.1)

因此， 完整的振幅是由低阶顶点 g^ren， 单圈修正， 以及一个吸收表观无穷大的抵消项 (counter term) 所组成的。 很明显， g^ren 与 Δg 之间的划分是任意的， 而完整的振幅不应该依赖于这种划分， 它应该只依赖于 “裸” 耦合常数 g^bare=g^ren-Δg。 但是， 当我们截断微扰展开式的时候， 在多圈图内部的耦合常数却是重整化后的耦合常数 g^ren。 因此， 在实际运用时仍然存在着对划分方式的某种人为的依赖性。 这种依赖性在我们把微扰理论中所有各阶的贡献都加上后应该会消失。

完整振幅与减除方式的无关性被 Peterman 与 Stueckelberg 诠释为理论的一种对称性。 这种对称性被称为重整化群， 其变换为 [译者注： 按上面的符号约定 - 即 g^bare=g^ren-Δg， 下式中 Δg 的变换似应为： Δg → Δg + ε]：

g^ren → g^ren + ε
Δg → Δg - ε

(1.2)

这看起来象是一种重大的对称性， 但其实际用途却仅限于一种情形 - 尽管那是一种极其重要的情形。 人们发现只有标度变换才与重整化群相关。 这是重整化群的一维子群， 也是今天仍在使用的唯一类型。

1954 年， M. Gell-Mann 与 F. Low 注意到在可变能标 μ 的标度变换下精细结构常数 α 的重整化群变换可以被计算出， 他们发现

μdα/dμ = O(α²) > 0

(1.3)

在微扰展开中， (1.3) 式右端的函数是关于 α 的 Taylor 级数， 以 α² 项居首。

在莫斯科， L. Landau 预期这一函数为恒增函数， 因此 α(μ) 应该是一个关于 μ 一开始缓慢增长 (因为 α(1MeV) 很小)， 而后逐渐转为爆炸式增长的递增函数。 即便 (1.3) 式中的级数终止于 α² 项， α(μ) 仍会在有限的 μ 处具有奇点。 这一奇点被称为 Landau 奇点 (Landau pole)， 它看来是一个在物理上难以令人接受的东西。 这就是为什么 Landau， 以及与他持相同见解的一大批研究者视重整化量子场论为数学上错误的原因。

另一方面， Gell-Mann 与 Low 则猜测 (1.3) 式右端的函数可能会有零点。 在这种情况下， 跑动耦合常数 α(μ) 将会终止于某一数值， 该数值就是理论的裸耦合常数。 但是为了计算这一裸耦合常数， 人们必须跳出微扰理论的框架， 这在当时没人知道该怎么做。 因此尽管 Gell-Mann 与 Low 没有摒弃这一理论， 但他们的观点显然需要当时还不存在的数学技术来支持。 其结果是， 不仅在东欧， 而且在西欧， 许多物理学家相信量子场论的数学基础是破绽百出的。

将所有这些连接在一起的是这样一种信念， 即重整化群函数 - 后来被称为 β-函数 - 的正定性是不可避免的。 这种信念是基于传播子的所谓 Kllen-Lehmann 表示：

D(k²) = ∫ρ(m²)dm²/(k²+m²-iε); ρ(m²)>0

(1.4)

函数 ρ(m²) 是正定的， 因为对它的贡献来自于所有粒子可能衰变到的虚粒子态 [译者注： 具体地讲 ρ(m²) 的表达式为 Σ_λδ(m²-m_λ²)|<0|φ(0)|λ>|²， 显然是正定的]。 但 ρ 与 β 之间的关系并非显而易见这一事实却显然被忽略了。 可重整量子场论被视为是一种玩具理论， 一些研究者并且声称量子电动力学所取得的表观上的数值成就不过是一种巧合而已。

尽管如此， 几个这种有蛊惑性的玩具理论依然出现了。 其中最杰出的一个是由 C. N. Yang 与 R. Mills 于 1954 年所提出的， 其基本拉氏量 (Lagrangian)：

L^YM = -(1/4)G_μνG_μν - ψ(γD+m)ψ

(2.1)

简单得令人倾倒， 并显示出一种强有力的对称性：定域规范不变性。 当然， 它 (看起来) 不能用于描述现实世界， 因为它要求存在不同于普通光子的无质量、 彼此有相互作用的矢量粒子， 这样的粒子看来并不存在。 在现实世界里最接近于这种粒子的是 ρ 介子 - 但 ρ 介子更可能只是碰巧具有自旋 1 的强相互作用物质的激发态 - 以及假想中很有可能是矢量粒子的弱相互作用媒介粒子 W。 然而所有这些粒子都具有质量， 而没有任何规范不变的项可以产生这种质量。

但即使这样， 这一模型仍然持续地启发着研究者。 首先是 R. Feynman 与 Gell-Mann， 在他们为弱相互作用的基本 Fermi 拉氏量提出一种特殊形式 (以纪录的角度讲， 这一表达式此前曾被 R. E. Marshak 与 E. C. G. Sudarshan 给出过)：

L^weak = G_Wψγ_μ(1+γ₅)ψψγ_μ(1+γ₅)ψ

(2.2)

(其中 G_W 为相互作用常数) 时。 不难看到， 这种相互作用可以由产生及湮灭重矢量玻色子 W 而得到。

Richard Feynman 在研究引力量子化之谜时又一次从 Yang-Mills 理论中得到了启发。 在引力中， 相应的不变群是微分同胚：

φ(x) → φ'(x) = φ(x+u(x))

(2.3)

这是定域并且 non-Abelian 的， 因此可以与 Yang-Mills 理论中的定域规范不变性：

ψ(x) → ψ'(x) = Ω(x)φ(x)

(2.4)

相比拟。 Gell-Mann 曾建议 Feynman 研究 Yang-Mills 理论而非引力， 因为困扰 Feynman 的是对称性的 non-Abelian 性质， 这是所有 Yang-Mills 体系共有的性质， 而 Yang-Mills 理论比引力简单。 Feynman 发现为了在这一理论中恢复幺正性 (unitarity)， 必须在 Feynman 规则中增加一些虚拟的东西。 他把这些东西称为 “鬼” (ghosts)。 他的研究没能超出单圈图的范围。 几年后， B. DeWitt 给出了多圈图的 Feynman 规则。

在 Feynman 与 DeWitt 研究无质量 Yang-Mills 理论的时候， S. Glashow 为了得到一个看上去不错的弱相互作用拉氏量于 1961 年添加了一个质量项：

L = L^YM - (1/2)M²A_μ²

(2.5)

这一理论看来可以很好地描述弱相互作用， 可以解释其矢量性质， 以及明显的普适性 - 即所有参与弱相互作用的粒子与矢量玻色子之间都有普适的耦合常数， 仿佛存在一个守恒的 Yang-Mills 荷。

1964 年， P. Higgs 证明了 J. Goldstone 早先证明的一个定理不适用于定域规范理论。 Goldstone 曾经证明， 只要一个连续对称性被模型中的真空态所自发破缺， 就必定存在一个质量为零的无自旋粒子。 Higgs 证明了， 如果该对称性是定域对称性， 则 Goldstone 的粒子将会被一个有质量的粒子所取代。 这一粒子现在被称为 Higgs 粒子。 但是尽管 Higgs 避免了使用 “场论” 这一术语， 他的文章仍未引起任何注意。

此后不久， F. Englert 与 R. Brout 证明了， 如果一个定域对称性自发破缺， 那么不仅 Goldstone 粒子， 连矢量规范粒子也将获得质量。 这就是如今所说的 Higgs 机制。 所有这些都是在重整化场论遭到冷遇的时侯出现的， 因此那些作者都使用了抽象的数学论证， 而刻意回避了象 Yang-Mills 理论那样的具体模型。

Abdus Salam 用 Yang-Mills 模型及 Higgs 机制构筑了一个可以用于弱相互作用的模型， 这为 Yang-Mills 模型提供了一个很强的范例。 与之独立地， S. Weinberg 于 1967 用被 Higgs 机制破缺的定域 SU(2)×U(1) 对称性给出了第一个将电磁与弱相互作用合而为一的具体模型。

但是这些理论有两个问题。 一个是可重整性。 尽管这些理论看起来是可重整的， 但还无法建立真正的计算法则。 另一个是尽管 Weinberg 的理论对于轻子来说看起来不错， 但与强子的弱相互作用实验不符， 它所预言的 “奇异数改变中性流相互作用” (strangeness-changing neutral current interactions) 被实验否决了。

Veltman 研究了第一个问题。 由于对 Higgs、 Englert 及 Brout 的工作印象不深， 他以 Glashow 的拉氏量 (2.5) 为出发点。 他发现在单圈图层次上， 精巧地运用 Feynman 的鬼场可以消去所有的无穷大。 受此鼓舞他试图证明在所有层次上的可重整性。 但他 1968 年的算法没能为这种证明提供线索。 他几乎证明了这些理论没有一个能在单圈图以上被重整。

1960 年， Gell-Mann 与 M. Lvy 提出了后来被用于强子的另一个可重整模型。 他们所用的基本场量是一个同位旋 1/2 的核子场 N=(p, n)^T， 一个同位旋 1 的 π 介子赝标量场 π=(π⁺, π⁰, π^-)^T， 及一个新的标量场 σ。 这个模型 - 被称为 σ 模型 - 的拉氏量为：

L = -(1/2)(∂σ²+∂π²)-V(σ²+π²)-Nγ∂N-gN(σ+iπτγ₅)N+cσ

(2.6)

这里 τ 的分量为同位旋 Pauli 矩阵， V 为自变量 σ²+π² 的平方多项式。 运用手征投影算符 P=(1/2)(1γ₅) 可以证明这一模型具有只被最后那个 σ 的线性项所破缺的 (整体) 手征 SU(2)×SU(2)×U(1)_重子 对称性。 在这一模型中， 如果势能 V 在自变量非零处有极小值， 则对称性可以自发破缺为 SU(2)×U(1)。 π 介子为 Goldstone 玻色子， 其质量正比于 (2.6) 式中的系数 c。 这一模型很好地反映了在自然界中观测到的对称性。 即使在那个时候， 人们就已经知道所有这些都可以用夸克理论来解释。 引进

π = iqτγ₅q； σ = qq

(2.7)

cσ 项对应于夸克质量项， 它破坏夸克的手征对称性。 [译者注： 夸克模型是 1964 年由 Gell-Mann 与 Zweig 提出的， 晚于 1960 年的 σ 模型， 因此对 't Hooft 所说的 “那个时候” 须作广义理解]

σ 模型现在仍常常有人在研究， 但其起源于 Gell-Mann 与 M. Lvy 的 σ 模型这一点常被人遗忘。 这一模型的物理特性与真空态的对称性密切相关。 倘若赝标量场的自作用 V 的极小值在原点， 则手征对称性为明显对称性， 核子将是无质量的。 核子的激发态将以 “宇称双重态” - 即宇称相反的费米子对 - 的形式出现。 π 介子与 σ 将有相同的非零质量。 这被称为 Wigner 模式。

倘若 V 的极小值不在原点， 则对称性自发破缺， π 介子变成无质量的， 而核子获得质量。 宇称双重态的质量不再简并。 σ 也具有质量。 π 介子只有在对称性明显破缺， 即 c≠0 时才能获得质量。 这被称为 Nambu-Goldstone 模式。

由此产生的一个问题是： 这种区分是否会被重整化所破坏？ 这一问题由 B. W. Lee、 J. -L. Gervais 及 K. Symanzik 做了研究。 1970 年以此为主题在 Cargse 曾举办过一次暑期研讨， 结果表明该模型是可重整的， 并且手征对称的性质不会被重整化所破坏。 但实验观测表明 π 介子与核子的耦合常数 g 很大， 因此微扰展开对于计算核子及 π 介子的物理性质并无太大用处。 σ 则极度不稳定， 完全无法被实验所检测。 人们曾尝试用 Pad 近似等方法来改进微扰手段。

今天我们会很容易地把 Yang-Mills 理论， Higgs、 Englert 及 Brout 的定理， 以及 σ 模型列为五六十年代最重要的进展。 然而当时的物理学家们并不这样看。 许多其它的发现被认为要重要得多。 就象在史前岁月里恐龙或许会被认为是比那些毫不起眼的， 尺度微小却长着毛发的小动物更为重要， 且更有希望。 而事实上却是那些远古的哺乳动物在后来的演化中成为了主宰。 与之非常类似地， Yang-Mills 理论、 量子引力研究及 σ 模型与当时引人注目得多的许多 “恐龙” - 比如形形色色的强相互作用模型， 流代数^[注一]， 公理化方法， 对偶性与解析性 - 相比是 “长着毛发的小动物”。

粒子物理学中的“标准模型”理论，经受了相当成功的实验检验，被认为是迄今为止最有效的一个唯象理论，但是这个理论仍然存在着许多基本的疑难问题有待解决。诸如希格斯粒子的存在和本质，粒子质量的来源，夸克和轻子更深层次的特征标度，标准模型更深层次上的基本规律等，都是今后主要的研究领域。寻找超出标准模型的新理论，将成为高能物理近期探索的一个重要任务。

1975年9月15日， 狄拉克在新西兰克赖斯特彻奇坎特伯雷大学，关于《量子电动力学》的演讲时曾讲到：“……因此，许多物理学家对此状况非常满意。他们说，量子电动力学是一个好的理论，我们再也不必为它操心了。我必须说，我对这种状况很不满意，因为这个所谓好的理论，毕竟还包含略去了一些无穷大，这些无穷大是在它的方程中出现的，而且是以一种武断的方式略去的，这在数学上恰恰是不合理的。合理的数学可以略去原来是微小的量，不能因为这个无穷大量是你所不想要的而把它略去” 【2】

参考文献：

【1】Einstein 著 方在庆 韩文博 何维国 译.《Einstein晚年文集》海南出版社 2000年3月第1版

【2】[英]P.A.M狄拉克著，《物理学的方向》，科学出版社，1981年出版。P19－20。