六、速度合成公式的推广

假设我们的旧相识，火车车厢，在铁轨上以恒定速度v行驶；并假设有一个人在车厢里沿着车厢行驶的方向以速度w从车厢一头走到另一头。那么在这个过程中，对于路基而言，这个人向前走得有多快呢？换句话说，这个人前进的速度W有多大呢？唯一可能的解答似乎可以根据下列考虑而得：如果这个人站住不动一秒钟，在这一秒钟里他就相对于路基前进了一段距离v，在数值上与车厢的速度相等。但是，由于他在车厢中向前走动，在这一秒钟里他相对于车厢向前走了一段距离儿也就是相对于路基又多走了一段距离w，这段距离在数值上等于这个人在车厢里走动的速度。这样，在所考虑的这一秒钟里他总共相对于路基走了距离W=v+w。我们以后将会看到，表述了经典力学的速度相加定理的这一结果，是不能加以支持的;换句话说，我们刚才写下的定律实质上是不成立的。但目前我们暂时假定这个定理是正确的。（摘自《浅说》第6节、经典力学中所用的速度相加定理的全文）

在狭义相对论中，两惯性系相对速度 与 和 平行

（1）

（ ）为 坐标系的坐标，（ ）为 坐标系的坐标，令 ， ，所以变换矩阵为

（2）

如果; ,相对速度 不变，那么

(3)

比较 与

（4）

（5）

比较后知道（4）式=（5）式

（6）

相对论中速度合成公式V=(V₁±V₂)÷（1±V₁V₂/C²），仅适用于同一直线上两个速度的合成。当物体的两个速度不在同一直线时，其合成公式又是怎样的呢？下面探讨一下当两个速度垂直时速度的合成，由于互相垂直 的两个速度互不影响，因此可从引力质量角度利用Lorentz transformation推导出来。

设物体的引力静止质量为m₀，水平速度为v₁，垂直速度为v₂，合速度为v，不妨设先有水平速度v₁，此时引力质量为 m₁，由Lorentz transformation得m₁=m₀÷（1－ v₁²÷c²）^0.5，m₂=m₁÷（1－ v₂²÷c²）^0.5=m₀÷（1－ v₁²÷c²－ v₂²÷c²+v₁² v₂²÷c⁴)^0.5=m₀÷（1－ v₂÷c²）^0.5.∴V₂= v₁²+v₂²－v₁² v₂²÷c²，当v₁＜＜c,v₂＜＜c时，v₁² v₂²÷c²→0，此时V²= v₁²+v₂²，这就是经典力学中正交速度合成公式。

在经典力学中速度合成公式为v=(v₁²+v₂²+2v₁v₂cosθ)^0.5，在相对论中v₁²+v₂²变为 v₁²+v₂²－v₁² v₂²÷c²，可设其合速度公式为v=(v₁²+v₂²－v₁² v₂²÷c²+Xcosθ)^0.5，令θ=0，解得X，代入上式得到合速度的计算公式。当v₁＜＜c,v₂＜＜c时，v₁² v₂²÷c²→0，也可以回到经典力学中的速度合成公式，在此从略。这也符合量子力学的对应原理。由于整个宇宙形成的绝对空间不存在运动问题，因此相对论中的速度合成公式，仅适用于有限多个合成，不适用于无限多个。

早在二十世纪初，人们就已经对Einstein相对论力学和Newton力学的数学结构做了最透彻的研究。其研究后果之一就是把Newton力学与Galileo抛物几何空间【1】相对应；把Einstein相对论力学与Minkowski双曲几何空间【2】相对应；直言之，Galileo惯性运动变换群确定了Newton力学空间为非Euclid性质的Galileo抛物空间；而Lorentz惯性运动变换群确定了Einstein相对论力学空间为非Euclid性质的Minkowski双曲空间。古新妙先生认为：因为牛顿力学意义下的速度与相对论力学意义下的速度并不相同，各自满足不同的加法公式，牛顿速度满足的加法公式是：

（1）

而相对论速度满足的加法公式是：

（2）

从牛顿速度到相对论速度之间存在如下的映射关系：

（3）

这里的映射关系由双曲正切函数来实现。双曲函数的定义如下：

双曲正弦：， 双曲余弦：， 双曲正切：。

双曲正切具有下列性质：。

从牛顿速度加法公式（1）转换到相对论速度加法公式（2），是双曲正切的功劳，是相对论的奥秘。

参考文献：

【1】Galileo几何 H. Beek 最小曲面的几何学，Sitzungsber. Leipziger Berliner Math. Gee.12:14-30,1913 L. Silberstein, Galileo时空中的射影几何 ，Philos. Mag. 10: 1925 Makarova, N., M., Tow-dimensional Noneuclidean Geometry with Parabolic Angle and Dissertation, Leningrad, 1962

【2】Minkowski几何 A. Einstein关于相对性原理和有此得出的结论 爱因斯坦文集 第二卷 商务印书馆出版，1977 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons Books Lnc. 1975 Shervatov, V. G.., Hyperbolic Functions. Heath, Boston,1963