六、有限和无限的相对性与绝对性

摘要：文章首先介绍了有限与无限的关系，然后说明物理学是利用有限研究无限的问题。

关键词：有限、无限、辨证关系、物理学

(一)有限与无限的关系

有限和无限是辩证法的一对范畴，数学家希尔伯特说：“无穷是一个永恒的谜, 没有任何问题可以像无穷那样深深的触动人的情感, 很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想, 然而也没有任何其他的概念能向无穷那样需要加以阐明。”，Einstein讲：“有限与无限的问题是数学中最有趣而又最复杂的问题。”有限是指与其他事物相对，因而受其他事物影响或规定，即有条件的东西；无限是指不与任何其他事物相对，因而也不受任何其他事物影响或规定的东西。对于有限和无限不能仅从数量方面来理解。有限的东西固然有其确定的数量规定 ，但这只是有限性的表现形式之一；它所固有的质，才决定了它是它自身而不是他物，同时也就构成对它自身和对他物的一种限制。无限作为对有限的超越或否定，实质上是对一切质的和量的规定及其关系不断扬弃的过程。

无限和有限是辨证的统一，两者之间既是普遍和特殊的关系，又是整体和部分的关系。从前一种意义上讲，无限就是无条件地存在于一切个别之中的普遍的东西， 以有限为其存在形式；从后一种意义上讲，无限由有限所组成，是一切有限的东西的集合或整体。无限不是感性地存在着的东西， 不能感性地把握，而只能经由个别上升到特殊，再有特殊上升到普遍的途径来把握。【1】例如每一个有限集合都不等价于其任意一个部分（真子集），而每一个无穷集合都等价于 其某一个部分（真子集）。数学分析正是运用有限来认识无限的问题，其中极限是运用无限逼近的方式来研究数量 的变化趋势的。实数集是无限的，但是根据实数的有限覆盖定理，可以用有限个区间覆盖。有限和无限的分析有其内在的逻辑，有限可以无限去分，有限是由无限组成的；而无限是由有限无限积累而得，无限是由有限组成的。约公元前460年～前370年的德谟克利特，继承和发展了生活于公元前500年前后的留基伯的原子论，坚持物质构成的原子是最小的、不可分割的物质粒子。再后来被道尔顿所发展，从而形成了近代的科学原子论。这些都是建立在球量子有限可分的基础上的。与此相反的是亚里斯多德，他认为物质是连续的，按这种推理，人们永远不可能得到一个不可再分割下去的最小颗粒。这也是无终结观的鼻祖。这种无终结观在我国古代就很有名，例如《庄子·天下》篇中的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”这个论断，延续到了新中国，也成了放之四海而皆可的哲学。但在西方，以1905年Einstein用液体中的布朗运动说明原子的存在，使球量子有限可分与无限可分之争，才告一个段落。

（二）物理学中的有限与无限的问题

客观实际给人们感受到的大自然的一切都是有限的。物理学立足于实验，实验得来的数据都是有限的。物理学是研究自然基本规律定量关系的自然科学， 因此和数学有着十分密切的关系。数学量可从零连续变到无限。牛顿为了精确表述物理量的变化用了“无限小”的概念。 例如在变速运动中定义即时速度为在某一时刻前进的无限小距离与相应无限小时间之比，无限小与无限小之比为有限值。 这是速度的微分表述。从即时速度对时间积分可求出实际运动路线。 这里所谓积分实质上就是把有限时间分成无限多个无限小时间微分， 再用这无限多个时间微分去乘即时速度得无限多个无限小路径，这无限大乘无限小可得一有限数。 有限数究竟等于多少由变化的趋势决定。由此可见牛顿力学将物理量表述为微分形式， 物理量之间的关系表述为微分方程，再用解微分方程即用积分求出结果。出发于有限巧妙地应用无限大与无限小的运算回到有限。 由此可见，牛顿定义的物理量是和数学量一样的可以趋向无限大、无限小，也可以等于绝对的零而化为乌有。 因此牛顿定义的用以描述相互作用的“力”是有精确作用点和能瞬时超距传播的。这意味着物体可小到无限小成为质点，速度可大到无限大形成瞬时传播。 速度可等于绝对的零而化为乌有，因而存在绝对静止。牛顿力学的空间是线性平坦无限的欧氏空间。 牛顿称之为绝对空间，并认为绝对空间是绝对静止的。牛顿还定义了数学抽象的绝对时间。

牛顿力学的最根本观点是时间空间和物质互无关联相互独立。 这观点既符合一般常识观点又便于应用线性数学。地上物体天上行星运动属于宏观物体低速(不足光速的万分之一)相对运动， 牛顿力学在这范围内与实验十分符合。因此具有巨大的实用价值。 这使得当时人们认为物理理论就是基本假设加数学模型，而把牛顿的基本假设就当成是普遍的自然基本规律。 牛顿也自称其力学理论为“自然哲学之数学原理”。

牛顿认为物理量是连续可分的，因此物体的体积可小到无限小成为质点。 实际的物体都不是质点。于是认为物体是由质点组成的。若质点的相对位置固定不变就成为刚体。 这在数学观点看来是一个严格有意义的假设条件，但从物理观点看来是不能成立的。 质点的相对位置固定不变要求质点相对静止， 但万有引力会使质点互相靠近，距离无限小引力无限大，最后全宇宙会变成一个体积无限小密度无限大的奇特质点。 只有质点具有不顺着引力方向的运动才有可能抵抗引力而保持平衡， 可是这样就不可能保持相对位置不变。这表明从牛顿力学的物理观点来看，刚体也是不能成立的。 牛顿的宇宙只可能是均匀混沌一片或者是一个奇点，根本不可能成为现时的不断变化的丰富多采的多层次世界。

相对论成功于敢于否定一个“无限大”肯定c为速度极大极限值，遗憾未被否定的那些“无限”悄悄演出奇点困惑。 量子论成功于敢于否定一个“无限小”肯定h为作用量极小极限值，惊叹那些默认的“无限”竟然掀起不确定论风波。作用量常数h的存在说明作用量不能无限小，而有一个最小极限值。 作用量的量纲可写成动量乘线度或能量乘时间。作用量不能无限小说明动量与线度不能都趋向无限小即是动量和线度不能都是连续的。 若其中一个趋向无限小则另一个就会趋向无限大。 否则相乘就不可能得到有限数。人们把不可再分的粒子称为基本粒子。依相对论， 相互作用传播速度有限，具有有限体积的粒子在相互作用下必然变形，这说明它还可再分， 因此基本粒子必须是质点。电子既是基本粒子，依相对论电子应为一质点， 依量子论其线度为无限小则其动量必为无限大。这意味着电子的速度为无限大，这就违反了相对论。 看来两论相互矛盾。实质上速度不能无限大意味着时间不能无限小，时间是不连续的， 这与量子论的观点是一致的，问题在于狭义相对论广义相对论和量子力学量子场论为了能应用传统数学默认时间连续， 于是引起困惑，可见困惑都是“无限”惹的祸。

由G、c、h可求得各物理量的自然基础尺度(普朗克尺度)即物理量常数， 这是物理量的普适常数。 当物理量量变到这普适常数时就意味着沿这个方向的量变停止了，这普适常数就成了这物理量的一种物极必反的极限值或是产生质变的界限值。 如c是由相对速度质变到绝对速度的界限值也是速度极大极限值。

力常数 (Einstein引力常数的倒数)f = c^4/G 是力的极大极限值。作用量常数h、时间常数 T =√(h/cf)、 线度常数 L =√(hc/f) 等是极小极限值。质量常数 M =√(hc/G) 有特殊意义。描述物质特性的质量m和描述时空特性的线度构成两个相反变化的量纲式： 广义相对论的量纲式引力半径 r = mc^2/f 公式和量子场论的量纲式康普顿波长 λ= h/mc 公式。两量纲式中的线度与质量的关系正好相反成为矛盾的对立面， 看来广义相对论与量子场论相互矛盾也就不足为奇了。自然界全部质量构成的无外界总体引力封闭系统就是宇宙。 天体参照系如地心系、日心系等均在宇宙引力场中沿其短程线运动， 在系统外看它是有加速度的被加速系统。在系统内以系统为参照系这系外引力加速度就消隐了，这沿短程线运动的系统就成了局部惯性系。 可见宇宙总引力强度虽大到f而在局部惯性系内是不会感知的。 康普顿波长公式内含h和c构成线度与质量成反比，h说明此式所描述的系统是微观最小系统， c表示系统具有绝对运动。场粒子的运动是绝对运动，有静质量的粒子的运动是相对运动， 其具有的绝对运动只可能是内禀绝对运动，其动量为mc，这λ就是粒子的量子线度，形成“外不可入”的封闭系统实体粒子。内部无相对运动就说明系统内没有可分的部分确是一个实体基本粒子。 当质量等于质量常数M时两公式中的线度r或λ都等于线度常数L。 质量为M的客体既是微观最高能实体基本粒子又是宏观最小型黑洞。 可见M是微观基本粒子质量的最大极限值，又是宏观引力封闭系统质量的最小极限值，成为宏观与微观的分界值。 能量常数 Mc^2 是微观能量极大极限值， 乘以玻尔兹曼常数折合温度等于 1.21×10^32 开， 是绝对温度极大极限值。

各物理量均有极限值且相互关联相互制约说明各物理量均不能趋向无限。物理量有极小极限值不能无限小说明其变化是不连续的。 物理量变化的不连续性说明大自然具有层次结构。 质量为质量常数M的最高能基本粒子的康普顿波长(量子线度)是线度最小极限值L，宇宙的总质量是质量的最大极限值， 因此宇宙引力半径R就是线度最大极限值。R与L之间的关系隐藏在基本粒子到宇宙的层次关系中。 由电子电荷e、电子质量ε、质子质量ρ与G、c、h 这六个基本物理常数形成自然层次尺度(无量纲耦合常数)：

电磁耦合常数 α= e^2/(hc)= 1/137、

轻重子耦合常数 β=ε/ρ= 1/1836

引力耦合常数 γ= Gρ^2/(hc) = 5.9×10^(-39) 。

线度最小极限值L增大1/√γ倍为质子的量子线度 L/√γ， 再增大1/β倍为电子的量子线度 L/(β√γ) ， 继增大1/α倍就是电磁耦合基础系统线度玻尔原子半径 L/(αβ√γ) ， 最后增大1/γ倍就是引力耦合基础系统线度宇宙引力半径R了。 线度极大极限值R与极小极限值L之比 N=R/L=1/(γαβ√γ)= 5.54×10^62 。宇宙总质量为 NM=1.2×10^58克。相当于1.6×10^81个质子的质量。 除去电子等其它粒子占有的质量，说明人们估计当前宇宙质子和中子总数约为10的80次方是恰当的。 时间最大极限值也是微观最低能粒子康普顿周期为 NT = 9400 亿年。

在现实中没有完全独立的不受其它事物影响的事物，也不存在不影响其它事物的事物。可认知的事物都是有限的，无限意味着不知。 这就是大自然显现在人们面前的自然基本规律的基本特点。在以实验为基础的物理学中，这特点就表现为物理量全面相关和存在极限值两大特性，这两大特性概括了自然基本规律信息：

(1) 物理量有极限值不会趋向无限说明物质世界是可通过观测和实验认知的。

(2) 物理量有极限值不能无限小表明其变化是不连续的量子跃迁，大自然不是连续混沌一片而是有层次的。 自然存在的层次尺度常数确定了由基本粒子到宇宙的多层次结构。各层次有确定的能阶范围和耦合强度， 从而形成了相对稳定的层次结构。早在1960年，中国在杜布纳从事粒子理论研究的几位工作者，朱洪元、周光召、汪容、何祚庥等人，曾在1960年第二期的《自然辩证法研究通讯》上发表过一篇《现代基本粒子理论的新发展以及其中存在的一些哲学问题》的论文，其中已指出：“实践已经证明基本粒子有一定的结构”，“对称性质是基本粒子最根本的性质”，“在原子的概念确立以前，人们苦于化学化合物种类的繁复和纷杂，但是在原子的概念确立以后，复杂而纷乱的化学现象便得到了统一的解释。……今天基本粒子的数已经多达27个，而且还有继续增加的趋势。因而人们
当然有理由期待在如此丰富的基本粒子现象里面，也一定能找到一个能更深入地反映全部基本粒子运动规律的统一的理论，解释一些目前理论所不能解释的基本
现象，并且预言一些新的目前未发现的事实。”如此等等。那么，到了1965年，在毛泽东的“无限可分”的哲学思想启示下，粒子理论工作者就更是跃跃欲试地
共同参加到粒子结构问题的研究之中。

(3) 物理量有极小极限值因而不能等于绝对的零而化为乌有，说明了绝对静止是不存在的，绝对零度是达不到的(热力学第三定律)， 粒子存在自旋，基本粒子不是质点，宇宙不会变成奇点， 时间不存在绝对零起点而是无始无终周期性增减变化于大小极限值之间，表明了不断运动和变化的物质世界宇宙是永存的， 不会无中生有也不会有中变无。电荷有正负可中和， 电荷不能化为乌有表现为电荷代数和守恒。

(4) 宇宙总质量(质量极大极限值)不变，说明质量守恒定律以及含有质量量纲的能量、动量、 角动量等守恒定律和热力学第一定律的存在。

(5) 物理量常数在比较量度中是不变的自然基础尺度标准，表明自然界的大小是具有绝对性的。 说明了微观系统不是宏观系统的相似微缩，不能用宏观观点去理解微观。

(6) 物理量全面相关表明了各物理量都是物质的属性，世界是唯物的，时空各维相互关联说明宇宙空间不是平直无限而是弯曲封闭有限无边， 并随时间周期增减变化而胀缩震荡。 还说明了从物质观点表述的相互作用规律和从时空观点表述的几何特性密切相关，相互对应。 我们可从时空几何研究相互作用。

(7) 物理量相互关联构成量纲式。量纲式隐含自然规律的基本信息。物理公式、物理方程必内含量纲式， 量纲式中的物理量常数决定了理论的适用领域。描述物质特性的质量与描述时空特性的线度之间的量纲式，在微观是康普顿波长公式，描述了最小系统基本粒子系统，在宏观是引力半径公式， 描述了最大系统宇宙系统。微观与宏观存在相反的变化，这对立矛盾关系构成大自然变化内因。 两相反变化相互制约使物理量不能趋向无限，这是物理量有极限值的根源。

参考文献：

【1】邢贲思 主编.《哲学小百科》 中国青年出版社1984年10月