二、相对论产生的背景

(一)狭义相对论产生的背景

沈惠川在《我的世界线：相对论》中指出，Einstein和相对论成了我的信仰，并成了我自己的一部分。在物理学中，能够“永远站得住脚”的，除了分析力学（包括Lagrange力学，Hamilton力学和Birkhoff系统动力学），热力学外，就是相对论（包括狭义相对论和广义相对论，或称为特殊相对论和一般相对论）。这三门学问可说是物理学中的“铁三角”，是其它物理学科必须遵守的“约束条件”；是物理中的物理，是物理中的哲学。其余的学问，包括量子力学在内，都是在变化的，不一定全对。……相对论要求一直是我审视其它文章（包括自己文章）的基本标准。

有一种比较普遍的观点，即相对论是一种基于测量的理论。关于相对性理论是一个测量理论，有美国大学物理教科书编者R.Resnick先生也作过如下评述：在经典力学中，运动影响测量也不是一个奇怪的概念。例如，由测量得到的声音或者光波的频率与声源或者光源相对于观测者的相对运动有关。这一现象称为Doppler效应，他是每一个人都熟悉的现象（比如汽车从身边驶过那个机声声调的变化）。虽然，所有的物理学都认为地面上的观测者和行驶中的火车上的观测者所测得的同一运动物体的运动速度，动量和动能数值是不同的，但是在经典物理学中，空间和时间的测量是绝对的。而在相对性理论中，(除了光速的测量是绝对的，与观测者是否在运动无关)包括空间与时间的测量都是相对于观测者的。不仅实验事实推断起来与经典物理相矛盾，而且只有考虑了时间与空间的相对性以后，才能使依据物象来完美构造的物理定律对于所有的观测者来说是不变的，即物理定律的绝对性。的确，如果像时间和长度的经典概念所要求的那样，放弃Maxwell电磁场方程的确定形式，那么留给我们的将是一个任意而又复杂的方法系统。比较起来，相对性理论那个方法才是确定的和简单的。所以，相对性理论应当称作绝对论。这个理论的主要之点不在于测量数值的相对效应，而在于把物理定律的相对性移去了，反倒强调了物理定律的绝对性，即所谓事物运动规律不依赖于观察者的立场。

如所周知，伽利略-牛顿力学的基本定律（称为惯性定律）可以表述如下：一物体在离其他物足够远时，一直保持静止状态或保持匀速直线运动状态。这个定律不仅谈到了物体的运动，而且指出了不违反力学原理的、可在力学描述中加以应用的参考物体或坐标系。相对于人眼可见的恒星那样的物体，惯性定律无疑是在相当高的近似程度上能够成立的。现在如果我们使用一个与地球牢固地连接在一起的坐标系，那么，相对于这一坐标系，每一颗恒星在一个天文日当中都要描画一个具有莫大的半径的圆，这个结果与惯性定律的陈述是相反的。因此，如果我们要遵循这个定律，我们就只能参照恒星在其中不作圆周运动的坐标系来考察物体的运动。若一坐标系的运动状态使惯性定律对于该坐标系而言是成立的，该坐标系即称为“伽利略坐标系”。伽利略-牛顿力学诸定律只有对于伽利略坐标系来说才能认为是有效的。（摘自《浅说》第4节、伽利略坐标系的全文）

在物理学中几乎没有比真空中光的传播定律更简单的定律了，学校里的每个儿童都知道，或者相信他知道，光在真空中沿直线以速度c=300，000公里／秒传播。无论如何我们非常精确地知道，这个速度对于所有各色光线都是一样的。因为如果不是这样，则当一颗恒星为其邻近的黑暗星体所掩食时，其各色光线的最小发射值就下会同时被看到。荷兰天文学家德西特根据对双星的观察，也以相似的理由指出，光的传播速度不能依赖于发光物体的运动速度。关于光的传播速度与其“在空间中”的方向有关的假定即就其本身而言也是难以成立的。总之，我们可以假定关于光（在真空中）的“速度=c”是恒定的这一简单的定律已有充分的理由为学校里的儿童所确信。谁会想到这个简单的定律竞会使思想周密的物理学家陷入智力上的极大的困难呢？让我们来看看这些困难是怎样产生的。当然我们必须参照一个坐标系来描述光的传播过程。我们再次选取我们的路基作为这种参考系。如果沿着路基发出一道光线，根据上面的论述我们可以看到，这道光线的前端将相对于路基以速度c传播，现在我们假定我们的车厢仍然以速度v在路轨上行驶，其方向与光线的方向同，不过车厢的速度当然要比光的速度小得多。我们来研究一下这光线相对于车厢的传播速度问题。显然我们在这里可以应用前一节的推论，因为光线在这里就充当了相对于车厢走动的人。人相对于路基的速度W在这里由光相对于路基的速度c代替。W是所求的光相对于车厢的速度。我们得到：W=c-v于是光线相对于车厢的传播速度就出现了小于的情况。…（摘自《浅说》第7节、光的传播定律与相对性原理的表面抵触的第一、二、三段）．

Lorentz transformation是荷兰物理学家H. Lorentz在研究麦克斯韦方程组在相对于以太静止坐标系作匀速直线运动的坐标系中如何保持数学形式不变而与1904年正式以假设的形式提出的一种坐标变换。洛伦兹在1895年《关于动体电现象和光现象的理论研究》在地方时概念和对应态定理中提出来收缩假设，还提出光速不变公设，“提供了研究同时性的新法则。”长度收缩只不过是假说，是为了论证以太的存在。洛伦兹曾认为：运动的刚体在运动方向的收缩是一种客观上发生的变化，……同观察者无关。Lorentz transformation不具有物理意义是协变事后的解释，事前的只是假定猜想，只在想象或理想的空想中存在是思想虚构的产物，究竟有没有无法考证无法作为依据。只是具有数学上的技巧，不具有真实的可靠性，并必须满足假设条件并不是真实发生的。最早关注相对性问题的科学家不是Einstein，而是法国的科学家Poincare。相对性原理最初的意思有点是说绝对运动不能检测。在历史上，H.A.洛仑兹曾经创立过一种理论，它诞生于A. Einstein创立狭义相对论的前夕（1892~1904年间），用来替代伽利略变换并将之运用于电动力学。“他假定存在一种特殊的参考系，对它来说，以太是静止的。为了说明迈克尔逊—莫雷的实验结果，他假定以太可以影响在其中运动的钟和直尺。根据这个假设，钟在运动时变慢，尺沿运动方向收缩。”(见 >1961年12月第1版第47页“问题4”)。并推出了时间和长度的收缩因子皆为SQRT(1—uu/cc)。时空坐标的变换式为x＇=(x—ut)/SQRT(1—uu/cc),y＇=y,z＇=z,t＇=tSQRT(1—uu/cc)

（二）狭义相对论的原文摘录

1905年6月间，A. Einstein在瑞士伯尔尼专利局业余完成了一篇题为《论动体的电动力学》（ZurEɭektrodynɑmikbe-ωegterKÖrper）的论文，把它寄给了当时德国的《物理学杂志》（AnnɑɭenderPhysik），当年9月，该论文在其杂志的第4辑、17卷、891～921页上全文发表。该论文是这样开头的：“大家知道，Maxwell 电动力学一一像现在通常为人们所理解的那样——应用到运动的物体上时，就要引起一些不对称，而这种不对称似乎不是现象所固有的。比如设想一个磁体同一个导体之间的电动力的相互作用。 在这里，可观察到的现象只同导体和磁体的相对运动有关，可是按照通常的看法，这两个物体之中，究竟是这个在运动，还是那个在运动，却是截然不同的两回事。如果是磁体在运动，导体静止着，那么在磁体附近就会出现一个具有一定能量的电场，它在导体各部分所在的地方产生一股电流。但是如果磁体是静止的，而导体在运动，那么磁体附近就没有电场，可是在导体中却有一电动势，这种电动势本身虽 然并不相当于能量，但是它一一假定这里所考虑的两种情况中的相对运动是相 等的一一却会引起电流 ，这种电流的大小和路线都同前一情况中由电力所产生的一样。诸如此类的例子 ，以及企图证实地球相对于“光媒质”运动的实验的失 败， 引起了这样一种猜想：绝对静止的概念，不仅在力学中，而且在电动力学中也不符合现象的特性，倒是应当认为，凡是对力学方程适用的一切坐标系，对于上述电动力学和光学的定律也一样适用，对于第一阶微量来说，这是已经证明了的。 我们要把这个猜想 ( 它的内容以后就称之为 “相对性原理”) 提升为公设，并且还要引进另一条在表面上看来同它不相容的公设：光在空虚空间里总是 以一确定的速度 V 传播着，这速度同发射体的运动状态无关。 由这两条公设，根据静体的 Maxwell 理论，就足以得到一个简单而又不自相矛盾的动体电动力学。“ 光以太”的引入将被证明是多余的， 因为按照这里所要阐明的见解，既不需要引进一个具有特殊性质的“绝对静止的空间”，也不需要给发生电磁过程的空虚空间中的每个点规定一个速度矢量。 这里所要阐明的理论——像其他各种电动力学一样一一是以刚体的运动学为根据的，因为任何这种理论所讲的，都是关于刚体 ( 坐标系 ) 、时钟和电磁过程之间的关系。对这种情况考虑不足，就是动体电动力学目前所必须克服的那些困难的根源。”

A. Einstein提出相对性原理和光速不变原理两个公设，在这两个公设的基础上以用数学方法证明了Lorentz transformation并赋予其更广泛的涵义，又进一步推导出在物体运动接近光速时长度收缩、时间膨胀、物体的质量增大等一系列崭新的结论，提出了时空相对性理论。首先由于Lorentz transformation实际上出现在相对论之前，而Lorentz本人认为由该变换推出的“尺缩”是真实的，有一个关于动杆佯谬实际上就是针对这个意义上的Lorentz transformation的。而Einstein自己推导的Lorentz transformation，只是与Lorentz本人的变换具有相同的形式，而没有继承其意义，按照Einstein的意思，“尺缩”不是真实发生的。

当这篇论文发表后，人们并不知道伟大的相对论已经与它同时诞生，Einstein自己也只是为了解决动体的电动力学问题而发表了这篇论文，并没把它命名为“相对论”。此后的6年时间中，Einstein一直把他这篇论文中关于时间、空间相对性的论述简称为“相对性原理”（Reɭɑtiuitᾰ-tsprinzips），并未当做一种“理论”（theory）来提升。1911年1月16日，Einstein在瑞士苏黎世自然科学会上作了一个题为“相对论”（DieReɭɑtiuitᾰ-tstheorie）的报告，发表在《苏黎世自然研究会季刊》56卷第1～14页上，这才正式完整地提出了“相对论”这一全新的理论，并把《论动体的电动力学》一文作为“相对论”的开山之作，故1905年也被追认成了“相对论”的诞生年。传统的惯性系是建立在一无所有的绝对的空间假设之上。这样一个惯性系是虚拟的，他不对应任何具体的物理实在。Einstein的相对论并没有改变传统惯性系的本质。相对论改变的是人们的空间观念和时间观念。相对论在处理传统的惯性系理论与现代物理学实验之间的矛盾的做法是：保留传统惯性系的基本观点和看法，通过改变空间和时间的定义以调和两者之间的矛盾。美国大学物理教科书编者R.Resnick先生给出的如下评述：
　　在经典力学中，运动影响测量也不是一个奇怪的概念。例如，由测量得到的声音或者光波的频率与声源或者光源相对于观测者的相对运动有关。这一现象称为Doppler效应，他是每一个人都熟悉的现象（比如汽车从身边驶过那个机声声调的变化）。虽然，所有的物理学都认为地面上的观测者和行驶中的火车上的观测者所测得的同一运动物体的运动速度，动量和动能数值是不同的，但是在经典物理学中人们相信理解一个物象系统可以基于一个统一的时间标准和统一的各种尺度标准。而在相对性理论中，(除了光速的测量是绝对的，与观测者是否在运动无关)包括空间与时间的测量都是相对于观测者的。但是，不仅实验事实推断起来与经典物理相矛盾，而且只有考虑了时间与空间的相对性以后，才能使依据物象来完美构造的物理定律对于所有的观测者来说是不变的，即物理定律的绝对性。的确，如果像时间和长度的经典概念所要求的那样，放弃Maxwell电磁场方程的确定形式，那么留给我们的将是一个任意而又复杂的方法系统。比较起来，相对性理论那个方法才是确定的和简单的。所以，相对性理论应当称作绝对论。这个理论的主要之点不在于测量数值的相对效应，而在于把物理定律的相对性移去了，反倒强调了物理定律的绝对性，即所谓事物运动规律不依赖于观察者的立场。

3、从静系到另一个相对于它做匀速移动的坐标系的坐标和时间的变换理论:

设在“静止的”空间中有两个坐标系，每一个都是由三条从一点发出并且互相垂直的刚性物质直线所组成。设想这两个坐标系的X 轴是叠合在一起的，而它们的 Y 轴和 Z 轴则各自互相平行着② （ 注： ②本文中用大写的拉丁字母 XYZ 和希腊字母ΞHZ 分别表示这两个坐标系 (K系和k系 ) 的轴 ，而用 相应的小写拉丁字母x，y，z 和小写的希腊字母ξ，η，ζ 分别表示它们的坐标值一一译者注。）设每一系都备有一根刚性量杆和若干只钟，而且这两根量杆和两坐标系的所有的钟彼此都是完全相同的。

现在对其中一个坐标系 ( k ) 的原点 ，在朝着另一个静止的坐标系 (K) 的χ增加方向上给一个 ( 恒定 ) 速度v ，设想这个速度也传给了坐标轴、有关的量杆，以及那些钟。 因此，对于静系K 的每一时间 t ，都有动系轴的一定位置同它相对应，由于对称的缘故，我们有权假定k的运动可以是这样的：在时间 t ( 这个“ t ”始终是表示静系的时间 ) ，动系的轴是同静系的轴相平行的。

我们现在设想空间不仅是从静系 K 用静止的量杆来量度，而且也可从动系k 用一根同它一道运动的量杆来量，由此分别得到坐标又χ，y，z 和 ξ，η，ζ 。再借助于放在静系中的静止的钟，用§1 中所讲的光信号方法 ，来测定一切安置有钟的各个点的静系时间 t ； 同样，对于一切安置有同动系相对静止的钟的点，它们的动系时间τ也是用§1 中所讲的两点间的光信号方法来测定，而在这些点上都放着后一种 ( 对动系静止 ) 的钟。

对于完全地确定静系中一个事件的位置和时间的每一组值x，y，z ，t ，对应有一组值 ξ，η，ζ，τ ，它们确定了那一事件对于坐标系 k 的关系，现在要解决的问题是求出联系这些量的方程组。

首先，这些方程显然应当都是线性的，因为我们认为空间和时间是具有均匀性的。

如果我们置 ，那么显然，对于一个在k系中静止的点，就必定有一组同时间无关的值x' ，y ，z 。 我们先把τ定义为x'，y ，z 和t 的函数。为此目的，我们必须用方程来表明τ不是别的，而只不过是k系中已经依照§1 中所规定的规则同步化了的静止钟的全部数据。

从k系的原点在时间τ。发射一道光线，沿着X 轴射向 x' ，在τ1 时从那里反射回坐标系的原点，而在τ2 时到达；由此必定有下列关系：

或者，当我们引进函数τ的自变数，并且应用在静系中的光速不变的原理：

如果我们选取 x'为无限小，那么，

或者：

应当指出，我们可以不选坐标原点，而选任何别的点作为光线的出发点，因此刚才所得到的方程对于x'，y，z 的一切数值都该是有效的。

做类似的考察——用在 H 轴和 Z 轴上——并且注意到，从静系看来，光沿着这些轴传播的速度始终是 ，这就得到：

， 。

由于τ是线性函数，从这些方程得到：

此处α暂时还是一个未知函数Φ(v)，并且为了简便起见，假定在k的原点，当 。

借助于这一结果，就不难确定ξ，η，ζ这些量，用方程来表示的话，光 ( 像光速不变原理和相对性原理所共同要求的 ) 在动系中量度起来也是以速度 V 在传播的。对于在时间τ=0 向 ξ 增加的方向发射出去的一道光线 ，其方程是：

，

或者：

但在静系中量度，这道光线以速度 （V-v）相对于k的原点运动着，因此得到：

如果我们以t 的这个值代入关于ξ的方程中，我们就得到：

用类似的办法 ，考查沿着另外两根轴走的光线 ，我们就求得：

此处 ：

因此：

和

代入x' 的值，我们就得到：

，

，

此处：

而 Φ暂时仍是v 的一个未知函数。如果对于动系的初始位置和τ的零点不作任何假定，那么这些方程的右边都有一个附加常数。

我们现在应当证明，任何光线在动系量度起来都是以速度 V 传播的，就像我们所假定的在静系中的情况那样。因为我们还未曾证明光速不变原理同相对性原理是相容的。

在 t = τ = 0 时 ，这两坐标系共有一个原点，设从这原点发射出一个球面波，在 K 系里以速度 V 传播着。如果 （x,y,z）是这个波刚到达的一点，那么

借助我们的变换方程来变换这个方程，经过简单的演算后，我们得到：

由此，在动系中看来，所考查的这个波仍然是一个具有传播速度 V 的球面波。这表明我们的两条基本原理是彼此相容的。

在已推演得的变换方程中，还留下一个v 的未知函数 Φ，这是我们现在所要确定的。

为此目的，我们引进第三个坐标系 K'，它相对于k系做这样一种平行于Ξ轴的移动，使它的坐标原点在Ξ轴上以速度-v 运动着。设在 t = 0 时，所有这三个坐标原点都重合在一起，而当 t =Z =y =z =0 时，设 K'系的时间t'为零。 我们把在 K'系量得的坐标叫做x'，y'，z'，通过两次运用我们的变换方程，我们就得到：

由于x'，y'，z'之间的关系中不含有时间 t，所以 K 同K' 这两个 坐标系是相对静止的，而且 ，从 K 到 K'的变换显然也必定是恒等变换。因此：

我们现在来探究Φ（v）的意义。我们注意k系中H轴上在 ξ= 0，η= 0，ζ = 0 和 ξ=0，η = L ，ζ= 0 之间的这一段。这一段的 H 轴，是一根对于 K 系以速度 v 作垂直于它自己的轴运动着的杆。它的两端在 K 中的坐标是：

和

因此 ，在 K 中所量得的这杆的长度是L/ >； 这就给出了函数Φ的意义。由于对称的缘故，一根相对于自己的轴作垂直运动的杆，在静系中量得的它的长度，显然必定只同运动的速度有关，而同运动的方向和指向无关。因此，如果v同-v对调，在静系中量得的动杆的长度应当不变。由此推得：

从这个关系和前面得出的另一关系 ，就必然得到Φ(v) =1，因此 ，已经得到的变换方程就变为：

此处

§4. 关于运动刚体和运动时钟所得方程的物理意义

我们观察一个半径为 R 的刚性球① （注：①即在静止时看来是球形的物体。）， 它相对于动系k是静止的，它的中心在k坐标原点上。这个球以速度v 相对于 K 系运动着，它的球面的方程是：

用 x，y，z 来表示，在 t =0 时 ，这个球面的方程是：

一个在静止状态量起来的刚体，在运动状态——从静系看来——则具有旋转椭球的形状了，这个椭球的轴是

这样看来，球 ( 因而也可以是无论什么形状的刚体 ) 的 Y 方向和 Z 方向的长度不因运动而改变，而X 方向的长度则好像以 的比率缩短了，v 愈大，缩短得就愈厉害。对于 v = V，一切运动着的物体——从“ 静 ”系看来 ——都缩成扁平的了。对于大于光速的速度，我们的讨论就变得毫无意义了；此外，在以后的讨论中，我们会发现，光速在我们的物理理论中扮演着无限大速度的角色。

很显然，从匀速运动着的坐标系看来，同样的结果也适用于静止在 “静”系中的物体。

进一步，我们设想有若干只钟，当它们同静系相对静止时，它们能够指示时间 t；而当它们同动系相对静止时，就能够指示时间τ，现在我们把其中一只钟放到k的坐标原点上，并且校准它，使它指示时间 τ。 从静系看来，这只钟走得快慢怎样呢？

在同这只钟的位置有关的量 x，t 和τ之间，显然下列方程

和 成立 ，

因此 ，

由此得知，这只钟所指示的时间 ( 在静系中看来 ) 每秒钟要慢 秒 ，或者一略去第 4 级和更高级的 ( 小 ) 量——要慢 秒。

从这里产生了如下的奇特后果。如果在 K系的 A 点和 B 点上各有一只在 静系看来是同步运行的静止的钟，并且使 A 处的钟以速度v 沿着 AB 连线向 B 运动，那么当它到达 B 时，这两只钟不再是同步的了，从 A 向 B 运动的钟要比另一只留在 B 处的钟落后 秒 [ 不计第 4 级和更高级的 ( 小 ) 量 ]，t 是这只钟从 A 到 B 所花费的时间。

我们立即可见 ，当钟从 A 到 B 是沿着一条任意的折线运动时 ，上面这结果仍然成立，甚至当 A 和 B 这两点重合在一起时，也还是如此。

如果我们假定，对于折线证明的结果，对于连续曲线也是有效的，那么我们就得到这样的命题：如果 A 处有两只同步的钟，其中一只以恒定速度沿一条闭合曲线运动，经历了 t 秒后回到A，那么，比起那只在 A 处始终未动的钟来，这只钟在它到达 A 时，要慢 秒。由此，我们可以断定：在赤道上的摆轮钟，比起放在两极的另一只在性能上完全一样的钟来，在别的条件都相同 的情况下，它要走得慢些，不过所差的量非常之小。

§ 5. 速度的加法定理

在以速度 v 沿 K 系的 X 轴运动着的k系中，设有一个点依照下面的方程在 运动：

此处 和 都表示常数。

求这个点对于 K 系的运动。借助于§3 中得出的变换方程，我们把x，y ，z，t 这些量引进这个点的运动方程中来，我们就得到：

这样，依照我们的理论，速度的平行四边形定律只在第一级近似范围内才是有效的。我们令：

和 ；[20]

α因而被看做是 v 和ω两速度之间的交角。经过简单演算后，我们得到：

值得注意的是，v 和ω是以对称的形式进入合成速度的式子里的。如果ω也取 X 轴 (Ξ 轴 ) 的方向，那么我们就得到：

从这个方程得知，由两个小于 V 的速度合成而得的速度总是小于 V 。因为如果我们置

此处 k 和 λ 都是正的并且小于V，那么：

进一步还可看出，光速 V 不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变。在这场合下，我们得到：

当 U 和 ω具有同一方向时，我们也可以把两个依照§3 的变换联合起来，而得到 U 的公式。如果除了在§3 中所描述的 K 和 k 这两个坐标系之外，我们还引进另一个对 k 做平行运动的坐标系k' ，它的原点以速度ω在 Ξ 轴上运动着，那么我们就得到x，y，z，t 这些量同 k' 的对应量之间的方程，它们同那些在§3 中所得到的方程的区别，仅仅在于以

这个量来代替“v”； 由此可知，这样的一些平行变换——必然地——形成一个群。

《论动体的电动力学》的第10节“（缓慢加速的）电子的动力学”中，Einstein讨论了这个问题。他从运动方程出发，经过洛伦兹—Einstein坐标变换，得出了一组结果：然后保持“质量×加速度=力”的方程形式，通过比较而导出了电子的纵质量和横质量

式中m_o为物体的静质量。Einstein所得到的纵质量m_L随速度变化的关系与洛伦兹的结果相同。

普朗克在1906年著文指出，如果将力表达成动量随时间的变化率，即

　　形式上与洛伦兹的横质量相同，Einstein在后来的论文中采用了这种对质量的新定义。1909年,有个叫Bucherer的德国物理学家证明了相对论质速关系的那个实验!