三、离散、连续的相对性与绝对性

摘要：文章根据现代数学和物理学的知识提出了运动的相对性与绝对性原理，分析了芝诺悖论，把四色定理从平面推广到n维空间，提出了函数和数列、积分和级数的本质是相同的。

关键词：离散、连续、四色定理、芝诺悖论、相对性与绝对性

（一）物质的无限可分性问题

对物质结构的认识，一直存在两种对立的观点：一种观点认为物质不是无限可分的，存在某种分割的极限；另一种观点认为物质是无限可分的。

1803年，英国人道尔顿将“原子”从一个抽象的哲学术语变为化学中的实在客体。道尔顿是这样定义原子的：物体的终极原子就是气体状态时被热氛围绕着的质点或核心。他认为：元素的最终组分就是简单的原子，它们是既不能创造，也不能毁灭，而且是不可能再分割的。它们在一切化学变化中保持基本性不变。同种元素的原子，其形状、质量及各种性质都相同，不同种元素的原子的性质则不相同。每一种元素以其原子的质量为基本的特征。不同元素的原子以简单的数目的比例相结合，就形成了化学中的化合现象。1897年，英国物理学家汤姆逊通过对阴极射线的进一步研究,证实了阴极射线是所谓终极原子的组分之一----电子,从而打破了原子不可分的观念，使人类对物质结构的认识深入了一个层次。电子是人类认识的第一个基本粒子。1911年，英国人卢瑟福提出了原子核和电子的行星模型的原子结构。1917年，他又通过人工核分裂方法发现了质子。1932年，卢瑟福的学生查德威克又发现了中子,从而将中子和质子视为原子核的组分。原子核的结构被揭示后,人们便认为通常的物质是由电子、质子、中子构成的，并且认为光子是电磁作用的媒介粒子。上个世纪三十年代初期,人们普遍认为电子、质子、中子和光子这四种粒子是基本的,即它们不再是由更小的基元构成的。随着人们在宇宙射线中对正电子和介子等多种新粒子的发现，以及加速器的建立发现了反粒子和多种基本粒子的变种，这迫使人们重新去思考基本粒子更新的层次。 1964年，美国物理学家盖尔曼和茨韦提出了夸克模型，认为重子和介子都是由夸克组成的。现在，按照大家普遍接受的标准模型来看,把夸克和轻子放在同一物质层次，不可再分的物质基本组元是夸克和轻子。它们又通过交换光子，三种弱力粒子，八种胶子来实现电磁、弱、强三种相互作用力。根据作用力的特点，粒子分为强子、轻子和传播子三大类。强子是所有参与强力作用的粒子的总称,质子、中子、π介子等都属于强子，它们由夸克组成。夸克有六“味”，分别是上、下、奇异、魅、底、顶六味夸克,而每味夸克都带有三种“色”，即红、绿、蓝。那么，夸克的种类是多少呢?六“味”三“色”，就是十八种夸克，加上各自的反粒子十八种反夸克，夸克的种类应该是三十六种。轻子只参与弱力、电磁力和引力，而不参与强相互作用。轻子共有六种，即电子、电子中微子、μ子、μ子中微子、τ子、τ子中微子，加上各自的反粒子，轻子的种类应该有十二种。传播子也属于基本粒子，传递强相互作用的胶子共有八种，传递弱作用的是W⁺、W^-、和Z⁰中间玻色子三种,还有传递电磁作用的光子，那么传播子的种类应该有十二种。在未涉及引力作用的标准模型中，把夸克、轻子以及传播子都放在同一的基本粒子层次来看，那么构成世界物质的基本粒子至少有六十种以上。近年，有人认为夸克由更小的物质微粒构成。并给它们取名为：颜色子、弱旋子、味子等。由于它们无法被现有实验方法所观测，仅仅是一种思维着的物质微粒。或者说是种抽象的数学模型，故属于哲学宇宙的范围，是一种思维着的物质存在。其实，古圣早就有“其大无外，其小无内”的定理，微观宇宙中“物质无限可分与有限可分”的争论是没有意义的。“六合之外，圣人存而不论；六合之内，圣人论而不议”（《庄子—齐物论》）。要根本弄清物质是由何种最小微粒构成是不可能的，哲学家们可以非常肯定的告诉你“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。凡是能被物理学家观测的物质微粒必然有其一定的空间尺度，有空间尺度的微粒就可以被再分割，直到其空间尺度消失为止。而已经没有空间尺度的物质几已经不存在，故无限可分的物质已经不再是被观测物质，它只是一种哲学现象。物理学所谈的物质必是可被观测的客观实体，当这一客观实体的空间尺度小到无法被人类所观测时，它就不能再分割了。因此，物理学上的物质不是无限可分的。

早在公元前四世纪的古希腊哲学家德谟克利特就提出了“原子”这一概念，并把它当作物质的最小单元。他相信万物都是由原子构成的，原子在物理上——而不是在几何上——是不可分的；原子之间存在着虚空；原子是不可毁灭的；原子曾经永远是，而且将永远是在运动着的。由于原子间的联合就产生了物质的生、成，由于原子间的分离就产生了物质的毁灭。持“物质不是无限可分割”观点的学者认为:我们不能无止境地以构成物体的各个部分来分析物体。这个过程最终要失去它的意义，我们会遇到不能再简约的实体，这就是基本粒子。而所谓“基本粒子”，说法是：如果不能把一个粒子描述为其他更基本实体的一个复合体系，就可以认为这个粒子是基本的。为了用实验决定一个粒子是基本的还是复合的，通常采用让它与另一个高速运动的粒子碰撞来粉碎它，观察反应后的产物，看看能否找出它的碎片。用现代粒子加速器，可产生能量极高的电子束。让两个高速电子相互对心碰撞，在反应的产物里仍找不到电子的碎片；加大碰撞前电子的能量，你甚至可以在反应的产物里找到三个电子和一个正电子，但还是找不到电子的碎片。看来电子是一个整体，不可粉碎！为此，在E·H·Wichmann所著《伯克利物理学教程》第四卷中写道：“我们达到了一个极限：把电子看成是由其它更基本的粒子所组成，就显得不合情理和无用了。”该书又写道：“今天没有人企图根据物质是无限可分的前提来创立一个全面的物质理论，这样一种企图将是无益的。”目前认为夸克和一些轻子是组成自然界所有物质的“基本粒子”。

持“物质是无限可分割”观点的学者，不承认物质结构会在某个层次上终结。但迄今为止，拿不出令人信服的按物质无限可分割思想建立的，并得到实验事实支持的一个全面的物质理论。因此，物质不是无限可分割的思想，包括电子不可分割的观点被很多人接受，成为当今科学界的主流思想。海森堡相信：“通过寻求越来越小的物质单位，我们并不能找到基本的物质单位，或曰不可分割的物质单位，但我们却的确碰上了一个点，在这一点上，分割是没有意义的。”

如果说，20世纪是球量子无限可分与球量子有限可分之争的世纪；那么21世纪则是球量子与环量子之争的世纪。这个分水岭是，夸克模型和层子模型的提出，标志着人类对微观物质结构认识的第个四阶段的到来，这是20世纪的一件大事；日本物理学家坂田昌一把它说成是一场“体的无限可分”与“点的不可分”之争，实际上这是20世纪国际冷战带来的球量子无限可分与球量子有限可分之争的标志。

（二）离散与连续的关系

连续和离散是矛盾的两个方面，也是相对性与绝对性的统一，它们也具有统一性的一面，从某一个方面考察是连续的量，从另一个方面考察是离散的。我们称之为离散与连续的相对性与绝对性原理。

所谓“连续统”，形象的说法就类似“物质无限可分”或“层次无限可分”。自公元前六世纪古希腊的学者毕达哥拉斯，猜想数学中存在不可分割的连续统开始，在随后的几百年间，也受到德谟克利特、柏拉图等一些数学和物理学家的关注，但一直未获得严格论证。而现已65岁的天津师范大学数学系黄乘规教授，历经二十几年的苦心研究，却不仅把这2500年来的猜想解析成功，而且提出了可以应用的数学模式。据黄教授讲，他目前为止运用外的非标准分析学，已经解决8个数学问题；不可分割的连续统的存在性只是其中之一，它还能解决古代庄周的“无厚不可积”、“万世不竭”两个猜想，近代数学的“实数集的测度为零”等三个问题及古希腊先哲的另外两个猜想。黄乘规教授的科研成果受到美国《数学评论》，在头版头条加以评介。英国伦敦数学研究所聘请黄乘规为该所荣誉博士。中科院数学研究所顾问、大连理工学院数学所名誉所长徐利治称，这一理论从逻辑上精确地论证了“连续统”的真正连续性，是数学基本理论上的重大建树，给现代物理科学提供了新的有效工具。25年前黄乘规研究外的非标准分析，1972年，他解决了“stvenant原理的一个反例”，这是150年无人攻克的难题，成为他研究外的非标准分析的动力，也成为他能解开数学中不可分割的连续统的原因。在哲学上批评远作用的时候，场的数学理论也为近作用原理廓清了道路。对数学理论的探讨导出了形式的，连续化的世界图景。从经典电动力学的角度出发，认为电磁场是一种连续介质，而从量子力学出发，则认为电磁场是由量子构成的。量子力学是一种非决定论力学的统计理论，而经典电动力学则是一种决定论物理学。

1777年，拉格朗日在引力论中引入了势的概念，引力就是由势的梯度所决定。不久，到1782年拉普拉斯指出牛顿的引力定律等价于有引力势φ出现的方程，且方程取下列形式:

函数对三个坐标轴的二阶导数之和通常用符号**来表示，这符号叫作拉普拉斯算符。于是拉普拉斯方程就可改写为以下形式:

这个方程描述了重物外面空间中的引力场。为描述物体自身中的引力场就需要把拉普拉斯方程加以推广。这一工作是泊松在1812年完成的。在一般情况下，对坐标的二阶导数之和已不再为零，泊松方程具有以下形式:

这里ρ是质量密度。这样，引力论就达到了二阶连续化。原先，力在形式上被分布于空间中的某一个量所代替，而这个量也只是用来确定通过真空中的作用力的一个辅助的概念。在泊松方程中既然出现了总的说来是在空间中连续分布的重物的密度，此时这个量就不再是远作用的理论的一种辅助的数学符号，而是质量连续分布的某种物理图景了。

泊松把势的概念运用于静电现象。后来到1828年，格林利用势的概念导出了静电学和静磁学的许多关系。在引力定律和库仑所建立的电荷和磁极的吸引定律之间的一致性也促成这种总结。到1839年发表了高斯的著作，当时可以说在一定程度上势论是完成了。对于场，在实验上，宏观上是连续的；微观上是连续过渡到离散。

离散数学是数学的几个分支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数无穷个元素;因此它充分描述了计算机科学离散性的特点，内容包含：数理逻辑、集合论、代数结构、图论、组合学、数论等。

根据离散与连续的相对性与绝对性原理可知，必须假定某些以前认为是连续的物理量是由基本量子组成的，例如容器中气体在宏观上施与器壁的压强是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。无规则运动的气体分子不断地与器壁相碰，就某一个分子来说，它对器壁的碰撞是离散的，而且它每次给器壁多大的冲量，碰在什么地方都是偶然的。但是对大量分子整体来说，每一时刻都有许多分子与器壁相碰，所以在宏观上就表现出一个恒定的、持续的压力。这和雨点打在雨伞上的情形很相似，一个个雨点打在雨伞上是离散的，大量密集的雨点打在伞上就使我们感受到一个持续的向下的压力。电影片的播放是离散的，但是在观众看来是连续播放的。在实数集中考察自然数集是离散的，但是在整数集中考察自然数集是连续的；光子的频率是离散的，但是在光谱学中可以认为是连续的；引力质量从基本粒子的角度分析是离散的，但是根据相对论物体的运动状态可以连续变化，引力质量也可以连续变化。基因遗传与数量遗传分别是遗传的离散和连续的表现形式，数量遗传积累到一定程度肯定发生基因的变异，基因遗传是数量遗传长期积累的结果，生物的进化应当是用进废退（数量遗传）造成基因突变，在自然选择的作用下发展的。拉马克的进化学说看作是生物进化的宏观表现，基因突变并非完全随机的，可能带有一定的方向性，生物在生长过程中也始终在进化着只不过不明显而已。

（三）“芝诺的四个悖论”

第一个悖论是阿基里斯与乌龟悖论，希腊战士阿基里斯跟乌龟赛跑，乌龟说，如果它比阿基里斯先跑10米，那么阿基里斯永远都追不上它，因为只要阿基里斯跑了10米，这时乌龟就又多跑了几米，若阿基里斯再跑到乌龟曾经停留的点，乌龟一定又跑到阿基里斯前面去了；看似有理，但要怎么说明为何如此呢？第二个是二分法悖论，是说你永远不可能抵达终点，因为你为了抵达终点，必得先跑完全程的一半，而要跑到全程的一半，你又得跑完一半的一半……如此一来，你永远跑不到终点；甚至可以说你根本无法起跑，因为若要起跑一小段距离，你就得移动那一小段距离的一半，似乎永远无法开步跑？第三则是飞矢悖论，在任一时刻，飞矢会占据着与它同等长度的空间，就这个瞬间而言，飞矢可说是静止不动的；如果每一个“任一时刻”飞矢都静止不动，那么飞矢应该一直不动。怎么可能如此？飞矢应该不断往前飞啊！第四是竞技场悖论，假设时间有最小不可分割的单位（这是自古以来的基本假设），现在有3辆车子，在单位时间内，一号车向左移一个车身，二号车不动，三号车向右移一个车身，于是一号和三号便相差两个车身，那么一号和三号车在过程中相差一个车身时，需要花费基本单位元时间的一半，但这与基本的单位时间假设相冲突。林兹要阐释这四个芝诺悖论，所持的基本论点是，对运动中的物体而言，并没有所谓的“任一时刻会位于某个确定位置”，因为物体的位置会随时间不停地改变。他解释道︰“这样想应该比较能够理解，无论时间间隔多么小，或者物体在某段时间间隔中运动得有多慢，它还是在运动状态中，位置还是不断在改变，因此，无论时间间隔有多短，运动物体没有所谓在任一时刻、某一瞬间拥有确定的相对位置这回事。”从芝诺到牛顿乃至于今天的物理学家，在讨论运动的本质时，无不假设“运动中的物体之间具有确定的相对位置”，而林兹则认为，便是因为假设时间可以冻结在任一时刻，此时运动中的物体位在一个确定的位置上，因此芝诺悖论中那种不可能发生的情况才会成立。林兹也指出，无论如何，某段时间间隔一定可以用一个时间范围来表示，不能只说是“一瞬间”的单一时刻：“举例来说，如果有两个独立事件分别测得发生在1小时或10秒钟，这两个数值应是指两事件分别发生在1-1.99999……小时之间，以及10-10.0099999……秒之间。”因此，林兹可以很直接地解决类似“飞矢悖论”的问题。一位著名的牛津大学数学家评论道：“这真令人既惊讶又意外，不过他是对的。”林兹继续将他所提出的概念推到物理学的其它方面，包括量子力学及霍金所建构的宇宙学。

物理学的物质是量子论的，分到一定程度后，就得到了量子元，而量子元是不可再分的。物理学的物质（能量）有两种物理形式组成，一种是量化物质，即后面提到的电磁质量；一种是连续物质，这种物质是无限可分的，可以永无穷尽的分割下去，即后面提到的引力质量。量化物质和连续物质可以相互转化并且守恒不灭，这就与数学思想的有限和无限，局部无限和整体无限联系起来了。

（三）数学中的连续与离散

实数集在标准分析中是连续的，但是实数集可以与数轴上的点建立一一对应关系，而数轴由可数个离散的区间组成的。由于数学归纳法适用于离散集，因此也可以适用于实数集与复数集。【1】非标准分析由美国数学家鲁滨逊1960年推出；非标准分析虽是一种“点内数学”；它的点内观念正如天外有天，认为点内也有世界，但据国内非标准分析专家、四川省社会科学院学术委员会副主任查有梁教授的研究，点内非标准分析涉及最多的还仅仅是平面和球面解析，缺少环面解析；而这恰恰属于不确定性解析范畴。在非标准分析中是离散的，每一个点由可数个点构成，由非标准分析可以知道实数集是离散、连续的对立统一。集合论的创始人Cator把无穷基数分为无穷个等级，一个比一个大，并证明了“任何集S的超限数基数比集S超限数还大”。在这里“整体大于部分”成了谬误，而“部分大于整体”成为真理。数轴可以认为由可数个离散的区间组成的，只需要两种颜色就可以把数轴上的区间分开。复数可以与复平面上的点建立一一对应关系，而复平面可以认为由可数个矩形区域组成的，根据四色定理只需要四种颜色就可以把平面上的区域分开。类似地，只需要2ⁿ种颜色就可以把n维空间中区域分开，现代数学认为多于7种颜色才能把环面上的区域分开，笔者认为只需要8种颜色即可。

根据离散与连续的相对性与绝对性可以得知，离散与连续具有统一性的一面，因此函数与数列、级数与积分便统一在一起，函数极限的四则运算法则与数列极限的四则运算法则、函数极限的性质与数列极限的性质、函数极限的判定与数列极限的判定其实是同一个问题，也不难理解Heine定理；离散型随机变量与连续型随机变量也是相对性与绝对性的统一。

20世纪理论物理学家说得最多的话题是广义相对论和量子理论，而量子几何正是为现代物理学这两大支柱整合服务的。因为空间量子化不仅是许多物理学家曾经的猜测，而且因量子化概念本身的广泛应用已开启了人们的想象。传统的量子引力方案是继承广义相对论经典的表述方式，即是以度规场作为基本场量，但一个连续的背景时空会是量子场论中紫外发散的根源。1971年 R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。1986年后，A. Ashtekar 等物理学家借鉴了A. Sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，即以自对偶自旋联络作为基本场量 ，这组场量通常被称为 Ashtekar 变量，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同时 T. Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop Quantum Gravity。1994年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本征值，结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和 Penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (Quantum Geometry)。这里它完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种与背景无关的量子引力理论。一些物理学家认为 Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。

Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段。因为从几何上讲，Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此，自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架，因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人发现在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性，即称为微分同胚不变性所导致的约束条件与数学上的 “节理论”有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘，其实在概念上并不难理解，微分同胚不变性的存在使得 Wilson loop 中具有实质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论的紫外发散。

众所周知，一个量子系统的波函数由包含了对系统有影响的各种外场的作用；这种方程对于波函数 Ψ 是线性的，也就是说如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解，那么它们的任何线性组合也同样是方程的解。这被称为态迭加原理，在量子理论的现代表述中作为公理出现，是量子理论最基本的原理之一。但是一旦引进引力相互作用，情况就不同了。因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源，而引力相互作用又会反过来影响波函数，这就在系统的演化中引进了非线性耦合，从而破坏了量子理论的态迭加原理。不仅如此，进一步的分析还表明量子理论和广义相对论耦合体系的解是不稳定的。其次，广义相对论和量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临一些尖锐的问题。例如量子理论同样被无穷大所困扰，虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。但从理论结构的角度看，这些无穷大的出现预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的 “有效理论” 。因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力。引力量子化早期的尝试,几乎用遍了所有已知的场量子化方法。最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化。协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量分解为背景部分和涨落部份。但不同的文献对背景部份的选择又不尽相同，这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为 2 的无质量粒子，即引力子。由于这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明，基本上结束了早期协变量子引力的生命。

与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 ，从而破坏了明显的广义协变性。时间轴一旦选定，就可以定义系统的 Hamilton 量(哈密顿量)，，并运用有约束场论中普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既有数学上的，也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态。当然量子引力还有另一种极为流行的方案是超弦理论 。与传统的量子几何相比,量子引力只不过是超弦理论的一个部份。从量子引力的角度来看，传统的量子几何是正则量子化方案的发展，而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展。这是由于当年受困于不可重整性，人们曾经对协变量子化方法做过许多推广，比如引进超对称性，引进高阶微商项等，这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中。因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关，但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。经过十几年的发展，目前 Loop Quantum Gravity 已经具有了一个数学上相当严格的框架。除背景无关性之外，Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。迄今为止在 Loop Quantum Gravity 领域中取得的重要物理结果有两个：一个是在 lanck 尺度上的空间量子化，另一个 来自于对黑洞热力学的研究。1972年，Princeton 大学的研究生 J.D.Bekenstein 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启发，提出了黑洞熵的概念，并估算出黑洞的熵正比于其视界面积。稍后，S.W.Hawking 研究了黑洞视界附近的量子过程，结果发现了著名的 Hawking 幅射，即黑洞会向外幅射粒子 (也称为黑洞蒸发)，从而表明黑洞是有温度的。由此出发 Hawking 也推导出了 Bekenstein 的黑洞熵公式，这就是所谓的 Bekenstein-Hawking 公式。黑洞熵的存在表明黑洞并不象此前人们认为的那样简单，它含有数量十分惊人的微观状态。这在广义相对论的框架内是完全无法理解的，因为广义相对论有一个著名的 “黑洞无毛发定理” ，它表明黑洞的内部性质由其质量，电荷和角动量三个宏观参数所完全表示 ，根本就不存在所谓微观状态。
至于黑洞熵的计算，Loop Quantum Gravity 的基本思路是认为黑洞熵所对应的微观态由能够给出同一黑洞视界面积的各种不同的 spin network 位形组成的。按照这一思路进行的计算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分别完成，结果除去一个被称为 Immirzi 参数的常数因子外与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致。 因此 Loop Quantum Gravity 与 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。而超弦理论与量子引力最直接相关的一个，那就是利用 D-brane 对黑洞熵的计算；即超弦理论对黑洞熵的计算利用了所谓的 “强弱对偶性” ，即在具有一定超对称的情形下，超弦理论中的某些 D-brane 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变。利用这种对称性，处于强耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下与原先黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多 D-brane 构成，美中不足的是，由于上述计算要求一定的超对称性，因此只适用于所谓的极端黑洞或接近极端条件的黑洞。

参考文献：

【1】李学生.数学归纳法的拓广，《 济南教育学院学报》2002年第4期