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 李学生 （lixueshenglxs@21cn.com） 2007.05
三、广义相对论的实验验证
广义相对论理论的核心是新的引力场定律和引力场方程。有人说，麦克斯韦在电磁场上做过什么工作，Einstein在引力场也做过什么工作。广义相对论引人注目的特征之一是将牛顿力学中的引力简化为四维时空中的弯曲，“宇宙图景”的新情景不再是“三维空间中一片以太海洋的受迫振动”，而是“四维空间世界线上的一个纽结”。关于牛顿力学有关惯性系的概念，Einstein有这样的批评：“古典力学想要说明一个物体不受外力，必须证明它是惯性的，想要说明一个物体是惯性的，有必须证明它不受外力。”从而犯了逻辑循环的错误。Einstein认为：“一个物理学家在一个没有窗子的房间内工作，另外有一个人开玩笑把整个房子旋转起来，于是，这位物理学家将不得不放弃惯性定律。如果这位物理学家在进入房间以前就对物理学的概念已有坚定的信念，那么他就能解释力学定律之所以被推翻，是因为房子转动，用力学实验甚至可以决定它是怎样转动的。” 【1】
由于有物质的存在，空间和时间会发生弯曲，而引力场实际上就是一个弯曲的时空。Einstein根据这一结论，给出了著名的引力场方程式：
Einstein引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的，带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程。当然，Einstein的这个引力场方程并非完美，在具体计算中，使用的只是一个近似解，而真正的球面对称的准确解——史瓦兹解，是在此之后才找到的。
1978年泰勒等人通过对一颗射电脉冲双星（PSR193＋6）轨道周期所作的多年观测，间接证实了引力波的存在。这也是对广义相对论的重要验证。南京大学黄天衣教授讲：“近二十年来关于太阳系天体轨道的观测精度逐年提高，发现观测不能和牛顿力学相符，但和广义相对论的很好。国际学术界认为广义相对论是目前最正确的理论。”
(一)引力红移问题
由于采用穆斯堡尔效应，科学家在实验室中验证了引力红移。庞德（Ｒ．V.．Pound）与瑞布卡（G．A．Rebka）哈佛塔的著名实验证明了引力场可以使光子产生蓝移。从而间接地证明了Einstein广义相对论的引力红移的存在。这个实验运用光子在地面重力场中的能量守恒关系得出方程
 ．
其中 是光子在塔顶的频率， 是光子经过重力场后到达塔底的频率， 为塔高， 为重力加速度。从上式可以看出光子频率的变化与它在引力场中运动的距离有关。在这个实验中，假设我们在塔顶与地面之间设定几个不同的测量点，根据上式，光子在这些不同的点上应当有不同的频率。1960年，哈佛大学的物理学家以千分之一的精度测出了沿垂向下落23米的伽玛射线的频率移动(伽玛射线是一种高能电磁辐射)。从1976年起．超稳定即精确度为一千万亿分之—的钟被放到了高空飞机上，那里的引力比地面上减弱的程度应当可以测量出来。这种飞行的电磁钟与在地面实验室里同样的钟作了比较。二者的速率确有差别，而且与广义相对论预言的结果完全一致。如果一个巨大的物体正好位于地球与恒星之间，那么来自恒星的光线就会受到时空弯曲的影响，它的传播路径就会被扭曲而偏离一定的角度。这种效应还会形成一种有趣的引力透镜现象，它使远处的恒星变得更亮，有时还会形成双像。广义相对论频移的物理机制，爱因斯坦做出的解释是：“一个原子吸收或发出的光的频率与该原子所处在的引力场的势有关”；而霍金的解释是“当光从地球引力场往上走，它失去能量，因而其频率下降”。笔者认为——广义相对论频移的本质是时空平权的反映，因为时空弯曲相当于距离的增加，等价于时间的延缓。
（二）行星的进动问题
对地球和其它行星公转轨道的不同描述，不仅仅是一个天文观测值精确不精确的问题，而是在天体运动的力学性质上正确不正确的问题，即关系到分支学科的研究方向，也关系到宇宙观会不会出现又一次根本变革的问题。广义相对论中的短程线方程是 ，式中  是 4维速度 ， 是 4维加速度 .
这个式子的数学意义是 , 4维加速度是 4维速度的二次函数 . 可见Einstein在解决引力传递问题时巧妙应用了  这－基本物理事实而得到广义相对论 、 、 。
水星进动指水星近日点在其绕日公转轨道上的移动。纽康曾认为，这是由于牛顿万有引力定律 中的n不是整数2，而是一个略大于2的数造成的，也就是水星进动是万有引力减小引起的。纽康在对四颗内行星的研究后得出，n = 2 + 1.574×10-7，但当用这一结论来研究月球的运动时，却出现了矛盾，以致无法解释水星的进动。1916年Einstein提出广义相对论后，水星进动的问题已解决了。法国勒韦里耶于1859年，牛柯姆[NEWCOMB]于1895年发现水星近日点绕太阳进动速度和牛顿力学的估计每年差+43秒。即是说，在Einstein提出其广义相对论前半世纪，已观察到这一事实。Einstein这样解释：“这个效应是由v/c不为零，或者说，是由于v2/c2不为零造成的。什么量会与v2/c2成正比呢？一种合理的可能性是水星每转一圈超前的角度，或超前的角度被2л除。假定轨道是以半长轴为半径的圆，那未利用周期我们得出
2лa 2л×0.39×1.5
  v = =
×1013 ≈4.8×106厘米/秒
周期 7.6×106
v/c≈1.6×10-4,
v2/c2≈2.6×10-8=δθ/2л
δθ(度)≈360χ2.6χ10-8≈9χ10-6
δθ≈3χ10-8弧秒/每圈
常用的数字是每世纪的秒数。既然周期为0.24年，那未可以料想这效应的数量级为：
δθ（每世纪）=100×(3×10-2)/0.24≈13″
实验值为42.9″,广义相对论的预言是43.0″”。
对于金星：V=3.5x104(m/s),a=1.082x1011(m)，t=100年实际观测结果为：ΔΦ= 8.4"；“Einstein广义相对论”的理论值为8.64"。
对于地球：V=2.98x104(m/s),a=1.5x1011(m)，t=100年实际观测结果为：ΔΦ= 5"；“Einstein广义相对论”的理论值为3.84"
（三）空间弯曲问题
空间探测器的出现使得测量太阳引力场更显著一些的时间弹性效应成为可能。用雷达发射器向位于太阳另一侧的一个空间探测器发出一个无线电讯号，讯号被探测器反射并返回地球．全程的时间在地球上记量．被太阳引力变曲的几何使得这个时间与讯号在平坦真空中传播的时间不同。这个实验是在1971年用水手号探测器进行的，它再次证实了时间延迟效应。1968年沙皮罗设计的广义相对论的第四个验证“雷达波传播中的时间延迟”取得成功。它证实广义相对论的预言是正确的。这个预言是说，由于光线在引力场中一般沿曲线传播，与无引力场时相比，其传播时间要变慢。所有这些广义相对论实验都只涉及太阳系的引力场，而这个场是处处都很弱的，也是定常态的(即不随时间变化)。这个繁荣的实验引力时代激发了理论家们的想象，许多引力理论被提出来与Einstein理论竞争。那些理论大多含有一些附加参量，可以由发明者随意调节。这类理论中最著名的一个是由德国物理学家帕索·约丹和法国物理学家叶维·台里提出，后来由美国物理学家卡尔·布兰斯和罗伯特·迪克所发展的(迪克本人对实验引力的发展有着卓越的贡献)。由于附加参量的灵活性，那些理论可以被调节得能说明太阳系里观测到的所有效应。那么，怎么能确定究竟那一个理论是正确的呢?只有通过分析所有这些理论对强的、动态的(即随时间迅速变化)引力场情况所作的预测，才得作出回答。然而在相当长的时期里，自然界并未给我们提供合适的检验场历，直到1974年双脉冲星的发现，情况才有大变。这两个靠得很近且相互绕转的中子星的轨道周期在变短(由于辐射出引力波，双星系统的能量减少)，观测结果与Einstein理论一致，而与所有其他参与竞争的理论都不相符。
有人早已通过测量人造卫星中悬浮陀螺的进动，来验证广义相对论。70年代初，又有人通过测量对遥远行星的雷达回波的方式检验了广义相对论。70年代末，几家大天文台同时报道采用射电天文学的方法测量某些类星体发出的射电信号经过太阳的弯曲程度，大大提高了检验光线偏折的精度，对广义相对论提供了新的实验支持。意大利和美国的两位物理学家最近发现了一对人造地球卫星的“Einstein弯曲效应”。根据Einstein广义相对论的预言，地球会弯曲周围的时间和空间，因此使地球卫星的轨道发生微妙的变化。两位物理学家通过对人造卫星上亿个位点数据的仔细研究，最终发现这种极细微的效应。据意大利莱切大学的库夫里尼(IgnazioCiufolini)和美国航空航天局戈达德航天中心的帕乌里斯(ErricosPavlis)介绍，他们的数据分析有10%的误差，但已足以证实Einstein的地心引力理论(Einstein将地心引力解释为一种时空弯曲效应)。此次实验涉及的两颗卫星(名叫LAGEOS和LAGEOS2)并未装载什么仪器，外形呈球状，表面覆盖许多小的反射镜。利用这些反射镜对激光束的反射能够非常精准地测定卫星的位点数据。两位物理学家在《自然》杂志上发表了相关文章，他们还表示，希望应用新的“重力探测B”卫星可将误差减少到1%左右。这种卫星通过装载的陀螺仪来探测时空弯曲效应。近几年来，由于空间探测技术的发展，使人们对广义相对论的验证又取得了新的进展。1997年 11月初，在美国天文学会于科罗拉多洲埃斯特帕克举行的会议上，科学家们宣布，他们所发现的证据证实了Einstein广义相对论作出的一个奇妙的预言。两个天文学家小组观测到这样的显示信号，即致密天体，例如中子星，由于它们的自转能吸引附近的空间与时间围绕它们一同转动。这种现象被称作“框架拖曳”。加州理工学院天体物理学家基普·索恩说，这是对Einstein思想的一个极其重要的检验。除了对引力波的直接探测外，框架拖曳也许是最重要的一种效应了。Einstein曾表明，任何一个自转着的天体，由于它的转动，都会拖曳空间与时间。不过，效应是如此微弱，以致仅当空间与时间能靠近一个具有强大引力场的天体，例如中子星或黑洞时，它才能被观测到。当有一颗恒星围绕这样的致密天体运行时，天体的强大引力可以将物质从恒星上吸引出来，并使物质形成一个以天体为中心的不断扩展着的圆盘。当圆盘上的物质不断地向着天体增加时，物质会变热井辐射出X射线。如果撇开广义相对论，你可以预言，以致密天体为中心向外看，则圆盘在所有方向均会保持相同的形状，但是框架拖曳改变了这一情景，它导致圆盘上物质运行的轨道围绕着天体的自转轴并以轴为中心发生脉动。
由马萨诸塞理工学院崔伟领导的小组通过观测若干围绕某些可能的黑洞旋转着的圆盘的运动情况而寻找到这一效应。由意大利罗马天文台路易吉·斯特拉领导的另一小组通过对15颗中子星的观测，也取得了相同的结果。两个小组均利用美国航空与航天局发射的罗西X射线同步辐射卫星对圆盘辐射出的X射线强度作了测量。两个小组的观测表明，圆盘辐射出的X射线亮度的变化以某种方式暗示，每个圆盘确实在脉动着。“你可以看到X射线辐射区域面积的变化”，崔说“脉动程度与预言相一致。这里有着某种效应，它对我们产生了极大的刺激”，斯坦福大学物理学家引力探测B计划——通过放置在轨道上的陀螺仪，卫星将能探测到拖曳效应——实施者弗朗西斯·埃弗特说。“不过，上述两个小组的观测，还没有得到定量的结果”，他说，埃弗特希望引力探测B计划能够揭示效应的强度。科罗拉多大学米奇·别格斯利曼认为，进一步的观测是必要的。“要使明智的学者们毫不怀疑地相信它是困难的，这里要求对准圆盘或它转动时发出的闪光”，他说，“不过，如果效应得到确认，那么，它将是一个极其重要的发现。”
40年前，20世纪另一位大物理学家理查德·费曼在一个演讲中谈到物理学原理的本质时曾说：“在自然现象之间存在着旋律和图样，但普通人的眼睛往往对这些旋律和图样视而不见，只有分析家才能看到。被我们称为‘物理学原理’的正是这些旋律和图样。”他补充道，这些理论从来不是完美无缺的，“始终存在一条神秘的边界，始终会有一个地方需要我们做一些看似徒劳的思考”。在Einstein对重力理论作“无谓”的思考之前，时空弯曲的概念一直隐藏在那神秘的疆域之中。物理学原理其实与虚构的神话有相通之处，只是它们能反映世界深藏的真相。在牛顿的机械力学世界观中，“力”的概念就是这部神话中最大的虚构。而在今天，“力的概念已经从我们物理学基本理论的大多数公式中消失了”，2004年诺贝尔奖得主、马萨诸塞理工学院的物理学家维尔泽克在《当代物理学》中写道。Einstein的相对论将重力理解为一种时空的几何学现象，其中不需要作用力概念。不过，力的概念在21世纪并未消亡，其实活得很好。维尔泽克博士解释说，在处理应用物理学问题时，如果取消作用力概念，做起来过于复杂了。力的概念尽管含义模糊，仅适用于近似处理有限尺度内的物理现象(不适用于微观尺度和大尺度的宏观世界)，但在实际生活中，它已经足够了。“力的概念仍被沿用的另一主要原因，无疑是人们思想上的惯性。”维尔泽克补充道。
[路透社华盛顿2004年10月21日电] Einstein又一次被证明是正确的。美国航天局今天说，由各国科学家和大学研究人员组成的研究小组首次发现了地球自转时拖曳周围时空的直接证据。美国航天局说，这一发现首次直接测出并证明Einstein广义相对论的一个重要方面——一个旋转的天体能使组成三维空间以及第四维时间的“结构”发生偏转和扭曲。美国航天局物理学家迈克尔·萨拉蒙说：“地球在旋传时确实在拖曳时空。离地球越近，扭曲的幅度就越大。”“时空的这种扭曲，也称框架拖曳，以前从未直接观测到过。”“这是首次找到真实、有力和直接的证据，说明旋转天体能拖曳时空。”美国航天局的佩里科斯·帕夫利斯等人在观察了绕地球旋转的两颗卫星后发现，它们的确随着地球拖曳空间发生了偏转。帕夫利斯说：“我们以毫米的精确度测量了地球与卫星之间的距离。”他们的研究结果刊登在《自然》杂志上。两颗激光地动卫星LAGEOS Ⅰ和LAGEOSⅡ的外部都覆盖有反射罩，这样就比较容易从地面进行跟踪和测量。它们的蝶形轨道是为了模仿旋转回转仪的运动。Einstein的理论认为，附近一个喜旋转的天体——比如地球——会拖曳空间，使得回转仪轻微偏离轴线。帕夫利斯说，还没有证据证明没有其他力作用于卫星，不过这种情况的可能性不大。他说：“那必须是一种灵巧的、恰好与广义相对论相似的力。”“我们已经排除了已知的所有的力——如潮汐等等，还有引力模型的误差。” 帕夫利斯将这种作用比喻成在蜜罐子里搅动的勺子。“与其类似，当地球旋转时，它会拖动周围的时空，这就会改变绕地运行的卫星轨道。” 萨拉蒙说，以前也有过框架拖曳的间接证据，但这是首次直接测量的结果。今年四月，美国航天局发射了携带有4个回转仪的“引力探测器B”。科学家说，等明年它的探测结果出来后，就能用更高的精确度证明Einstein的理论。
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美国科学家10月21日表示，稍稍脱离轨道的卫星显示，地球自转时的确在扭曲时空构造。他们称，这是首次直接测量到并证实了Einstein广义相对论的一个重要层面-旋转天体会使由三维(度)空间和四维时间构成的时空结构产生扭曲。图为奋进号太空梭2002年6月15日在地球上空飞行的资料照。
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2、经过45年酝酿和开发，耗资7．5亿美元的美国“引力探测器Ｂ”卫星，2005年20日下午从加利福尼亚州范登堡空军基地成功升空，这项美国宇航局历史上耗时最长的探测计划的使命，是以前所未有的精度对Einstein 1916年提出的广义相对论进行验证。“引力探测器Ｂ”将对广义相对论的两项重要预测“短程线效应”和“惯性系拖曳效应”进行验证，主要采用4个超高精度的回转仪，来测量地球自身质量以及自转给回转仪所处时空造成的弯曲和扭曲效应。卫星将主要在距离地球约640公里的极地轨道上运转，其探测预计将持续一年半左右。在探测开始时，4个回转仪自转轴和卫星上的一台望远镜的方向同时对准一颗遥远恒星。按照理论假设，随着时间推移，回转仪自转轴会因地球的“短程线效应”和“惯性系拖曳效应”而分别发生偏移。通过测量偏移情况，就可以“看到”地球对其周围时空到底产生了什么样的影响。这种影响将是非常细微的。科学家们说，回转仪自转轴偏转的角度之小，就好比是从400米之外去看人的一根头发丝。
3、很多科学家认为除了速度可以影响时间进程之外，重力也会放慢时间前进的脚步，计算表明地球的重力每300年可以让钟表慢1微秒，这一点已在实验中得到验证。1971年美国的学者曾做过一个实验，在环球飞行的飞机上放了4个与地面校对好且精度极高的原子钟，虽然飞机的速度无法与光的速度相比，但实验结束时,人们还是惊奇地发现飞机上的钟比地面慢了59纳秒。1976年美国物理学家罗伯特-维索特向太空中发射了一枚载有时钟的火箭，他观察到这个时钟与放置在地球上同样的时钟相比，多获得了1/10微秒。全球定位系统——GPS的应用也已普及化了，许多城市的公共汽车、出租车上都安装了它。早期的GPS接收器确定物体位置的误差是在15米范围内，这个误差实际是需要爱因斯坦相对论来修正。每个GPS卫星载原子钟每天要比地球上的钟慢7微秒。卫星所受的较弱引力添加了另一种相对论效应，使得时钟每天快45微秒。因此，为了得到准确的GPS数据，将星载时钟每天拨回38微秒的修正项必须计算在内。因为广域增强系统依赖从地面基站发出的额外信号，配备了该系统的GPS接收器，就消除了相对性误差。根据爱因斯坦的相对论，原子钟在强重力下比在弱重力下摇摆频率更慢，由于国际空间站上的重力比地球表面的弱，PARCS原子钟每过10000年，就会比地球上的原子钟延长1秒钟。
（四）牛顿引力场中的自由落体运动定律与广义相对论的一致性分析
以下是古新妙先生的研究结果：
1. 牛顿引力场中的自由落体运动定律
考虑一个质量为 的小质量质点在另一个质量为 的大质量质点所产生的牛顿引力场中的运动，我们知道，质量为的质点所产生的牛顿引力场是中心对称引力场，其引力势为 ,其中 代表引力常数： 。
质量为的质点在牛顿引力场中的运动特性由拉格朗日函数 来描写，它在球坐标中的形式为
 .由于牛顿场是辏力场，所以质点在牛顿场中的运动轨道是平面曲线，不妨假定质点在平面 上运动。此时 .由于拉格朗日函数 不显含时间 ，所以我们有能量积分： （常数） （1-1）,决定质点运动规律的拉格朗日方程为 ,  ,这方程组有角动量积分  （常数） （1-2）
现在，我们只考虑自由落体的运动，此时 常数， 。代入能量积分（1-1）中，得
假定当 时， ，那么
由此得
由于速度方向指向场的中心，所以
所以
所以
 （1-3）
为了把它积分成有限形式，作欧拉代换： ，则
 ，  ，  ，  。
因此有
所以
因为
所以
于是得到
回到原来的变量，得
假定当时， 时，则 ，所以
 （ ）
（1-4）
这就是牛顿引力场中自由落体的运动定律。它表示从距离场中心 时下落到距离场中心 时所需的时间。如果令 ，则
 （ ）
（1-5）
它表示从距离场中心处下落距离 所需的时间。若 甚小，则有 以及 ，从而
于是
令
则得
 （1-6）
这就是自由落体的伽利略公式。它只是一个近似公式。（1-4）或（1-5）才是精确的公式。
2. 许瓦兹希德场中的自由落体运动定律
考虑一个质量为的小质量质点在另一个质量为的大质量质点所产生的许瓦兹希德场中的运动，许瓦兹希德场在球坐标中的微分度量二次形式应为
其中
描写质点在许瓦兹希德场中运动特性的拉格朗日函数在球坐标中的形式为
因为质点的运动轨道是平面曲线，不妨假定质点在平面θ=π/ 2上运动，所以
根据拉格朗日函数，求出广义冲量：
广义力是：
体系的能量是：
由于拉格朗日函数不显含时间，所以我们还有能量积分：
 （常数）
（2-1）
即
 （2-2）
决定质点运动规律的拉格朗日方程为
这方程组有角动量积分：
 （2-3）
若 ，则 ，从而常数，此时，质点的运动轨道为直线。由（2-2），得
所以
即
 （2-4）
由于速度方向指向场的中心，所以
所以
假定当时，，且，那么自由落体的初始能量 由（2-4）知道：
因此
 （2-5）
最后化成如下形式：
 （2-6）
为了把它积分成有限形式，作欧拉置换：，则
， ， ， 。
因此有
令
则得
为了把被积分的有理分式分解成简分式之和，我们假定
则
所以
即
比较两边系数，得
 ， ， 。
所以
现在考虑这等式右边各项的积分，首先
其次
令
则
因为
所以
所以
所以
所以
由于
， ， ， 。
所以
因为假定当时，，所以，最后得
 （2-7）
这就是许瓦兹希德场中自由落体的运动定律。它表示从距离场中心下落到距离场中心时所需的时间。如果令，则
 （2-8）
它表示从距离场中心处下落距离所需的时间。
3. 计算实例
让我们在地球引力场中来做一些实例计算。因为地球质量 克，引力常数，光速 厘米/秒。所以 ，  ， 。
[例1] 假定一个物体从距离地球中心三十万公里的高空处自由落下，忽略与大气层的磨擦，求下落到地球表面时所需的时间。
[解] 这里 （厘米）， （厘米）。利用（1-4）式来计算的结果是：
 （秒）；用（2-7）式来计算的结果是：
 （秒）。
[例2] 假定一个物体从距离地球中心6371公里处自由落下，忽略与大气层的磨擦，求下落1000厘米所需的时间。
[解] 这里 （厘米）， （厘米）。利用（1-5）式来计算的结果是：
 （秒）；用（2-8）式计算结果是：
 （秒）。
参考文献：
【1】Einstein、英费尔德,1962，物理学的进化（中译本）, 上海科学技术出版社。110页
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