李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

三、万有引力定律的推导

摘要: 文章引用了李绍明先生关于引力场的数学特征的描述和罗平安教授运用中微子理论推导万有引力定律的过程，进一步验证了引力场有中微子构成的理论，笔者利用万有引力定律推导出了引力场中的高斯定理，说明了前面理论的正确。

关键词：高斯定理、中微子、万有引力定律、罗平安、引力场

(一)引力场的数学特征

牛顿：我不是从物理上而是从数学上把力分为吸引力和排斥力的。

牛顿：我用“吸引”这个字眼，不过是想一般地用它来表示任何一种使物体彼此趋近的力，而不管其原因何在。

牛顿：当我说到吸引中心时，不要以为我是在想把真正的具有物理意义的力，归诸只是些数学的点的某些中心。

牛顿：我所说的“吸引”可以通过冲击或其他我所不知道的方式来实现。

牛顿：不依靠任何一种东西的中间参预，而可以穿过空间，超越距离地把作用和力，从一个物体传递到另一物休，这样一种说法，对我来说尤其荒谬。我相信，凡在哲学方面有思考才能的人，决不会陷入这种谬论之中。

1.引力场是客观存在的物理学事实、具有连续的数学特征。虽然引力场不能被描述为具体的客观物质对象，但是我们可以给出一个密度函数来描述引力场的性质，在空间中不同地方引力场可以通过不同的密度函数表征出来。

定义1：假设在给定的空间区域，引力场不随时间变化，则我们可以引入一个变量Ф，将引力场在该空间区域的密度描述为：Ф（X，Y，Z）。其中Ф表述了引力场在该空间的引力场密度，也描述了空间该点的势能密度，两者描述的角度不一样，实质上是等效的。

定义2：假设在给定的空间区域，引力场不随时间变化，则我们可以引入一个变量T，将引力场在该空间区域的能量张量描述为：T（X，Y，Z）。能量张量T属于力的范畴，是一个矢量。其大小与空间该点的引力场密度函数Ф（X，Y，Z）成正比。需要说明的是，能量张量T与传统的力的性质是不一样，这类力平时由于对称的缘故，并不表现出来，而且对于给定空间的任意一点，这样势能张量有无穷多个。

定义3：假设在给定的空间区域，引力场不随时间变化，并且空间该点以恒定的速度V运动（这个速度是广义的速度，对于该点虚拟的基元可以做直线或者曲线运动），则我们可以引入一个变量Ж,将该点的物理状态表述为Ж（Q，V），其中Q为广义坐标，V为广义速度。

定义4：假设在给定的空间区域，引力场不随时间变化，并且空间该点以恒定的速度V运动，则我们乐意定义一个广义的动量A来表征该点的物理状态。与传统的理论物理学中动量不同的是，对于一个基元而言，传统理论物理学中的方向只能有一个，对于变量A来说，对于空间一点来说，他的方向可能有无穷多个。

在上述4个基本定义的基础上，将4个基本变量与我们现代物理学中所使用基本变量的对应关系以及他们之间的关系做一个简单的说明：

变量Ф的物理意义：

其一：变量Ф类似于现代物理学势能的定义，但是也不尽相同，变量Ф是空间的函数，对与给定的空间任意一点他在各个方向的变化可能是不一样的。而传统的势能仅仅是一个标量，并且也不具有什么物理意义。

其次：对于一个具有几何对称性质构成的物体，其惯性质量M和Ф通过下面的数学方程相互关联：

∮Ф（X，Y，Z）=MC²

只有将待考察的对象浓缩为一个质点时，Ф（X，Y，Z）与惯性质量M等效。其他的情形我们一般可以 认为两者成正比，也就是说惯性质量不考虑其大小、形状等等因素，他描述的物质对象的整体性质。当用Ф（X，Y，Z）来表述客观物质对象时，他不仅可以描述客观物质对象的整体性质，也可以描述客观物质对象的局部性质。C为光速。

变量T的物理意义：

变量T其本质就是一个能量张量，这个能量张量的大小与该点的引力场密度函数Ф（X，Y，Z）成正比。与Ф（X，Y，Z）函数一样，对于空间该点，我们可以理解Ф（X，Y，Z）是由无穷多个T矢量变量叠加而成。一般的情形下由于满足局域对称，T函数并不表现出来。比如说一个平静的液体内部存在有能量张量，这个张量的大小与液体的质量密度成正比。

变量Ж的物理意义：

变量Ж类似于现代物理学中动能的慨念。但是变量Ж具有更加广义的意义。通常我们指某一个系统的动能，这个系统的动能的方向只有一个，但是对于变量Ж描述的对象其运动方向可能有多个，或者无穷多个。对于多个或者无穷多个运动方向的空间该点的物理状态，我们要考虑变量Ж的叠加问题。

举一个例子：比如一个绕两个轴同时旋转的球体上的任意一点，其状态函数就有必要考虑变量Ж叠加问题。

变量A的物理意义：

变量A的物理意义。类似于传统物理学中动量的慨念。与变量Ж一样，我们需要考虑他在空间某一点的叠加问题。

变量Ф、T、Ж以及A之间的关系：

上述四个变量与现代物理学基本量的对应关系：

Ф----------------------势能、惯性质量

T----------------------无对应

Ж----------------------动能

A-----------------------动量

1：变量Ф与变量T成正比

2：变量Ж与Ф关系如下：Ж=ФV²/C²（不考虑该点虚拟基元的多方向运动）

3：变量A与Ф的关系如下：A=ФV/C²（不考虑该点虚拟基元的多方向运动）

以上的1，2，3是建立在对空间某一点的描述之上，如果该点有大小，则上面三式未必成立。

在上述4个基本定义的基础上，我们就可以对客观物质对象作出完备地描述。

比如万有引力场可以表述为：E=〆Ф/〆R

其中R为矢径（理想的球对称的万有引力场）

真空表述为：Ф=常数

静电场表述为：E=〆Ж/〆R

还有许多稳定的不含时的物理现象的细节都可以通过上述4个变量表述出来。

2.局域对称和整体对称原理

局域对称：考虑一个物理对象或者系统中空间的任意一点，如果满足下述方程，则这个物理对象或者系统所在的空间满足局域对称：

∑TIJK（X，Y，Z）+∑AIJK（X，Y，Z）=0

上式对空间某一点的T或者A值积分。

整体对称：考虑一个系统中空间的全部点，给定空间的取值区间为Я（X，Y，Z），Я（X，Y，Z）的取值空间一般满足几何上对称。如果下述方程成立，则该物理对象或者系统满足整体对称。

∑TIJK（X，Y，Z）+∑AIJK（X，Y，Z）=0

上式对给定空间的所有点T或者A值积分。

推论1：如果一个系统是稳定且不含时的，则该系统所处的空间的任意一点必满足局域对称，该系统的全部空间必满足整体对称；反之，该系统所处的空间任意一点满足局域对称，该系统所处的全部空间满足整体对称，则该系统必然是稳定的且不含时。

>说明：上述说法成立的前提是绝对温度为零，既整个系统不存在热交换，实质上我们通常所遇到的所有系统是不可能满足这个条件的，在这里我想强调的是，即使是系统存在热交换或者其他形式的量子现象等等，那也是在这个“稳定的不含时的系统的背景下”发生的，如果没有这个稳定的“背景”。系统将瓦解。}

推论2：如果系统满足局域对称和整体对称，则对于满足该局域对称或者整体对称条件的区域（这样的区域一般在几何上是对称的，如圆、椭圆等等）该系统必然满足下述方程：

∑▽Ф+∑▽Ж=0

其中▽Ф是万有引力场的作用量，实质就是万有引力场强；▽Ж是电场的作用量，实质上就是电场场强。并且对于满足局域对称和整体对称的系统，不存在磁场（原因在我的《电场的数学模型》文章中有说明）。

推论3：在满足局域对称和整体对称的空间区域，有一类非常特殊的空间，在这样的空间中函数Ф值为常数；函数Ж值为常矢量。很明显，这样的空间对应我们通常所说的各向同性的均匀的真空和介质，其中函数Ф值为常数的空间对应相对于参考系静止的空间；函数Ж值为常矢量的空间对应于相对于参考系做匀速运动的空间。并且函数Ф值决定了电磁波在其中传播的速度。我们通常所说的光速不变与函数Ф值不变相对应。

推论4：由推论3可知，在自然界不存在一无所有的空间，我们通常所理解的真空是客观存在的物理实体。其本质是由引力场构成。基于以上原因，我们对惯性系的定义就需要重新考虑。惯性系本身是具体的客观存在的实体。在新的惯性系的定义中，我们要考虑两个因素。一个惯性系本身的Ф值，一个惯性系的广义速度（相对于我们所选择的参考系的速度）。而且这样的惯性系不仅仅存在于我们通常所知道的真空之中，同时也存在于场和物质的空间之中。既可以是做直线运动，也可以做曲线运动。

3.理想的球对称的万有引力场：我们知道万有引力场的场强是空间的函数，也就是说万有引力场是不含时的系统。由此我们推断描述万有引力场的函数Ф值是不含时的，又因为万有引力场是没有旋转的，所以我们可以不考虑函数Ж值的变化。

根据局域对称和整体对称原理，对于万有引力场空间的任意一点有：

∑TIJK（X，Y，Z）=0

采用球坐标来描述上式可以改写为：

∑TRθΨ（R，θ，Ψ）=0

据万有引力场是由一系列的等势能面构成，所以对于给定的R0在等势面上有：

TR0θΨ（R，θ，Ψ）=常数

在万有引力场的径向，有如下的关系：

4∏R²TRθΨ（R，θ，Ψ）外= TRθΨ（R，θ，Ψ）内

由于函数Ф值与能量张量T成正比，则函数Ф值也有如下的关系：

4∏R²ФRθΨ（R，θ，Ψ）外= ФRθΨ（R，θ，Ψ）内

由上式我们立即可以得到如下的关系：

〆Ф/〆R=K/R² 1

将上式与万有引力定律比较，我们可以得到如下的关系：

K=GM/4∏

其中G是万有引力常数，M是引力质量。

与牛顿的万有引力定律比较，我们只需要选择合适的Ф值的物理量单位，就可以将1式与万有引力定律统一起来。

（二）罗平安教授的推导

基本假设：

1.万有引力的场量子（即中微子），在各个方面的发射几率相同，或者对一个包含大量中微子发射母体来说，向多个方向发射的几率相同。

2.中微子对物体传递的总作用力与该物体吸收到的总通量近似成正比。

3.每个中微子对物质作用力的贡献近似相同。

4.处于平衡位置的物质，由于中微子的作用而引起的内部结构的变化，可以忽略不计。 5.一个物体发射中微子的几率不受其接收的中微子的影响，只与本身特性有关。

在上述基本假设下，推导二个球状物体的万有引力的作用情况。设研究对象的有关性质如下：

表1 研究对象的性质代表字母

	第一个物体	第二个物体
质量	M	m
密度	ρM	ρm
体积	VM	Vm
半径	RM	Rm

质心间距离（至二球心间距）为r。如图1示：

图1 m和M球体位置示意图

假设质量微分元为dm的物体，发射中微子的通量为：，其中a对指定的dm来说是一个常数。

首先推导单位时间内，M接收到m所发射的中微子数目n_m→M。按图2建立坐标系。

图2 坐标系的建立

在m内任取一微分元dm，设其坐标为（r₂, f, q），M球心坐标（r, 0, 0）。

∵M对dm来说，所张的立体角为

如图3所示:

图3 微分模型中各参数关系

则以为半径的球与M相交所得的球冠

如图4所示:

图4 球冠中各参数关系

又在上述坐标系中，（如图5所示）可求得下式

图5 M和微分模型之间的各参数关系

代入上式，并对V_m积分得

考虑到m对中微子的自吸收及中微子与M发生作用的几率，故引入质量为m的总自吸收系数和质量为M的总吸收系数。

设近似为常数则

由题设得

其中设f为平均一个中微子对M沿质心连线方向所贡献的作用力。（其它方向的分力之合为零）

令

方法一：

在r > >R_M+R_m的条件下，把(2)式按公式

展开

即

即

注意：在上面推导中，为简化书写，引入记号：

和

即

取近似值(不为0的第一项)

（3）代入（1）得

用泰勒展开式

将展开并取前二项得

（6）代入（4）得

方法二：

令

在r > >R_M+R_m的条件下，按公式

展开并取第一个不为0的项，代入（1），同样可解得

把（7）、（8）与相比较得

同理可得

化简得

其中为m的总吸收系数

为M的自吸收系数

由上面推导可知：

经泰勒展开，取不为零的第一项，便得关系式

即：

只要令就得到与牛顿万有引力形式一样的公式。

（三） 引力场中的高斯定理

引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程。用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（¶²/¶x²+¶²/¶y²+¶²/¶z²）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r²由于万有引力定律与Coulomb^,s law本质是一样的，因此引力场中也存在Gauss^， theorem，并且与万有引力定律等价。

1、预备知识

引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致。

引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线。

引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS。

引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在。一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线。

引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS`=ΔScosθ的乘积。

2、引力场中的Gauss^， theorem

通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关。

证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm。

以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r²,场强的方向沿半径向外呈辐射状。在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r²dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r²×4πr²=4πGm。

（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm

在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S``，根据（1）通过此球面的引力通量等于4πGm。由于引力场分布的球对称性，这引力通量均匀地分布在4π球面度的立体角内，因此在每个元立体角dΩ内的引力通量是GmdΩ。如果把这个立体角的锥面延长，使它在闭合面S上截出一个面元dS。设dS到质点m的距离为r，dS的法线n与场强E的夹角为θ，则通过dS的引力通量dφ=EcosθdS=Gm/r<sup>2</sup>cosθdS, cosθdS= dS`是dS在垂直于场强方向的投影面积，所以dφ=EdS`= G m /r<sup>2</sup>dS`= GmdΩ。所以通过面元dS的引力通量和通过球面S``上与dS对应的面元dS``的引力通量相等，所以通过整个闭合面S的引力通量都必定和通过球面S``的引力通量一样，等于4πGm。

（3）通过不包括质点的任意闭合面S的引力通量恒为0。

因为单个质点产生的引力线是辐向的直线，它们在空间连续不断。当质点在闭合面S之外时，从某个面元dS上进入闭合面的引力线必然从另外一个面元dS`上穿出，而这一对面元dS和dS`对质点所张的立体角相等，通过dS的引力通量和通出dS`的引力通量的代数和为0，通过整个闭合面S的引力通量是通过这样一对对面元的引力通量之和，当然也是等于0的。

（4）多个质点的引力通量等于它们单独存在时的引力通量的代数和。

设物体有m₁.m₂.m₃…m_k个质点，其中第1到第n个被高斯面S所包围，第n+1到第k个在高斯面之外，则k个质点同时存在时通过S的引力通量为φ=φ₁+φ₂+φ₃+…+φ_n+φ_n+1+…+φ_k=φ₁+φ₂+φ₃+…+φ_n=4πG(m₁+ m₂+…+ m_n)= 4πG∑m. 证毕。

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