李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

三、Lorentz transformation 的推导

1、“Lorentz transformation”的推导方法1——相对论推导

洛仑兹变换反映的是同一研究对象在不同惯性系中运动规律都有相同数学形式。如图1所示两坐标系的相对取向，该坐标系的x轴永远是重合的。在这个情况下，首先只考虑x轴上发生的事件。任何一个这样的事件，对于坐标系K是由横坐标x和时间t来表示，对于坐标系K′ 则由横坐标x′和时间t′来表示。当给定x和t时，我们要求出x′和t′。

Z′

Z

v

y′

v

K′ x′

y v

K x

图1

沿着正x轴前进的一个光信号按照方程x = ct或x – ct = 0 （1）传播。由于同一光信号必须以速度c相对于K´传播，因此相对于坐标系K′的传播将由类似的公式x′–ct′= 0 （2）表示。满足（1）的那些空时点（事件）必须也满足（2），显然这一点是成立的，主要关系(x′–ct′) = λ (x–ct) （3）一般被满足，其中λ表示一个常数；因为，按照（3），（x-ct）等于零时 (x′-ct′) 就必然也等于零。如果我们对沿着负x轴传播的光线应用完全相同的考虑，我们就得到条件x′+ct′ = u (x+ct) （4）

方程（3）和（4）相加（或相减），并为方便起见引入常数a和b代换常数λ和u，令

a = (λ+u)/2以及 b = (λ–u)/2

我们得到方程

x′ = ax–bct

ct′ = act–bx （5）

因此，若常数a和b为已知，我们就得到我们的问题的解。a和b可由下述讨论确定。

对于K´的原点我们永远有x′=0，因此按照（5）的第一个方程 x = bct/a

如果我们将K′ 的原点相对于K的运动的速度称为v，我们就有v = bc/a （6）

同一量值v可以从方程式（5）得出，只要我们计算K´的另一点相对于K的速度，或者计算K的一点相对于K′的速度（指向负x轴），总之，我们可以指定v为两坐标系的相对速度。

还有，根据“相对性原理”，由K判断的相对于K´保持静止的单位量杆的长度，必须恰好等于由K′判断的相对于K保持静止的单位量杆的长度。为了看一看由K观察x′轴上的诸点是什么样子，我们只需要从K对K′拍个“快照”；这意味着我们必须引入t（K的时间）的一个特别的值，例如t=0。对于这个t的值，我们从（5）的第一个方程就得到x′ = ax.

因此，如果在K′坐标中测量，x′轴上两点相隔的距离为Δx′=1，该两点在我们瞬时快照中相隔的距离就是Δx = 1/a （7）

但是如果从K′（t′=0）拍快照，而且如果我们从方程（5）消去t，考虑到表示式（b），我们得到

x′ = a (1– v²/ c²) x

由此推断，在x轴上相隔距离1（相对于K）的两点，在我们快照上将由距离

Δx′ = a (1– v²/ c²) （7a）

表示。

根据以上所述，这两个快照必须是全等的，因此（7）中的Δx必须等于（7a）中的Δx′，这样我们就得到a² = 1/ (1– v²/ c²) （7b）

方程（6）和（7b）决定常数a和b，在（5）中代入这两个常数的值，就得到了洛仑兹变换的如下基本方程：

x ′= (x–vt) /√(1– v²/ c²)

t′= (t–xv/c²) /√(1–v²/c²) （8）

关于狭义相对论推导Lorentz transformation的过程，如果用纯粹数学来证明，可以简化为以下内容：

条件一、，，其中为常数。

条件二、，，其中、、、均为常数，且，也为常数。

条件三、，。

先求，，，的值。经过简单计算，可以得到

，，，，其中。

再将这四个常数代回条件二，可以得到Lorentz transformation

，，，。

Einstein根据两个基本假设，经过纯数学的演算，不需要添加任何物理学原理，就能推导出Lorentz transformation。继而有相对论时空观：时间、空间随着参照系的改变而改变。因而，只要两个基本假设成立, 相对论的时空观就是正确的。Einstein在研究Lorentz transformation下动量守恒时，提出了相对论质量观：物体的质量随着物体运动状态的改变而改变．也可以说成：物体的质量随着观察者的不同而不同。在相对论之前，经典理论认为质量是物体的固有属性，不随物体运动状态的变化而变化。如今，相对论又把经典理论中的一个不变量——质量，演绎成一个可变量。

狭义相对论在推导光学多普勒效应频率变换式，有关著作给出的一般推导过程中是设

， （11）

又设

， （12）

将式组（12）前一个关系式代入式组（11）前一个关系式中的，得

（13）

将式组（12）后一个关系式和洛仑兹变换中的前三个关系式代入式组（12）后一个关系式中的，得

（14）

狭义相对论认为式（14）与式（13）的各对应项系数应该相等，因此得出

，， （15）

Einstein在1905年《论动体的电动力学》一文中建立狭义相对论时，从Lorentz transformation中推导出了所谓的动钟变慢。我们现在考虑永久放在R系的原点（X=0）上的一个按秒报时的钟（此处的R、r系如上图所示）。T=0和T=1对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒，Lorentz transformation的第一和第四方程给出t=0和t=

从r去判断，该钟以速度u运动；从这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是１秒，而是秒，亦即比１秒钟长一些。该钟因运动比静止时走的慢了。速度C在这里也具有一种不可达到的极限速度的意义。”

必须指出，相对论的动钟变慢效应是相对的，亦即在相对论中如下表述同样成立：

“我们现在考虑永久放在r系的原点（x=0）上的一个按秒报时的钟。t=0和t=1对应于该钟接连两声滴嗒。对于这两次滴嗒，Lorentz transformation的第一和第四方程给出

T=0

T=

从R去判断，该钟以速度u运动；从这个参考物体去判断，该钟两次滴嗒之间所经过的时间不是１秒，而是秒，亦即比１秒钟长一些。该钟因运动比静止时走的慢了。速度C在这里也具有一种不可达到的极限速度的意义。”

2、“Lorentz transformation”的推导方法2

如图所示：假设S`系中的X`轴的正方向的Lo点发生了事件A，此时S`系的时钟读数为t`，求在S系中A事件的坐标。

O———O`——————A———————————
|ut`|Lo|

显然，事件A在S`系的坐标为Xa`=Lo，Ta`=t`

事件A在S系的坐标应该为：Xa=OAs，Ta=t，OAs的长度在S`系发生收缩，因此有：

OAs`=k·OAs……（1）

从图中可以看出：OAs`=OO`s`+O`As`……（2）

在上面的（1）、（2）式中，OAs是OA在S系中的距离，OAs`是OA在S`系中的距离，OO`s`是OO`在S`系中的距离，等于ut`，O`As`是O`A在S`系中的距离，等于Lo，k=根号下（1-uu/uu）。

因此，由式（1）、（2）得：k·OAs=OO`s`+O`As`,OAs=（Lo+ut`）/k……（3）,结合事件A在S`系的坐标为Xa`=Lo，Ta`=t`和在S系的坐标Xa=OAs，式（3）可写为：Xa=（Xa`+ut）/k（这就是X坐标的洛变换式）,从图中还可以看出：OAs=O`As+OO`s……（4）,这里：OAs为OA在S系中的距离，等于Xa；O`As为O`A在S系中的距离，应该等于k·O`As`，即k·Xa`；OO`s为OO`在S系中的距离，等于ut。因此，式（4）可写为：Xa=k·Xa`+ut……（5）,式（5）结合上面已经得到的Xa变换式，可以得到：k·Xa`+ut=（Xa`+ut）/k,从上式中解出t得：t=（t`+uXa`/cc）/k（这就是t坐标的洛变换式）

这也就是说，相对论的动钟变慢效应是相对的，即相对运动的观测者都认为对方的时钟慢于自己的时钟慢。【1】根据Einstein的观点，观察到时间膨胀效应必须有两个先决条件：其一，两个惯性系必须有相对运动；其二，在测量中观察者必须用自己参考系中的无数个钟和另一个与自己有相对运动的惯性系内一个固定的钟相比较，才会发现对方钟走慢了。没有这两个条件根本不可能观察到时间膨胀。在狭义相对论中时间膨胀并不意味着钟“真”的走慢了，时间膨胀是在测量过程中发生的。

3、“Lorentz transformation”的推导方法2

经典的洛伦兹变换指出：我们将求出相对论的变换公式，这些公式恰好是根据那个事件间的间隔不变的要求的。如果我们为了便于以后的叙述利用量τ= ict，那么，正如在§1-2里所看到的二事件间的间隔可以认为是在四度空间内的相对应的两个世界点间的距离。因此我们可以说，所要求的变换，必须是使所有在四度空间x，y，z，τ内的距离不变的变换。但是这些变换仅仅包括坐标系统的平移与旋转。其中，我们对于坐标轴对自己作平行移动并无兴趣，因为这不过是将空间坐标的原点移动一下、并将时间的参考点改变一下而已。所以，所要求的变换，在数学上应当表示为四度坐标系统x，y，z，τ的旋转。四度空间内的一切旋转，可以分解为六个分别在六个平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz内的旋转（正如在三度空间内的一切旋转可以分解为xy，yz，zx三个平面内的旋转一样）。其中，前三个旋转仅仅变换空间坐标，它们和通常的空间旋转相当。我们研究在xτ平面内的旋转，这时y与z坐标是不变的。令ψ为旋转角，那么，新旧坐标的关系就由以下二式决定：

x = x’conψ –τ’sinψ，τ= x’sinψ +τ’conψ （1）

参见下图：

τ

τ’ τ M₂

r X’

τ’ ψ x’

ψ

O x X

洛伦兹变换的示意图

我们现在要找出由一个惯性参考系统K到另一个惯性参考系统K’的变换公式，K’以速度V沿X轴对K作相对运动。在这种情况下，显然只有空间坐标x与时间坐标τ发生变化。所以这个变换必须有(1）式的形式。现在只剩下确定旋转角ψ的问题，而ψ又仅与相对速度V有关。我们来研究参考系统K’的坐标原点在K内的运动。这时，x’ = 0，而公式(1)可写成：

x = –τ’sinψ； τ=τ’conψ。 (2）

相除可得

x/τ= - tanψ (3）

但τ= ict，而 x/t显然是K’ 对K的速度V。因此，

tanψ = iV/c (4)

由之得

sinψ= (iV/c)/(1-V²/c²)^1/2，cosψ=1/(1-V²/c²)^1/2 (5）

代入(2)，得：

x = (x’ - iVτ’)/(1-V²/c²)^1/2，y = y’，z = z’，

τ= (τ’ + iVx’/c)/(1-V²/c²)^1/2 (6）

再将τ= ict，τ’ = ict’代入，最后得

x = (x’ + Vt’)/(1-V²/c²)^1/2，y = y’， z = z’，

t = (t’+ Vx’/c²)/(1-V²/c²)^1/2 (7)

这就是所要求的变换公式。它们被称为洛伦兹变换式，是今后讨论的基础。【11】

4、“Lorentz transformation”的推导方法3---胡昌伟先生利用流体力学的推导

在流体力学中，不可压缩流体的具势运动，速度势φ满足方程:。可压缩流体的具势运动，若流体的速度在互相穿插时可毫不影响（这对真空态的以太应该不成问题），则有方程：

(为该流体中的声速、流速)。对此式作变换：

,该方程就成了不可压缩流体的方程形式：。即是将可压缩的流体变换成不可压缩流体的变换式。

设有二股能满足有关条件的以太流体，以速度作相对运动。在绝对时空观中，它们之间存在着伽利略变换关系：

将中的因相对静止而不变；同理，中的不变。得：

将中的第一式代入中的第一式，可得：

，将代入，得：

。

和合起来就是洛伦兹变换！

上述的推导过程进一步揭示了洛伦兹变换的物理意义，它是把在绝对时空观中可压缩的引力场，转换为四维时空观中的不可压缩的引力场的结果。这里出现了双重时空观：绝对时空观和相对论的四维时空观，这两者是互相独立的，而且，绝对时空观及相应的引力场的可压缩性是基本的，第一性的，反映了事物本来的面目，因此，以此为基础的描述是定性描述；相对论时空观及引力场的不可压缩性（也即密度的均匀性，光速的恒定性），是通过变换后实现的，是第二性的，但事实表明，它反映了现实的量杆、时钟等量方面的变化关系，所以，以此为基础的描述是种定量描述。这两种描述之间是存在着对应关系的。

在宏观世界，引力场应是一种连续性流体，它满足连续性方程：，使该方程对洛伦兹变换协变，可得一组变换式:

在中，若把密度换成质量m，就同相对论中的质量、动量变换式完全一致了。可见，引力场密度与质量有着某种关系。因为质量是实物的属性，无空间广延性，再考虑到质量与万有引力场之间的联系，引力场、引力场、实物三者之间的内在联系就显现出来了：实物是引力场波包的核心；引力势对应引力场密度；引力场强度对应引力场密度梯度；质量对应引力场密度的变化量。另外，声学中的公式（为流体压力变化量，为流体密度变化量，为声速）与质能公式在形式上的一致性，意味着引力场的压力变化量对应实物的能量。运动物体质量（能量）的增加，就是由于它在可压缩的引力场中运动时，它自身的引力场密度（压力）的变化量比静止时有所增加的缘故。

狭义相对论显示，量杆和时钟会随着运动速度的变化而变化；广义相对论进一步指出，量杆和时钟会随着引力场的不同而不同。而运动速度的变化和引力场的变化都会引起引力场密度的变化，因此，量杆和时钟其实都是随着引力场密度在变化。情况是这样的：设有A、B二点，在绝对时空观看来，A点的引力场密度比B点的大，如果A点的引力场粒子（构成引力场的“分子”）的间距是a，B点的为b，a＜b。但在相对论时空观看来，A、B二点的引力场粒子间距是一致的，只是A点的量杆较B点短，即量杆的长短同引力场粒子的间距成正比；同样，一秒钟的时间，是光通过常数d个引力场粒子间距的时间间隔，因为ad＜bd，所以A点的时钟比B点的走得慢。可见，引力场对量杆和时钟的作用造就了相对论时空观。在相对论时空观中，引力场成了处处均匀，各向一致的，决定量杆长短、时钟快慢的“时空物质”。由于定量的单位时间和单位长度都同引力场粒子的间距相关，引力场就变成了时间和空间交织在一起的四维时空连续体。但这样也就显示不了引力场作为一种特殊流体的物的逻辑，因此，现代定量的物理学对真空总是难以捉摸。

Einstein指出：传统的时间概念只能在简单的条件下才能确定，当多种因素暂时联系起来的时候，传统的计时方法就失去作用。全球定位卫星发出的信号，由于处在不同的参照系上，时空无法和地面同步，只有根据卫星和地面的原子钟不断调整时间，才能保证定位系统的精确。光纤通讯也要依赖相对论的帮助。多普勒频率移动效应—— 例如Ives Stilwell所作的氢离子极隧射线实验【2】、Olin 等人【3】利用运动原子核发射 射线的实验。Pound 和 Rebka 利用穆斯堡尔效应所作的实验【4】【5】 Hay【6】、Champeney 和 Moon【7】Kündig【8】 以及其它一些工作【9】【10】 等都证实了横向多普勒效应的存在。而这种横向多普勒效应则被认为是时间膨胀的结果。

5、Part A. Lorentz时空中Lorentz transformation的推导方法

光速独立性导致时间空间不独立，以后以时空这词表示。设两个惯性系K，K'。K中坐标X=(x₁，x₂，x₃，x₄)(x₄=ict)，K'坐标X'=(x₁'，x₂'，x₃'，x₄')(x₄'=ict')。 i=Sqrt(-1)，为方便引进的。 K'在K中速度为v。设t=0两坐标系原点重合，并且这时位于原点有一点光源发光。由光速独立原理，我们在两个坐标系中都将观察到一个球面波的传播。其波前以光速c沿径向传播。传播距离平方R²=(ct)²=x₁²+x₂²+x₃² in K and R'²=(ct')²=x₁'²+x₂'²+x₃'² in K’。所以有：x₁²+x₂²+x₃² -c²t²=0 ，x₁'²+x₂'²+x₃'²-c²t'²=0　，这样就知道：x₁²+x₂²+x₃² -c²t²=p(v)•( x₁'²+x₂'²+x₃'²-c²t'²) ，其中p(v)≥0是一个可能和速度有关的量，表示由于相对运动引起的可能度规变化。但是由于K，K'两系统对称性，我们必然有p²(v) =1 p(v)=1，这样我们就知道K，K'的时空是等度规的。度规相同表示一切几何内蕴量一致。x₁²+x₂²+x₃² -c²t²= x₁'²+x₂'²+x₃'²-c²t'² (1) ，用内积(就是矢量点乘运算)表示就是： ＜X，X＞=＜X'，X'＞　　　　　 (2) 。普遍的相对性原理就是，寻求坐标变换：X=F(X'；v)　 (3)。使度规不变性(2)得以满足。F是一个矢量函数，v是个参数，表示K'系在K系中的速度。我们讨论一下它的性质。由于相对论惯性系等价的假设，变换F必然有唯一的逆变换G：

　　X'=G(X；v)　　(4)，同时这等价性蕴含下述对称性：G(X；v)=F(X，–v)　　(5)，(4)，(5)是很强的条件，它们限制F必然是线性变换，(5)同时也为这线性变换作了更强限制。线性变换可以用矩阵表示X'= X A(v)，X= X'A^-1(v)　　　(6)

A^-1(v)表示依赖于速度的逆矩阵。A(v)是四阶矩阵，有16个元素需要确定。

由下列条件：

　　＜X，X＞=＜X'，X'＞；X'= X A(v)；X= X'A^-1(v)及线性代数运算可以证明，A(v)是列正交，行正交的矩阵，这就有12个方程，所以还差四个参数待定。

再考虑K，K'关系：

For x₁'=x₂'=x₃'=0，X的坐标部分位置是vt。这时三个条件，但是同时带进来矩阵A(v)外的元素t和t'。所以现在这三个条件其实只相当于一个，我们还剩三个元素待定；

For x₁=x₂=x₃=0，X'的坐标部分为-vt'。这有是三个条件。这样我们终于唯一确定了矩阵A(v)。

以上便是Lorentz变换的推导。如果再形式化，并且深刻一些，应该讨论Lorentz群。它是O(3，1)群。

狭义相对论空间描述：设长度为L的物体在相对静态场参考空间（x₀, y₀, z₀）空间以速度运动，起点为A，终点为B朝向A→B，

则相对运动场空间为： x_c = x（x₀₊ ct）; 和x_u =

相对速度场， A点为：=；B点为：=；

则在x轴向上A→B相对运动场空间长度为：（取光的单程计算运动变长）

静态L₀= x_b – x_a = c· t _b –c· t_a=c· (t _b-t_a) 和动态L_u= x_ub – x_ua= (c + u) · (t _b-t_a)

则运动变长为：= L_u – L₀= (c + u) · (t _b-t_a) –c· (t _b-t_a) = u · (t _b-t_a) = u ·△t

狭义坦相对论空间即为：Ω_b –Ω_a =【】

Lorentz transformation就是保持四维伪欧事象空间度量不变的时空坐标变换。而保持四维伪欧事象空间度量不变的洛沦兹变换群本是6阶李群，群中的元素要用6个参数来确定。

下面是陈叔喧教授的分析：对于参照系设在光源上光量子（场质）与场速度一致，但相对光源以速度υ运动的参照系，光量子（场质）运动速度或平动能，甚至变换能不变的。而参照系或场平动能量的量度少了一项坐标相对运动引起的动能mυ²/2，如果变换能hν/2=mc²/2=m(dι/dt)²/2也不变，那么

m(dιˊ/dtˊ)²/2=mc²-hν/2-mυ²/2=mc²-mc²/2-mυ²/2=mc²/2-mυ²/2=mc²(1-υ²/c²)/2=m(dι/dt)²(1-υ²/c²)/2dιˊ/dtˊ=(dι/dt)√(1-υ²/c²)

当dtˊ=dt，dιˊ=dι√(1-υ²/c²)，当dιˊ=dιdtˊ=dt/√(1-υ²/c²)。此关系等效于相对论的时空关系或罗洛兹变换。表明相对论的时空是场的时空，因此所谓物体的长度在运动方向上收缩，是场描述属性引起的特性。

根据相对论认为存在所谓的“静止质量”。理由是，根据洛伦茨变换，在四维空间中的不变量是一系列的。比如，四维时间不变量——就是人们所说的“静止时间”，四维空间不变量——就是人们所说的“静止空间”，四维质量不变量——就是人们所说的“静止质量”，四维动量不变量——就是人们所说的“静止动量”，四维能量不变量——就是人们所说的“静止能量”，四维温度不变量——就是人们所说的“静止温度”，四维作用力不变量——就是人们所说的“静止作用力”，四维功率不变量——就是人们所说的“静止功率”，四维电荷密度不变量——就是人们所说的“静止电荷密度”，四维电流密度不变量——就是人们所说的“静止电力密度”，四维标电势不变量——就是人们所说的“静止标电势”，四维磁矢势不变量——就是人们所说的“静止磁矢势”。四维质量不变量正是电磁质量满足Lorentz transformation的直接结果之一。电磁场空间是线性空间，满足Lorentz transformation是很自然的。而引力场是非线性空间，不满足Lorentz transformation也是很正常的。但我们把引力场在局域内微线性化，就可以找微线性化变换群，二次积分后就可以得到非线性变换群。爱因斯坦没有找到这个微线性化变换群——所以始终没有能够创立出真正意义上的“广义相对论”来。他是一个失败者，但更是一个领航者——因为他第一个最早指出了创立出真正意义上的“广义相对论”正确的方向。Lorentz transformation的前提条件是“间隔平方相等”（参见朗道和栗弗席兹合著的《场论》一书）在20世纪头二、三十年里，正如后来的 >所说，“一旦看到了一些用非相对论形式表示的物理学，人们就能把它修改成适合狭义相对论的。这很像是一种游戏。一有机会我就沉溺于此。有时候这个结果使我感到十分有趣，可能为它写出一篇微不足道的论文。” 【12】1907年，Planck给出了热力学的变分原理，导出了热力学量的Lorentz变换关系。在Planck的理论中，通过逻辑推理和思辨，并照顾到统计力学中的Boltzmann熵公式，指出熵必然是Lorentz标量。

参考文献：

【1】《狭义与广义相对论浅说》，上海科学技术出版社1964.8，31页

【2】 H.E.Ives and C.R.Stilwell,1938,J.Opt.Soc.Am.,28,215;1941,31,369.

【3】 A.Olin et al., 1973,Phys,Rev.D8,1633.

【4】 R.V.Pound and G.A.Rebka,1960,Phys.Hell.,4,274.

【5】 R.V Pound et al., 1961,Phys.Rev.Lett., 7,405.

【6】 H.J.Hay et al., 1960 Phys.Rcv.Lett., 4,165.

【7】 D.C.Champeney and >

【8】 W.Kündig.1963,Phys.Rcv,129,2371.

【9】 D.C.Champeney et al.,1963,Nature,198,1186.

【10】 D.C.Champeney et al.,1965, Proc.Phys.Soc., 85,583.

【11】《场论》，Л.Л.朗道、Е.М.栗弗席兹著，任朗、袁炳南译，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15页

【12】沈惠川，“狄拉克”，载《世界数学家思想方法》（解恩泽，徐本顺主编），山东教育出版社，1993：pp1357-1401

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