李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

四、质能方程的推导

摘要: 本文回顾了质能方程的相对论性推导和非相对论性推导，在此基础上根据space-time平权理论推导出了质能方程，验证了space-time平权理论的正确，为后面对于Lorentz transformation的质疑铺平了道路。

关键词：space-time平权、相对论性 、非相对论性、质能方程

（一）质能方程的发现意义

质能方程是由一位意大利人Delinto De Pretto首先发现，于1903年，发表在一份叫Atte的意大利杂志上。而且，1900年，彭加勒也明确提出电磁场具有质量，电磁场的质量等于其能量除以光速的平方（）。1905年相对论问世前，汤姆孙、考夫曼等早已在质速关系和质能关系的实验与理论研究上作了大量有成效的工作。奥地利物理学家哈孙隆耳1904年通过实验证实了质量增大与辐射能量成正比，并导出了著名的关系E＝mC²。罗瑟道：“质能相当定律（E= mc²）不是意味着，质量有时能够转化成能量，也不是说能量转化为质量，而是说，一种变化伴随着另一种相应的变化，惯性质量与能量彼此成比例。”这里，罗瑟直接把“能量惯性定律”改称为“质能相当定律”。【2】著名的W.Heisenberg对此是这样评论的.“时常有人说,原爆炸的巨大能量是由于质量直接转化为能量,并且只有根据相对论人们才能预计这些能量.然而这是一种误解.原子核中可利用的巨大能量早在Becquerel,Curie以及Rutherford的放射性衰变实验中就已知晓。 …..铀裂变据的能源主要是原子核分裂而成两部分间的静电斥力。原子爆炸的能量直接出自这个来源,而不是由质量转换为能量而得到的，静止质量有限的基本粒子数在爆炸时并未减少”。1907年4月,A.Einstein写下了关于狭义相对论和质能关系的论文:<<关于相对性原理所要求的能量惯性问题>>和<<关于相对性原理由此得出的结论>>,进一步揭示了“同惯性有关的质量m相当于其量的m”, “对于孤立的物理体系,质量守恒定律只有在其能量保持不变的情况下是正确的…”。在历史上两条相互独立的自然规律:能量守恒和质量守恒,由相对论统一起来了。相对论诞生是物理学上的革命性的进步,其导出的质能关系是现代核能理论的基础,同时它蕴涵的哲学思想改变了人们对时空观的认识。Bertozzi在1964年用量热法测量电子的绝大部分动能转化成的铅盘的热能，并由此确定电子的动能的实验——证明了相对论的动能公式。

中国科学院院士何祚庥说：“狭义相对论深化了牛顿所奠定的牛顿力学，深化了牛顿所提出的时空观，从而影响到当代物理学的各个领域。人们公允地认为这是物理学领域里的大突破，亦即由宏观低速运动领域进入到宏观高速领域的突破。这一突破的重要后果之一，是Einstein首先发现了质量能量等价的公式，E＝mc²，并为人类利用原子能指出了方向。”Einstein认为只要用E=mc²公式就可以算出质量或能量的变化，烟感器就是根据这个公式设计出来的。镅241是一种带有放射性的金属，在每一个烟感器中，都有非常微量的镅241。镅241释放出带电的微小粒子束，任何烟雾一旦出现，就会改变微小粒子带电的状态，引发能量变化，启动报警器。1938年，美国核物理学家贝特发表了有关氢通过碳——氮——氧循环而聚变的论文。这篇论文给加州理工学院凯洛格实验室的核物理学家以极大的刺激，因为他们一直在从事这一课题的研究。年轻的福勒从1933年起就在这里研究碳——氮——氧循环中的第一个反应，进行碳核捕获一个氢核形成氮同位素核氮7的实验，还测量了碳核和氮核受质子轰击的作用截面。他们的实验研究定量地给出核反应中释放的能量，提供了检验碳——氮——氧循环可行性的实验依据。在碳——氮——氧循环中首先由碳核和一个质子碰撞，质子打入碳核使之变为氮的同位素N(7,13),它是放射性的，很快放出正电子和中微子形成碳的同位素C(6,13),它和质子反应生成氮核。新的氮核和质子相碰撞形成氧同位素O(8,15),O(8,15)也是放射性的，它放出一个正电子和一个中微子后衰变成氮的同位素N(7,15);最后，N(7,15)和一个质子碰撞形成碳核和氦核。这一系列的反应都是放热反应，因此，只要有足够多的质子，就可以成为稳定的能源。碳——氮——氧循环的结果是4个质子合成一个氦核，同时产生2个正电子、2个中微子和3个光子，释放出25.03兆电子伏特的能量。参与反应的碳元素在核反应前后没有发生任何变化，而氮、氧同位素只是在中间过程中产生又消失。他们认为，只有在1500万开以上的高温条件下，碳——氮——氧循环核反应才能有效地进行。因此，只有在比太阳质量大很多的恒星上，这种核反应才成为提供能源的主要途径，实现由氢到氦的聚变。

（二）质能方程的相对论推导

关于相对论的质能定理的论证过程，我们进行系统性回顾：当外力作用在静止质量为 的自由质点上时，质点每经历位移ds，其动能的增量是 ………… （1）

如果外力与位移同方向，则上式成为 ………… （2）

设外力作用于质点的时间为dt，则质点在外力冲量Fdt作用下，其动量的增量是 ………… （3）

考虑到 ，由上两式相除，即得质点的速度表达式为

亦即 ………… （4）， ………… （5）

把式 平方，得 ，对它微分求出

………… （6）

将（6）代如上式（5）得： ………… （7）。上式说明，当质点的速度v增大时，其质量m和动能 都在增加，质量的增量dm和动能的增量 之间始终保持（7）式（ ）所示的量值上的正比关系。当 时，质量 ，动能 ，据此，将式（7）积分，即得：

………… （8）

………… （9）

上式是相对论中的动能表达式，Einstein在这里引入了经典力学中从未有过的独特见解，他把（ ）叫做物体的静止能量，把 叫做物体的运动能量，我们分别用 和 表示之：

…………（10）

…………（11）

上列式子叫做物体的质能关系式。 【3】

在质能方程的推导过程中只是利用了引力质量的质速关系，并没有利用Lorentz transformation。对于一个物体，外力对它所做的功Fdx，等于该物体能量的改变dE, 即dE=Fdx,而dx=udt，牛顿第二定律推广为：F=d（mu）/dt,所以： dE=Fdx,=F.udt=ud（mu），将速度从0到u对上式求积分，Einstein得到：△E=mc²-m₀c².m₀c²为物体的静止能量，mc²物体的运动能量。物体在任一刻的总能量为：E=mc².在特殊条件下，原子核内发生裂变或聚变，物体的质量出现亏损，以核能的形式释放出来（△E=△mc²）。2003年10月，在西安召开的《相对论及现代物理创新国际会议》上，来自美国的大学教授张超先生，介绍了他的工作，他的主要实验工作就是和其他教授一起探测某些粒子的能量、动量，然后根据相对论的能量动量公式来计算粒子的质量：

是粒子运动时的能量，是粒子静止时的能量，P是粒子运动时的动量。

由于，

所以，

是粒子的静止质量。

张先生等精确测量了粒子的能量、动量，代入公式得到粒子质量的平方是负值。张先生认为粒子有虚质量。

（三）质能方程的非相对论推导

1、Einstein对于质能方程的非相对论性推导

Einstein曾经利用狭义相对论的原理、动量守恒定律、辐射压力的表示式以及光行差的表示式，而没有利用它的形式结构推出质能方程【1】。证明如下：

“比如，我们考虑另外一个思维实验，它可以从下图（图2）中方便地想象出来。它是图1中一个部分的放大。图中A和B还是相对作匀速V运动的两个平台。在它们之间的空间中有一个自由漂浮的物体Q，从平台观察，它是静止的。我们在各个平台上都建立一个Z-坐标框架来规定Q的位置。

（图 1）
（图 2）现在研究，如果两个等同的辐射束R和R¹沿垂直于Z_A轴的直线向着Q运动，并被Q所吸收，这时会发生什么情况？我们可以先从平台A的观点，再从平台B的观点来分析这一过程。我们将始终记住相对论假设——物理定律对各个空间飞行器都是等同的，尤其是动量守恒定律在每组坐标轴上都是有效的。在辐射被吸收以前，相对于X_A-Z_A轴，Q是静止的。自从有了麦克斯韦电磁理论，人们已经认识到能量E的辐射所携带的动量等于E/C，这里C是光速。如果我们赋予每一辐射束R和R¹一份能量为1/2E，则动量为（1/2）E/C，那么被Q吸收的辐射可以设想为：
A轴的相反方向击中Q，所以Q相对于X_A-Z_A轴显然保持静止。

现在我们从平台B的观点来看同样的过程。参照这个平台，平台A上的物体都是沿Z_B轴以与速度V的负方向运动的。

辐射束R和R¹在X_B-Z_B上的运动方向由相近的箭头标出。它相对于X_B轴形成角α。正像上图解所表示的，对于小的角，α=V/C有很好的近似。从前面用平台A上的坐标X_A-Z_A所作的分析可知，辐射束R和R¹被Q所吸收，它相对于A的速度（在这里是零）仍然不变。因此，现在用坐标系X_B-Z_B，物体Q的速度在辐射R和R¹被吸收以后也保持不变。

引入狭义相对论假设，并把它应用于动量：动量守恒定律对每个平台（A或B）都有效。尤其是，相对于平台B，我们写出一个辐射被吸收前的表达式，再写出一个辐射被吸收后的表达式，然后令它们相等。由于Q的运动与Z_B轴平行，我们须要考虑沿这个轴的R的动量分量和R¹的动量分量。R与R¹之和加上物体Q的质量M，得到吸收前的动量=2[0.5×E/C×V/C ]+MV ①，这里用V/C代替角α。在辐射被吸收之后。吸收后的动量=（吸收后的质量）（吸收后的速度），但是我们在平台B上看到物体Q的速度V一定保持不变，因为平台B相对于平台A继续以相同的速度V运动，不受空间中物体Q吸收辐射的干扰。所以，如果动量守恒定律有效，那么MV+EV/C² =（辐射吸收后的质量）× V ①，由于E，V和C²都是正数，我们不得不作出结论：辐射吸收后的质量M¹，比吸收前的质量大。明确表达为 M+ E/C² =M¹ ①，或 E=（ΔM）C² ①，即，质量改变直接与能量吸收成正比例。如果选择适当的M和E的单位，我们可省略Δ，得到质-能等当公式的熟悉形式：E=mc² ”②

1946年，Einstein在纽约《技术杂志》上发表《质能相当性初探》一文。该文中，Einstein根据麦克斯韦理论推导出：m - m₀ =Δm =ΔE/c² 。由此可见，ΔE=Δmc²是麦克斯韦理论的结果，它与光速不变原理无关。至于是否能把ΔE=Δmc²改写成E=mc²，只有优先引入光速不变原理才可以肯定。因为麦克斯韦理论著名结论是光速为恒定值。Einstein在这里利用了辐射推导质能方程验证了后面关于引力质量与电磁质量等价性观点的正确性。

2、质能方程的space-time平权理论的推导

根据功的原理E=W=Fs=mas，令E=1J，m=1kg,s=1m,a=1m/s²,得1J=1kg×1m/s²×1m=1kg×m²/s²=1/b²kg,所以1kg=b²J，即E=mc²，Einstein的质能方程成立。质能方程的推导简化了，各种简化的形态是科学本身的基础，并且表现为认识过程得以实现的必要条件。质能方程也可以从单位换算中得到，能量的单位也可以用kg表示能量是space-time与实物粒子的相互作用 ，Einstein的质能方程反映了space-time平权问题，揭示了space-time结构对物质的作用，与物质自身的性质无关，惯性质量在这里仅仅起比例常数的作用。

在相对space-time中，倘若忽弱广义相对论效应，也能得到结论。例如两个物体的引力质量分别为M、m，它们之间的作用力为F，相对位移为S，则对于一个物体所作的功均为FS（以另一个物体为参照物），因此动能相等，物体的动能可以用0.5mv²表示。 静止物体在绝对空间里的动能为mc²，因为整个宇宙的正引力质量为无限大。

根据space-time平权理论可知，引力质量不仅意味着能量，同时意味着动量。假设一物体的引力质量为m，那么它的引力动量应当为mc，即P=mc，不妨称之为引力动量方程，把静止物体的引力能量与引力动量称为绝对引力能量与绝对引力动量，它们都是数量。在物理学中所讲的引力能量与引力动量应当分别为它们的相对空间与相对时间形式。由于引力能量反映了引力质量的相对空间存在形式，相对空间各向同性，因此引力能量是数量。由于引力动量反映了引力质量的相对时间存在形式，相对时间各向异性，因此引力动量是向量。

3、经典力学的推导

谭强先生的推导：根据牛顿第二运动定律：F=d(mv)/dt=(vdm/dt)+(mdv/dt)，两边同乘以v得:Fv=(v²dm/dt)+(mvdv/dt)……(1)，将上式应用于真空中的光子，光子的速度（c）恒定不变，dc/dt=0,则Fc=(c²dm/dt),而功率为：P=dE/dt=Fdx/dt=Fv ，即dE/dt =(c²dm/dt),dE= c²dm, 亦即E= c²m。

参考文献：

【1】Einstein 方在庆 韩文博 何维国 译.《Einstein晚年文集》 海南出版社 2000年3月第1版

【2】W•G•V罗瑟 著《相对论导论》 241页

【3】程守洙、江之永，《普通物理学》，高等教育出版社，1998年6月第五版

附录：

新华社洛杉矶12月22日电 美国国家标准技术研究所和麻省理工学院的物理学家说，他们通过迄今最直接、最精确的实验证明了Einstein狭义相对论中著名的质能公式。质能公式（E＝MC²）指出，物质的总能量相当于其质量乘以光速的平方。它表明能量和质量可以互相转换，而光速是恒定不变的常数。这一公式是Einstein 1905年发表狭义相对论时提出的，被认为是狭义相对论的基础，也奠定了新的时空观。此前，其他物理学家曾用多个间接实验证明了质能公式的正确性。但科学家认为，这些实验存在一定前提条件，可能引起对质能公式广泛适用性的质疑。美国科学家在22日出版的《自然》杂志上发表论文说，他们所采用的方法已能直接支持质能公式。这一实验的原理是：按照质能公式，当一个原子核捕获新的中子时，它的质量就会变成原先原子核和中子质量之和、再减去这一过程消耗的中子结合能，中子结合能包括放射出的伽马射线能量以及原子核碰撞后的反冲。因此，只要分别测出原子核被中子轰击前后质量的变化以及轰击期间发出的能量，然后进行比较，就可以验证质能公式是否准确。科学家选用了硅和硫原子来进行实验。国家标准技术研究所的科学家依据伽马射线在晶格中的散射角来测量其波长，波长就决定了伽马射线的能量。而麻省理工学院的科学家则用电磁阱“固定”住捕获中子前后的原子，并精确测定其质量。他们的测量结果表明，质量和光速的平方的乘积（MC²）与能量（E）的差异，大约为千万分之四，足以表明质能公式的正确性。科学家在论文中称，这是“迄今为止对质能公式最精确的直接验证”，比此前的证明精度高了55倍。

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