李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

摘要 : 直觉思维是创造性思维的重要组成部分,在我们的生活、学习、特别是科学研究中具有重要意义，它的生理基础在于右大脑半球与脑干等的潜逻辑性。数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象、结构及其规律性的一种迅速的识别、敏锐的想象、直接的理解、综合迅速的判断，是数学的洞察力，数学直觉思维与逻辑思维形成互补的辨证关系，就象中国古代的阴阳太极图，这种辨证关系构成了完整的思维过程。数学直觉思维具有似真性，它的本质是人们在认识数学对象的过程中的飞跃，对数学创造性思维有着特殊的意义。在数学教学中，教材、教师对培养学生数学直觉思维能力的重视程度不够，学生的数学直觉思维意识没有被最大程度地唤醒。数学教学要培养学生的直觉思维能力。首先要训练学生具有扎实的数学基础，这是产生直觉的源泉，要营造和谐融洽的课堂气氛，诱导学生产生直觉思维，同时向学生渗透数学的哲学观点及审美观念，在数学解题过程中（包括整体思考、联想想象、归纳猜想、数形结合、一题多解、类比能力等方面）发展学生的数学直觉思维能力。当然，数学直觉思维在数学学习中也具有局限性，其原因主要在于数学直觉思维的潜逻辑性、似真性及模糊性。总之，在数学教学中既要培养学生的逻辑思维能力又要重视发展学生的直觉思维能力，发挥各自的优势，完善学生的思维结构。

关键词：数学直觉思维、逻辑思维、创造性思维、生理基础、直觉思维的局限性

1、真正可贵的是直觉。看来，直觉是相当重要的，科学原理虽以直接经验为基础，但原理的发现并没有逻辑的道路，只有那种以经验的共鸣的理解为基础的直觉。我相信直觉与灵感。

——爱因斯坦

2、数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。直觉是真正的数学家赖以生存的东西。 ——伊思.斯图尔特

3、想象力和直觉都是智慧本质上所固有的能力，它们在科学的创造中起过，而且经常起着重要的作用。 ——德布罗意

4、直觉是创造思维的一个重要组成部分，没有任何一个创造性行为能离开直觉活动。 ——凯德沙夫

5、逻辑用于论证，直觉可用于发明。没有直觉，年轻人在理解数学时便无从着手；他们不可能热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄词藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会有应用数学的能力。 ——彭加勒

6、在发明、发现、解决问题的过程中，经验是由直觉思维猜测出正确答案，然后再由分析思维去加以检查和证明的。 ——布鲁纳

7、这些富有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起来，就是所谓‘直觉’……,因为它适用的对象，一般说来，在我们的感官世界中看不见的。 ——迪瓦多内

8、伟大的,以及不仅是伟大的发现，都不是按逻辑的法则发现的，而都是由猜想得来的。换句话说，大都是凭创造性直觉得来的。 ——福克

在数学教学中应当发展学生的直觉思维能力

1.问题的提出

现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重发展逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。过多的注重发展逻辑思维能力，不利于思维能力的整体发展。在我们的数学教学中，发展直觉思维能力长期得不到重视，学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解，认为数学是枯燥乏味的；同时对数学的学习也缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失对数学的兴趣。老师由于把证明过程过分的严格化、程序化，学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖住了，而把成功往往归结于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正的乐趣。《中国青年报》曾报道，“约30%的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视和反思。直觉思维与逻辑思维同等重要，在注重发展逻辑思维能力的同时，还应该注重发展观察力、直觉力、想象力，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向

2002年5月教育部颁发了新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》，把培养学生数学思维能力作为中学数学教学的目的之一，明确指出思维能力包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式做出思考和判断。新大纲首次把发展直觉猜想作为中学数学的教学目标之一。多年来我在教学过程中一直就如何发展学生的直觉思维能力进行着探索，取得了良好的效果。

2.数学直觉思维概述

2.1 直觉思维简介

直觉是千百年来人们一直关注、研究的一个悬而未决的思维问题。由于它在人类的各种实践活动中大量存在，并发生着不可忽视的诸多作用，因而引起了人们愈来愈大的研究兴趣。

现代脑科学的研究证明，大脑分为左右两个半球，通过脑桥的大量神经纤维连接起来。人脑的左半球主要是抽象思维、象征性关系和对象细节的逻辑分析，它的功能是以分析为主的逻辑思维，具有理性的功能；人脑的右半球与知觉和空间有关，具有形象、直观、整体思维的作用。直觉思维是由潜意识脑的神经网络结构对信息加工处理的过程（所谓潜意识脑的可能神经结构有旧皮质、古皮质及脑干网状结构，有海马、苍白球、小脑等，功能有维持控制生命活动，如呼吸、心率以及记忆、情绪等的潜逻辑计算和信息的储存，是非显露的，所以称之为潜逻辑过程）。只有当加工结果“实现”在意识脑，从而产生了直觉时，这个过程才转化为显逻辑过程。因此直觉思维是一种心理现象，它不仅在创造性思维活动的关键阶段起着极为重要的作用，还是人类生命活动、延缓衰老的重要保证，直觉思维的培养本质是右脑训练的一部分。

所谓直觉思维，是一种非逻辑抽象思维的跳跃式思维形式，它是根据对事物的生动直觉印象，直接把握事物的本质和规律，是一种浓缩的高度省略和减缩了的思维。美国现代心理学家布鲁纳在其名著《教育过程》中说：“直觉思维与逻辑思维迥然不同，它不是以仔细的，按规定好的步骤前进为其特征的。……直觉思维总是以熟悉的有关的知识领域及其结构为根据，使思维者可能实行跃进、超级和采取捷径。并多少需要以后用比较分析的方法重新检验所作的结论。”我国著名的科学家钱学森认为，直觉是一种人们没有意识到的对信息的加工处理活动，是在潜意识中酝酿问题，然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，我们则没有意识到，这就是直觉思维。

直觉思维经常表现了人的领悟力和创造力，属于智力因素的范畴。现代教育理论认为，人的智力因素和非智力因素通过实践活动，在其相互交织和相互影响、相互促进的过程中共同发展，非智力因素可以补偿智力因素的弱点和缺陷，同时人的一切智力活动都是在非智力因素的参与下方能得以进行的。直觉一般表现在艺术创造和科学研究过程中，经过长期的思索，猛然觉察出事物的本来意义，使问题得到猛然的醒悟，进入一种走出混沌的清晰状态，就如古诗词中所描绘的那样：“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。”所以直觉思维是创造性思维的重要组成部分，在我们的生活、学习、特别是科学研究中具有不可忽视的重要意义。爱因斯坦特别指出：“物理学家的最高使命，是要得到那些普遍的基本定律，由此，世界体系就能用单纯的演绎法建立起来。要通向这些定律，并没有逻辑的道路，只有通过那种以经验的共鸣的理解为依据的直觉，才能得到这些定律。”美国著名的心理学家布鲁纳指出：直觉思维、预感的训练是正式的学术科学和日常生活中创造性思维的很容易被忽视而又重要的特征。机灵的预测、丰富的假说和大脑迅速地做出实验性的结论，这些是从事任何一种工作的思想家极其珍贵的财富，而学校的任务就是引导学生掌握这种天赋。教师对具有直觉思维能力的学生予以赞许、鼓励，教师在这方面要力求成为典范。

直觉思维主要表现在思维过程的非逻辑性（自由性、自发性、偶然性）、思维模式的灵活性和敏捷性、思维结果的创造性与超前性及不可靠性等特点，由于直觉思维不是纯经验的认识而是原来的思维线路的中断，不可能完全按照通常的思维方式，用结论和推理的环节把它连接起来，所以直觉是“不可解释的”。从培养直觉思维的必要性来看，直觉思维有三个主要特点：

2.1.1简约性

直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象做出敏锐而迅速的假设，猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，但是它却清晰地触及到事物的“本质”。

2.1.2创造性

直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外无限扩展，因而具有反常规律的独创性。许多重大的发现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上构造四元数的火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的办法；凯库勒发现笨分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

2.1.3自信力

成功可以培养一个人的自信，直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物质奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力。

2.2 数学直觉思维概述

数学能力结构的五大能力成分：数学观察力、数学记忆力、空间想象力、数学思维力、数学化能力，其中数学思维能力是数学能力的核心。有关数学思维能力的研究表明，数学思维能力包括①发现属性能力②数学变式能力③发现相似性能力④数学转换能力⑤直觉思维能力⑥形成数学概念的概括能力⑦形成数学通则通法的概括能力⑧迁移概括能力⑨发现关系的能力⑩识别模式的能力⑾运用思维块能力⑿数学推理能力。笔者认为，除此之外，数学思维能力还包括运用数学知识分析和解决分析和解决问题的能力。因此数学直觉思维能力是数学能力的一个重要的组成部分。

数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象、结构及其规律性的一种迅速的识别、敏锐的想象、直接的理解、综合迅速的判断，是数学的洞察力。直觉思维的过程是人们以已有的知识经验为根据，对所研究的问题提出猜测和假设的过程。直觉思维所追求的是对数学对象及其研究过程的本质的、整体的把握。数学直觉思维的实质是人们在认识数学对象的过程中的飞跃。

2.2.1直觉思维与逻辑思维的关系

从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。长期以来人们刻意地把二者分离开来，其实这是一种误解，逻辑思维与直觉思维从来就不是剥离的。逻辑严密性是数学的基本特征之一，所以在数学中没有逻辑思维是不能进行的，即使能进行，那对认识和解决数学问题可能也是无用的。逻辑思维是以理解力占主导地位，它的判断以概念为基础，主要推理方法是逻辑推理；而直觉思维是以想象力占主导地位，它的判断以直觉为基础，主要推理方法是非逻辑推理。但是主导不代表全部，也有着“逻辑过程”，二者应当是不可分割的整体，它们之间相互包含，笔者认为可以用中国古典哲学中的阴阳太极图来表达。

正是由于直觉思维的出发点不是概念，而是积极的想象，因而更富有创造性，它代表了创造性思维的本质特征。直觉思维区别于逻辑思维的重要特征就在于没有经过严格的逻辑推理之前，迅速地对事物做出判断、得出结论，而这种结论还需要严格的逻辑证明。事实上，直觉思维得出的结论并不是主观臆断、而是以扎实的知识为基础，以对事物敏锐的观察，深刻的理解为前提的。直觉思维与逻辑思维形成互补的辨证关系，它们的辨证关系构成了完整的思维过程。直觉思维为逻辑思维提供了动力和方向，逻辑思维则对直觉思维做出检验与反馈，是直觉思维的深化和精化。

一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推理元素”，一个成功的数学证明是这些基本运算或“演绎推理元素”的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通道，一个个基本运算或“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮助我们确信沿着这条路必定能顺利到达目的地。但是逻辑却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。事实上，出发不久就会遇到岔路口，也就是遇上了正确选择通道的路段的问题。彭加勒认为，即使能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。笛卡儿认为在数学推理中的每一步，直觉力都是必不可少的。就好似我们平时打篮球一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。学生学数学要有数感（所谓数感，狭义地讲是指学生对数的感觉，对数的敏感性。广义地讲是指对数值的一种直觉，对数的近似值的一种估计）。有了这种直觉和直接反映，学生在学习数学及相关学科时，会感到左右逢源，得心应手，反之会感到处处受制。另外，在解题结束后，以数学的直觉、对数字的敏感随时判断结论的正确性，可使我们在解题过程中减少错误、提高正确率。解题过程中，有许多问题本身包含一些隐含条件，能否尽快以对数与式的敏感性找出这些隐含条件，并利用这些隐含条件确定解题策略是快速解题的重要因素。

2.2.2数学直觉与直观、直感的区别

直观和直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系，不必建立在感觉明白之上，感觉不久便会变的无能为力。直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。

2.2.3 数学直觉思维的模糊性

数学直觉思维的特征就是过程与结果的模糊性。事实上，潜逻辑性集中表现为直接性和综合性，而直接性和综合性实际上是思维的模糊性；无意识的自发性、不可解释性、随机性也是思维表述上的模糊性，由模糊到清晰，用精确描述模糊，正是世界多样性和复杂性的表现。从数学本身的发展看，它已从形式上排斥不确定性、模糊性，发展到目前模拟和吸取人脑模糊思维的形式和特点，并形成了一个重要的数学分支——模糊数学。从而把理论舞台直接建立在模糊化思维之上。因此，以严格性、精确性为基本特征的数学思维，从其产生到成长，时时处处都与人类认识整体的不确定、模糊性因素和形式有关。这种关系又突出地表现在数学直觉思维上，所以模糊性就成了数学直觉思维的最根本的特性了。

对数学对象、结构及其关系的直觉想象和直觉判断是数学直觉思维的直接本质，同时在数学活动中直觉想象和直觉判断是很难截然分开，两者常常交替着，有机地结合于一个统一的思维过程中，并且这种交替过程有时表现得特别迅速，与先前的思维进程的关系也更加不清楚，甚至中途出现断裂；另外有时甚至久思不得其解，但可能借助于某种机遇而得到启迪突如其来地使问题得以澄清，因而形成一种“内现”或“顿悟”，即为直觉思维。

3.发展数学直觉思维能力的途径

一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”数学直觉是可以通过训练提高的。我认为数学直觉思维在解决数学问题中的作用可以用以下图表来表示：

	归纳 类比 联想 想象 数学美感

数学问题→ →直觉猜想→解题思路→演绎推理→问题解决→直觉猜想

→新的数学问题

在教学实践中，基于以上认识，发展学生的数学直觉思维能力，我是按照以下途径进行的：

3.1 注重双基，培养学生扎实的数学基础

直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验。对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及结论应该是正确的直觉。”所以在教学过程中不要认为只要学生具有数学直觉思维能力，不需要任何基础就行。实践证明，只有那些平时基础知识扎实的学生，才具有较强的数学直觉思维能力，当然具有较强的数学直觉思维能力也有助于双基的培养，因此培养数学直觉思维与打好双基是相辅相成的，二者并不矛盾。

例1.若干个正方体的积木摆成塔形，上面的正方体下底面的四个顶点是下面相邻正方体上底面各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，且平放于桌面上。求证：无论摆放多少个正方体，从各个角度看到塔形的所有表面积之和小于9。

分析 ：在解题过程中，数学基础较好的同学很容易发现——从上面看所有上表面的面积之和为1，侧面的面积成等比数列，公比为0.5，根据等比数列的前n项和公式可以证明从各个角度看到塔形的所有表面积之和小于9。

3.2 营造一种和谐、融洽的课堂气氛和平等的师生关系

新的数学教育理念认为：数学是过程，是活动，学数学就是做数学，就是去解决一个问题，获得一种体验。在教学中教师应当转变教学观念，切实落实主体教学思想，把主动权还给学生，营造一种和谐、融洽的课堂气氛和平等的师生关系。一名学生说：在数学课上，我们喜欢听数学家的故事，愿意解充满挑战性的问题，喜欢发表不同的见解……，希望老师能给我们的思维插上翅膀，在思维的王国里自由自在地翱翔。假如我们教师给学生一种高高在上、无法亲近的感觉，那么学生即使在学习过程中得出了一些直觉判断、直觉想象或直觉猜测，他也不敢告诉我们，当然无法对学生的直觉思维进行培养和训练。对于学生的大胆设想给予充分肯定，对其合理成分及时鼓励，爱护、扶植学生的自发性直觉思维，要允许学生犯错误，允许学生“跟着感觉走”，切不可一出错就予以训斥，以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。情感对学生的学习活动有重要的影响，教师对学生的信任和期待是情感交流的关键，爱护和尊重学生是情感交流的基础。学生的内心世界丰富多彩，他们渴望真情和爱，有着机强的表现欲和成功欲。因此教师要善于将学生好学热情、表现欲和成功欲内化为长久的情感，用和的兴趣和执着的追求，发展为内心的志趣。所以在教学中要善于“以情动人，以爱动心”，摸准学生的动情点，关心爱护每一位学生，热心帮助差生。一个亲切的面部表情，依据鼓励的话语，都会给学生一种愉悦的体验，享受到学习成功的乐趣。

例2、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？（2002年全国高考试题）

分析：本题若用递推数列解，需要运用极限的思想，难度很大；若从整体上分析，则非常容易。

如果每年新增汽车数量比年末报废汽车的数量要少，那么汽车的保有量就要逐年减少，这显然能使该城市汽车保有量不超过60万辆。

如果每年新增汽车数量比年末报废汽车的数量要多，那么汽车的保有量就要逐年增加，经过若干年后，该城市汽车保有量会达到60万辆，随后每年新增汽车数量只有等于或小于比年末报废汽车的数量才能使该城市汽车保有量不超过60万辆，即每年新增汽车数量X≤60×6%=3.6（万辆）。

所以，每年新增汽车数量不应超过3.6万辆。

另解：设每年新增汽车的数量为X万辆，依题意，要使上一年的汽车保有辆a万辆满足0＜a≤60，则X必须满足X+（1-0.06）a≤60，即X≤60-0.94a，由于上式右端作为a的函数，在0＜a≤60上的最小值是0.06×60=3.6，所以上式对0＜a≤60都成立的充要条件是X≤3.6，即每年新增汽车的数量不应超过3.6万辆。

为了唤醒学生的直觉思维意识我经常在课堂上向学生提出一些探索性、开放性的问题让学生凭直觉即兴回答，无论答案和思路是否正确都予以鼓励，同时在课堂上老师和学生之间、学生和学生之间对一些问题的思路展开热烈的讨论，取得了良好的教学效果。学生学习的规律总是意向心理占主导地位，而兴趣是意向心理中最现实、最活跃、最积极的认识驱动力，亚里士多德曾指出：“思维自疑问和惊奇开始”。

通过这些做法，学生的直觉思维意识增强了，面对一个数学问题时再也不是束手无策，而是从各个角度积极地去思考，寻找解决问题的思路，逐步形成了良好的思维习惯，学习数学的兴趣明显提高。

3.3 在解题教学中发展学生的数学直觉思维能力

“问题是数学的心脏”，解题是发展学生各种数学能力的重要方式，教师要在解题教学中培养学生的数学直觉思维能力。

“问题解决”课堂教学模式的理论框架：

(1) 在一定的问题情境背景下，学生可以利用必要的学习材料，借助教师和同伴的帮助，通过意义建构主动获得知识。

(2) 问题解决能力的培养为学生学习数学知识提供动力，而系统的数学知识体系为问题的解决提供保障。问题解决能力的培养与数学知识体系的建构两者之间的互补与平衡有助于学生认知结构的完善。

(3) 学生和教师是教学活动中能动的角色和要素，师生关系是互为主体、互相依存、互相配合的，师生双方的主体性在教学过程中都应得到发展和发挥。

(4) 学生主体作用主要体现在学生的学习活动过程中。

(5) 教师的主体作用主要体现在对教学活动进行科学认识的过程中，教学过程中教师的主导是发挥主体作用的具体表现形式。

“问题解决”课堂教学模式的功能目标：学习发现问题的方法，开掘创造性思维潜力，培养主动参与、团结协作精神，增进师生、同伴之间的情感交流，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题、解决问题的能力和意识。

3.3.1 注重训练学生从整体思考问题的能力

在解题过程中，提供给学生丰富的背景材料，恰当设置教学情景，促使学生整体思考。整体思考方法是从全局总体着眼处理问题，通过细心观察分析数学材料的整体结构，理解和认识问题的实质，概括出数学关系进而确定解题策略。由于整体性是数学直觉思维形式的重要特征之一，因此对于面临的问题情景首先从整体考察其特点，着眼从整体上把握事物的本质及内在联系，往往可激发直觉思维的意识，导致思维创新。

例3：3个空汽水瓶可以换一瓶汽水，现有10个空汽水瓶，若不交钱，最多可以还喝汽水多少瓶？

在解题过程中不少学生分步分析，得出只能喝4瓶。其实从整体上分析，相当于两瓶空瓶可以换一瓶汽水，因此最多可以喝5瓶。

3.3.2 注重发展学生的联想与想象能力

寻找和发现数学材料的内在联系，进而直觉想象和联想，产生直觉判断。数学直觉思维是直觉想象和直觉判断的统一，是通过跳跃性的想象和迅速的直觉判断而达到对数学对象的本质及内在联系、规律的认识。联想和直觉想象属于形象思维，是数学直觉思维的基础，往往能获得重要的解决问题途径的信息，给进一步的思维活动指明方向，不仅如此，对于一些按常规思路难以解决的问题，通过开阔的直觉想象和联想，撇开严密的逻辑规则与程序，往往能实现思维的自由组合而产生顿悟。数学教学中，通过多角度、多方位的思考，引导学生从复杂的问题中寻找内在联系，特别是发现隐蔽的关系，从而把各种信息综合考察，做出直觉的想象和判断，是激发直觉思维意识，培养直觉思维能力的重要途径。教育心理学认为：为了使学生深入理解和掌握数学知识，引导学生主动探索规律是极其重要的一环。只有经过自己探索概括的知识才能真正纳入已有的认知结构，其原有的知识经验对今后的学习具有某种迁移作用。

例如在学习余弦定理时，我让学生思考余弦定理与正弦定理的关系，学生经过分析讨论发现正弦定理与余弦定理时等价的，可以相互推导，从理论上讲“凡是能用正弦定理解决的问题，都能利用余弦定理解决；反之亦然”，而且“已知两边和一边的对角解三角形”利用余弦定理解决不用讨论。

例4、利用余弦定理推导正弦定理

证明：sin²A=1—cos²A=1—（b²+c²-a²）²/4 b²c²=(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) /4 b²c²，∴a²/sin²A=4a² b²c²/(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b),同理c²/sin²C=b²/sin²B=

4a² b²c²/(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b)，因此c/sinC=b/sinB= a/sinA，然后利用平面几何证明比值等于2R。正弦定理成立。

例5、利用正弦定理推导余弦定理

证明：b²+c²-a²=4R²(sin²B+ sin²C- sin²A)=2 R²(2-cos2B-cos2C-2cos²A)=

2 R²［2-2cos(B+C) cos(B-C)- 2cos²(B+C)］=4R²［1-cos(B+C) cos(B-C)- cos²(B+C)］

=4R²sinB sinCcosA=2bccosA,∴cosA=（b²+c²-a²）/2bc,同理可以证明其他各式成立。

例6、利用余弦定理推导海沦公式

证明：S²= b²c² sin²A/4=(a+b+c)(b+c-a)(a+b-c)(a+c-b) /16，两边开方便得到海沦公式。

3.3.3 注重发展学生归纳、猜想能力

归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析，从而导出一个一般性结论的方法。在学习数学归纳法时，为了培养学生的不完全归纳能力，我曾逐步引导学生归纳出费尔马大定理与哥德巴赫猜想。学习完数学归纳法以后，启发学生思考如何运用数学归纳法证明与整数集、奇数集、偶数集、实数集、复数集、有理数集有关的命题，最后得出了数学归纳法的实质在于递推，说明了数学知识的新奇性与创造性。例如初一代数中介绍了括号前是“+”“-”号去括号的法则，此时我列出了几个只有乘除混合运算（除数不为0）的带有括号的式子，让学生通过演算总结其规律——一个只有乘除混合运算（除数不为0）的带有括号的式子，若括号前面是“×”，去掉括号，括号里各数都不变；若括号前面是“÷”，去掉括号，括号里各数都变为其倒数。

为了在数学解题过程中发展学生数学直觉思维能力，必须经常总结解题的规律性，尤其是常见数学题的思考方法。通过归纳可以产生数学直觉从而产生数学猜想。数学猜想是依据某些数学知识和已知事实，对未知量及其关系的似真推理，是科学假说在数学中的重要体现。借助直觉思维，依据经验材料，利用归纳、类比、变换条件等方法，对所研究的问题通过逻辑推理检验论证，在扬弃的过程中，得到正确的结论，使学生在实践和训练中，通过整体观察和细部观察的结合中发现事物的内在规律性，进行数学猜想，做出判断，这也是发展直觉思维能力的必要手段。在教学过程中应当鼓励学生大胆发问，提出自己的见解，鼓励学生不受形式逻辑的约束而自由地进行思考，包括大胆地猜测和设想；让学生认识到，无论是科学活动还是学习活动都需要运用直觉思维的猜测与设想。著名的心理学家布鲁纳也认为：“应该给学生一定的训练，使之认清猜想的合理性。”

3.3.4 渗透数形结合的思想

数与形是数学研究的两个对象，数形结合是解决数学问题的一种常用的方法，正如华罗庚教授所讲的：“数与形，本是相掎倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永 远联系，切莫分离。”这段话深刻地说明了数形结合在数学解题中的重要性。

例7、国际足联规定：世界杯决赛阶段比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米.高2.24米，试确定边锋的最佳射门位置。

分析：边锋的最佳射门位置是于足球门底端的张角最大，可以利用两角差的正切公式.余弦定理.两条直线的夹角公式.向量的数量积等方法解决。其实，数学直觉思维能力强的同学，很容易想到过足球门底端作圆与边界相切时该点为边锋的最佳射门位置，运用切割线定理很容易计算。

例8、解方程x²+cosx—1=0

解：原方程变形为cosx=1—x²,在同一坐标平面上作函数y=cosx与y=1-x²的图象，考察点P（0，1），当x=0时，cosx=1,1-x²=1,所以点P（0，1）为两曲线的交点，当x＞0时,cosx=1-2sin²0.5x,但当x＞0时,sinx＜x, 所以sin²0.5x＜0.5x，cosx＞1-2×0.5x²＞1-x²。当x＞0时,y=cosx的图象总在y=1-x²的图象上方，故在Ι、Ⅳ象限不再有交点，即方程x²+cosx—1=0无实数解，又因为两个函数均为偶函数，所以当x＜0时,y=cosx的图象总在y=1-x²的图象上方，故在Ⅱ、Ⅲ象限不再有交点，即方程x²+cosx—1=0无实数解。

综上所述x=0是x²+cosx—1=0方程的唯一实数解。

例9：已知：轨迹C的方程为4x²+9y²=36,过点D（0，3）的直线交曲线C于A、B两点（A在D、B）之间，设AD/DB=λ，求λ的取值范围。

分析：本题在很多参考资料上都有，可是都是运用直接法计算，技巧性较大。其实本题结合图形，运用数形结合的方法容易发现λ＜0，当直线与椭圆相切时λ取极限值-1；当直线靠近y轴运动的过程中，AD的长度逐渐减小，DB的长度逐渐增大，λ的绝对值逐渐减小，λ逐渐增大，当直线与y轴重合时，λ取最大值-0.2，

∴-1＜λ≤-0.2。

例10：两块平面镜垂直放置，它们之间有一个质点，求这个质点共有多少个像？

分析：传统的方法是利用光路图判定共成三个像，但这种方法比较困难，很难掌握。如果考虑到数形结合的方法，两块平面镜互相垂直，可建立平面直角坐标系，设质点S的坐标为（x₀,y₀）,它的两个像的坐标分别为S`（x₀,-y₀）、S``（-x₀,y₀），它们在另一块平面镜所成的像均为S```（-x₀,-y₀），因此共成三个像。

3.3.5 发展学生的发散思维能力

发散思维就是对熟悉的事物，能够采用新的方法或从新的角度加以研究，从而在相同或相似之中看出不同的思维形式，见人所未见。数学中的一题多解、一题多变虽是传统方法，但却是发展学生发散思维的一种好方法。为了发展学生的发散思维能力，我还经常要求学生对一些题目进行改编和续编，起到了良好的效果。

培养学生的发散性思维，应当注重发展学生的个性特点。人们的思维是有其共性规律的，但同时又是千差万别的，存在着很大个性的差异，而这种个性差异，又是与每个人的社会环境、知识基础、智力水平等因素密切相关。我们的教育对象，就是这种共性与个性的统一体。传统的教学方法，比较多的注意到人的思维的共性特点，而常常忽略人的思维个性差异，用划一的方法教学，要求学生都按照某种统一模式去思考，这是不符合学生的心理特点的。现在愈来愈多的人，深感到传统教学方法不利于培养出新时代创造精神的开拓性人才。我认为其中的一个重要原因，就是对学生个性发展的研究重视不够。我们常常会把面向全体学生和因材施教对立起来。其实人的个性差异与分化是绝对的，共性与统一只是相对的。这里所说的分化，不仅指通常所说的学习效果的分化，还应该包括思维方式的分化。每个人对于客观事物的接触和理解，都必须通过自己的思维过程来实现，这是任何人规定的思路所不能取代的。虽然学生独立思维能力有强弱之分，思维方式也有好坏之别。但是在学习中，要进行独立思考，这不仅仅是某些优秀学生的心理现象，而且也是所有学生共同的心理现象。没有个性的充分发展，就不会有创造性出现。有些学生的思维方式与众不同，这不一定是坏事，相反在他们与众不同的思维方式中，蕴藏着创造性。罗巴切夫斯基的非欧几何学，提出了与欧氏几何完全不同的理论体系，起初了与欧氏几何完全不同的理论体系，起初 被科学界称之为疯子，但实践证明，罗巴切夫斯基的这个与众不同的观点，是人类认识史上的一次飞跃。创造力的培养，总是与个性的发展密切联系在一起的。所以在教学中，教师不仅要研究学生思维的个性特点。对那些思维方式与众不同的学生，不要简单地给予否定，更不能草率地批评他们的思想别扭，而应鼓励和引导他们发展自己的独立思考能力，寻求适合于他们自己的思维方式，这是提高他们学习质量的关键。

例11、把长为S的平直公路分成n等份，一辆汽车从始端A由静止出发，以加速度a运动，当它达到每一等份的末端时，加速度增加a/n，则汽车到达终点B时的速度是多少？

解析：设经过每一份后的速度分别以v₁、v₂,、、、,v_n表示。∴v₁²=2 aS/n，v₂²=2 a（1+1/n ）S/n +2 aS/n，v₃²=2 a（1+2/n ）S/n +2 a（1+1/n ）S/n +2 aS/n，、、、

v_n²=2aS/n(2-1/n)+ 2aS/n(2-2/n)+ 2aS/n(2-3/n)+、、、+2aS/n(2- n /n)= 2aS/n［2n- n（n+1）/2n］。∴ v_n=［as(3-1/n)］^0.5.

3.3.6 培养学生类比的能力

类比方法是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种化归方法。对于类比方法，大数学家欧拉曾经说过：“类比就是大胆创造。”例如我们可以用平面图形的性质去类比空间图形的性质，用实数的性质去类比复数的性质，把三角形的重心、垂心、内心的性质推广至四面体等。

3.4 提高数学审美意识,渗透数学的哲学观点

直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。

数学美是对学生进行美育教育的内容之一。数学美育教育不仅要让学生感受数学的对称美、简洁美、奇异美与和谐美等，更要让学生注重数学的内在美，如圆锥曲线，当学生知道这几种曲线可以通过平面截圆锥而得，开始觉得不可思议，后来为数学世界的这种和谐与美丽而折服。联系到它们的方程都是对称的二次式，既有圆锥曲线的优美，又有数形结合的丰采；既有二次型的数学底蕴，更有描摹天体运动的功能。这可使数学的外在美与内在美的结合达到美妙的程度。数学中的直觉归根结底是由思维者的审美情感所支配的，数学中最高层次的直觉，就是由美感产生的直觉。美感和美的意识是数学直觉的本质，提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识，审美能力越强，则数学直觉能力也越强。正如著名的科学史专家库恩所指出的：“在新理论的建立中，美学的考虑有时是决定的。”数学直觉思维与数学审美意识的关系如彭加勒所言：“数学发现的实质就是要在数学事物的无穷无尽的组合之中，选择出有用的组合，抛弃无用的组合，从而取得有用的新成果。而选择能力的基础是所谓的‘数学直觉’，而数学直觉本质上就是‘美的意识’或美感。就是说数学家特殊的审美感起着精巧的筛子作用，除了少数几个‘和谐的’和‘美的’组合之外，它筛掉了所有其它组合。”对学生来说，数学美的因素对他们思维活动的影响是潜在的、不被觉察的，但这种美感却是驱动学生直觉思维的一股强大的力量。

例12、已知圆C：，(x+4)²+y²=4,圆D的圆心在y轴上，且两圆外切，设圆D与y轴的两个交点为A、B，已知点P（-3，2）。若点D在y轴上运动，求∠APB的最大值。

解：设D点的坐标为（0，b）, 圆D的半径为r，则A、B两点的坐标分别为（0，b+r）、（0，b-r），b²+16=(r+2)²,根据到角公式并化简得

tan∠APB=6r/(9+b²-r²)= 3r/(2r-6)=1.5+9/（r-6）,根据直觉可以得到r≥2,

∴tan∠APB≤2.4，∴∠APB≤arctan2.4.

4、数学直觉思维在数学学习中的局限性

直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展。用直觉想象往往形成概念内容从直观上得到加深的“形象概念”。但是所创造的形象有时夸大了客观事实，与经验事实相距遥远，有时把风马牛不相及的东西想象在一起，而找不到确定的逻辑关系。为什么有些科学创造会出现在梦境之中呢？有人认为这是在睡眠时，思维与记忆脱节而不受意识控制，这样各种思维元素的活跃程度更大，因而想象更加丰富，容易产生创造性的突破，使问题得到解决。日内瓦大学曾作过一个调查，69个数学家中有51个回答说：“睡眠中能解决数学问题。”不过这时也往往显得更加荒唐，所以数学直觉思维的结果要逻辑和实践检验。

例13、已知：f(sinx)=cosx,求f(—cosx)

解法1：f(—cosx)= f(sin(1.5π+x))=cos(1.5π+x)= sinx

解法2：f(—cosx)= f(sin(0.5π+x))=cos(0.5π+x)= -sinx

分析：上面的两种解法的两种截然不同的答案，原因在于题设存在问题，本题中

f(sinx)=cosx不是一个函数，如果设U= sinx，则f(U)=cosx=±（1-U²）^0.5，不是一个函数。

例14、如果地球的半径增加1米，那么赤道的周长增加多少米？

不少学生根据直觉认为赤道的周长增加的数目可观，其实根据圆的周长计算公式，仅增加2π米。

我经常告诫学生“直觉是重要的，但是直觉常常是不可靠的，因为它们有时会引到错误的线索上去。” 例如在学习两角和与差的余弦公式时首先让学生根据直觉猜测两角和的余弦等于什么结果，此时学生会猜测出各种错误的结果，然后给学生分析正确的结果。在学习棱柱时我曾让学生思考斜平行六面体最多有几个面是矩形，很多学生以及很多参考资料均认为是3个，其实在三个面中至少有两个相邻，此时已经是直平行六面体了，因此正确答案应该是两个。学生根据直觉容易认为整数集中的元素比自然数集中的元素多，有理数集中的元素比整数集中的元素多，但是根据现代数学观点它们一般多。要使学生摆脱在教师的指挥棒下“人云亦云”的传统做法，教师硬在数学原理的范畴内，引导学生从正反两方面打问号，这样才能开发学生质疑能力。

达尔文认为：“大自然一有机会就向人们撒谎。”科学上许多错误的结论常常是科学家根据直觉得出来的，例如亚里士多德对于物体的落体规律的认识、牛顿的绝对时空观等都是这一方面的典型的实例。爱因斯坦非常重视直觉和灵感，但是他在《物理学的进化》中同时指出：“人的思维创造出一直在改变着的宇宙图景，伽里略对科学的贡献就在于毁灭直觉的观点而用新的观点代替它，这就是伽里略发现的重大意义。伽里略的发现以及他所应用的推理方法是人类思想史上最伟大的功绩之一，这个发现告诉我们根据直觉的观察所得出的直觉的结论常常不是可靠的，因为它们有时会把我们引到错误的线索上去。作为一个物理学家们的工作必须向侦探那样，运用纯粹的思维来进

5. 结束语

数学直觉思维就是大脑基于有限的数据资料和知识经验，充分调动一切与问题有关的显意识与潜意识，在敏锐的想象和迅速的判断下，从整体上单刀直入地领悟数学对象的本质，洞察数学结构和关系的一种思维。这种思维的实质是对数学对象及其结构、关系的想象和判断。在数学教学中重视逻辑思维训练的同时，加强直觉思维的训练，能完善学生的思维结构，培养学生的创造性思维能力，但是必须运用两点论的观点认识直觉思维的价值，既看到它的重要意义，又注意其局限性等。

参考文献：

1、李学生。数学归纳法的拓广。 济南：济南教育学院学报。2002年第4期。

2、李学生。在物理教学中应渗透科学美的观念.济南：山东师范大学学报（自然科学版）教学与科研 2001年第1期

3、文卫星。数学教学中的隐性目标。中学数学教学参考。2002年第6期。

4、罗超 沈翔. 高中数学探索性问题. 上海：华东师范大学出版社.2001年。

5、丁世贤. 实用高中数学学习方法. 北京：开明出版社. 1999年。

6、 钱佩玲 邵光华. 数学思想方法与中学数学. 北京：北京师范大学出版社.1999年。

7、（日）汤川秀树著 周林东译.创造力与直觉.河北：河北科学技术出版社.2000年

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