李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

直觉思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展。用直觉想象往往形成概念内容从直观上得到加深的“形象概念”。但是所创造的形象有时夸大了客观事实，与经验事实相距遥远，有时把风马牛不相及的东西想象在一起，而找不到确定的逻辑关系。为什么有些科学创造会出现在梦境之中呢？有人认为这是在睡眠时，思维与记忆脱节而不受意识控制，这样各种思维元素的活跃程度更大，因而想象更加丰富，容易产生创造性的突破，使问题得到解决。日内瓦大学曾作过一个调查，69个数学家中有51个回答说：“睡眠中能解决数学问题。”不过这时也往往显得更加荒唐，所以数学直觉思维的结果要逻辑和实践检验。

例1、已知：f(sinx)=cosx,求f(—cosx)

解法1：f(—cosx)= f(sin(1.5π+x))=cos(1.5π+x)= sinx

解法2：f(—cosx)= f(sin(0.5π+x))=cos(0.5π+x)= -sinx

分析：上面的两种解法的两种截然不同的答案，原因在于题设存在问题，本题中

f(sinx)=cosx不是一个函数，如果设U= sinx，则f(U)=cosx=±（1-U²）^0.5，不是一个函数。

例2、如果地球的半径增加1米，那么赤道的周长增加多少米？

不少学生根据直觉认为赤道的周长增加的数目可观，其实根据圆的周长计算公式，仅增加2π米。

波利亚曾经指出：“即使是相当好的学生，当他得到问题的解答，并且很干净利落地写下论证后，就会合上书本，找点别的事情来做。这样他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面”。我经常告诫学生“直觉是重要的，但是直觉常常是不可靠的，因为它们有时会引到错误的线索上去。” 例如在学习两角和与差的余弦公式时首先让学生根据直觉猜测两角和的余弦等于什么结果，此时学生会猜测出各种错误的结果，然后给学生分析正确的结果。在学习棱柱时我曾让学生思考斜平行六面体最多有几个面是矩形，很多学生以及很多参考资料均认为是3个，其实在三个面中至少有两个相邻，此时已经是直平行六面体了，因此正确答案应该是两个。学生根据直觉容易认为整数集中的元素比自然数集中的元素多，有理数集中的元素比整数集中的元素多，但是根据现代数学观点它们一般多。要使学生摆脱在教师的指挥棒下“人云亦云”的传统做法，教师硬在数学原理的范畴内，引导学生从正反两方面打问号，这样才能开发学生质疑能力。

达尔文认为：“大自然一有机会就向人们撒谎。”科学上许多错误的结论常常是科学家根据直觉得出来的，例如亚里士多德对于物体的落体规律的认识、牛顿的绝对时空观等都是这一方面的典型的实例。爱因斯坦非常重视直觉和灵感，但是他在《物理学的进化》中同时指出：“人的思维创造出一直在改变着的宇宙图景，伽里略对科学的贡献就在于毁灭直觉的观点而用新的观点代替它，这就是伽里略发现的重大意义。伽里略的发现以及他所应用的推理方法是人类思想史上最伟大的功绩之一，这个发现告诉我们根据直觉的观察所得出的直觉的结论常常不是可靠的，因为它们有时会把我们引到错误的线索上去。作为一个物理学家们的工作必须向侦探那样，运用纯粹的思维来进行。”

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