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 李学生 （lixueshenglxs@21cn.com） 2007.05
1、 数列
一项二项第n项，通项难求想断肠。观察递推若无效，先猜后证是良方。
等差等比两“兄弟”，公式、性质可相仿。裂项、错项能相消，求和运算巧构想
2、对数
积商对数值和差，和差对数不折算。真数须正值不限，底不为一且为正。
比较对数单调性，小底递减大底增。对数去底要当心，方程化简常增根。
3、点、直线、平面
人似点，家似线，国家似平面；人似元，家似集，国家似全集；
点与线，线与面，属于真包含；你与我，国与家，有国才有家。
4、反证法
真理观望微颔首，谬论演绎几时休？反证假戏终不久，中场出丑丢尽羞。
原与逆否两等价，正难则反反证法。假设结论不成立，步步推理矛盾“差”。
追问原因为何由，错误就在题设假。“非p”为假，则“p”真，奇妙证法就是它。
5、数学归纳法
初值试探敲门砖，构建递推见真章。归纳演绎路不断，有始无终近及远。
6、三角函数
射线旋转生成角，角度弧度需化好。切弦常用意境高，基本公式架三桥。
奇偶正负看似乱，诱导能让简替繁。二角和差与倍角，熟记活用巧关联。
图象变换有特色，函数性质类比前。振幅周期伴相位，平移伸缩高低点。
反正余弦反正切，了解会用能改写。本间简简变化大，切莫拾遗走偏斜。
7、三角函数中的口诀
①
三角恒等式证明思路：切化弦，繁化简，“1”代换，两头凑。
②
三角证明繁到简，常把切割化为弦；减名化角去差异，左推右推推中间。
③
三角函数在各个象限的符号（只记正值所 在象限）口诀：一全正，二正弦，三两 切，四余弦,
④
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。
⑤
三角函数式化简思路要求口诀：名少，角小，次数低，不含根号和分母，能求值的则求值。
⑥
图象平移：左加右减，上加下减。
⑦
已知角的一种三角函数值,求其余三角函数值.口诀:取定,定限,作形(直角三角形)、定角
⑧
两角和与差的正弦公式：正余余正同相连，两角和与差的余弦公式：余余正正异相连
。
8、不等式
实数有序是根本，五定三推得遵循。证明不等抓基础，比较、分析与综合。
利用“均值”求最值 ，一正二定三相等。不等式，重性质，“数轴标根”显神奇。
解不等式易出错，准确化简思路活。不等式组头绪多，交并迷乱南北辙。
9、平面向量
向量概念是新添，方向大小都占全。模型源自平衡力，合成分解释加减。
“数乘”“点乘”差别大，搞清本质细钻研。数乘向量得向量，向量内积实数显。
基本定理寓意深，定比分割求分点。引入坐标威力大，依法转化可通观。
利用向量作平移，移点移图恰相反。正弦余弦二定理，解三角形奠基砖。
二边对角需讨论，其余三类较简单。应用莫被表象惑，剥去包装识真颜。
10、曲线与方程
曲线方程一线牵，坐标建立得体现。点集解集两大集，一一对应找联系。
曲线方程“你”中“我”，方程曲线“我”中“你”。重要曲线五大类，“直”“圆”“椭”“双”“抛物线”。
标准方程一般式，理解掌握需牢记。已知曲线求方程，设点列式坐标式。
已知方程看特征，代数入微性质明。含参方程需讨论，依标细辨曲线清。代几相连更美妙，数形结合显奇效。
11、圆锥曲线解题的主要规律
联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义可妙用，引参用参妙解题，分清关系思路畅，数形结合关系明，选好选准突破口，一点破译全局活。
12、三垂线定理:
一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，l随便。
13.指数函数.对数函数
指数函数象束花，（0，1）这点把它扎。撇增捺减无例外，底互倒数纵轴夹。
x=1为判底线，交点y标看小大。重视数形结合法，横轴上面图象察。
对数函数也好记，花束右倒（0，1）系。底属（0，1）减函数，函数若增底大1。
y=1为判底线，交点横标易求底。底互倒数横轴夹，图象y轴右边去。
13、圆
14、因式分解
遇弦作上弦心距，垂径定理想一串。
首先提取公因式，然后考虑用公式。
如果作上平行弦，等弦等弧都出现。
二项先用平方差，再用立方和差式。
圆心切点当连结。延长可得直径弦。
三项考虑全平方，十字相乘试一试。
直径所对是直角，证明切线常相见。
分组能提公因式，或者分组用公式。
圆外一点作切线，连结圆心角分线。
以上方法反复试，结果必是连乘式。
同弧周切两角等，应该时刻记心间。
15、梯形
两圆相交公共弦，两圆相切公切线。
遇到梯形作高线，改变图形好计算。
连结圆心圆心距，加速证明有条件。
平行直线不可少，中位线段及时添。
乘积线段化比例，比例线段找相似。
有腰中点可旋转，延长两腰交一点。
圆中线段证相等，常化角等来证明。
面积联想中位线，割补图形积不变。
已知圆上某一点，常和圆心相连结。
联系实例巧记忆，转化思想是关键。
16、直角三角形
17、合并同类项
遇到直角三角形，斜边中线注意连。
合并同类项，法则不能忘。
三十度角不能忘，构造全等更关键。
系数代数和，其它不变样。
18、中点问题
遇到中线加倍延，容易得到平行边。遇到中点找中点 ，两点连成中位线。
平行直线是桥梁，证明比例常相见。遇到和差就延截，倍分问题也照办。
19、添括号、去括号
去括号、添括号，符号变化最重要 。括号前面是正号，里面符号保留好
。括号前面是负号，里面各项都变号。
根据多年的实践，总结规律繁化简；概括知识难变易，高中数学巧记忆。言简意赅易上口，结合课本胜一筹。始生之物形必丑，抛砖引得白玉出。
一、《集合与函数》
内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非１的正数，１两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。
二、《三角函数》
三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；
三、《不等式》
解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。证不等式的方法，实数性质威力大。求差与０比大小，作商和１争高下。直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。
四、《数列》
等差等比两数列，通项公式Ｎ项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：首先验证再假定，从Ｋ向着K加１，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。
五、《复数》
虚数单位ｉ一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与Ｘ轴正向，所成便是辐角度。箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。代数运算的实质，有ｉ多项式运算。ｉ的正整数次慕，四个数值周期现。一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。
六、《排列、组合、二项式定理》
加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。
七、《立体几何》
点线面三位一体，柱锥台球为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。
八、《平面解析几何》
有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。
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