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 李学生 （lixueshenglxs@21cn.com） 2007.05
中学数学教学大纲中明确指出，发展思维能力是培养能力的核心。在抽象思维过程中，按照思维展开的方式不同，分为集中性思维（也叫求同思维）和发散性思维（也叫求异思维）两种。
集中性思维是从同一来源材料探求一个正确答案的思维过程，思维方向集中于同一方面，即从同一方面进行思考。发散性思维是从同一来源材料探求不同答案，思维方向分散于不同方向，即从不同方向进行思考。在教学过程中，我们常常会遇到一些学生，他们思考问题的方法和书本上写的、教师讲的不一样，这实际上是学生发散性思维的一种表现。发散性思维一般具有这样三个基本特点：思维方向的多向性、思维阶段的超前性，思维方式的独创性。
发散性思维富于联想，思路开阔，普于分解组合、引伸推广、灵活应用各种变通的办法，善于从不同对象中产生分化因素。任何一个富有创造性的全过程，都要经过发散性思维到集中性思维，再从集中性思维到发散性思维，多次循环才能完成。我国数学家徐利治教授指出：“数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。他总结概括出数学创造能力的公式：创造能力=知识量×发散思维能力”。这充分说明了发散思维在数学创造活动中的重要作用。在培养学生的发散思维能力方面，笔者结合自己的教学实践，谈一点个人愚见，由于经验不足，能力所限，挂一漏万，在所难免，恳请同行们赐教。
首先，在教学过程中应该注意培养的联想能力，给学生以思维发散的机会。比如在讲解三角恒等变形时，一开始便让学生总结恒等变形有那些规律。通过引导得出下面的口决——“切化弦，繁化简，“1”代换。两头凑。”其中“1”代换指：sin2α+cos2α=tanαcotα=sec2α-tan2α=csc2α-cot2α=2sin300=tan450=cot450=……=1.
第二 ，通过探讨解决某个问题的各种可能性来训练学生的发散性思维能力，经常“一题多变”、“一题多解”的教学活动。
例如HL公理利用直角三角形的性质——“斜边的中线等于斜边的一半”证明比利用拼凑法简洁，学生容易接受，而且可以使公理体系简单。
第三，在教学过程中要注意某些问题进行适当的引申与推广。例如在平面几何中，当学生完相交弦定理后，启发学生提出这样一些问题:当相交弦中的一条为圆的直径时，结论如何？当另一条弦垂直于圆的直径时，会得到什么样的结论?当交点在圆外面，两相交直线分别为圆的割线时，又得到什么样的结论？若其中一条为圆的切线（可视为与圆的两个交点重合）时呢？若两条交线皆为圆的切线呢？学生经过积极的思维活动，并应用相似三角形判定及性质来论证结论。进而在启发学生探求相交弦定理、切线长定理等规律性东西，从而得出新的结论；两相交直线分别与圆相交时，在一条直线自两直线的交点到该直线与圆的两个交点的距离之积相等。在这一系列的活动中，可以看出：学生的认识是不断深化的，思维活动是积极发展的，新的知识在学生的不断探索中产生。
每一道数学命题都是由条件和结论两部分构成的，且通过一定的形式联系并相互制约着，其中一方发生变化，必然影响另一方发生一种或多种变化。因此，当命题的结构发生变化时，必然会产生新的命题。教学中，若能注意从学生已有的知识出发，变换问题的条件，引导学生思考：能得到什么？结果是什么？为什么？等等。从而探索新的结论，并对所提出的新结论进行论证，再按知识的结构，进行整理、归纳，寻求规律。这不仅对学生的推理论证能力有严格的要求，而且当学生养成了通过变换原有问题的结构而探索新问题的习惯，无疑地有利用提高学生的发散性思维能力。
第四，在数学过程中，注意变换问题的结构，鼓励学生质疑。
科学是认真的，严谨的，实事求是的。有人说，科学最基本的态度之一就是疑问，科学的最基本精神之一就是批判。前人为我们建立了庞大的科学体系，绝大多数科学工作者所做的不过是在这些科学体系上添砖加瓦。于是，我们接受一个个现有的结论，并奉之为科学的真理，极少去怀疑它们，甚至极少想到去怀疑它们，疑问的态度和批判的精神早已被人们遗忘。 科学体系自身具有神奇的魅力，但科学体系的魅力绝不同于科学本身，恰恰相反，这种魅力往往成为科学超越现有体系的障碍。比如数学，曾经被认为是精确论证的顶峰，真理的化身，是关于宇宙的真理，它的严格与周密使得即使一次次数学危机也没有动摇大多数数学家们对数学真理化的坚信。但在数学家们能够欢呼整个数学大厦的完成之前，他们却发现大厦基础残破不堪，不忍卒睹。科学体系的魅力本身并没有错，错的是我们的态度。在数学大厦如此风雨飘摇的今天，纯粹数学家们依然高傲地据守着自己的阵地，认为自己是真正的真理追求者，并驱逐一切企图不按规矩进入自己领地的异端（如应用数学家们）。不仅仅纯粹数学家们如此，其它许多学科也同样如此，只是还没有纯粹数学家们那样的自我优越感。 科学从来是与现实密切相关的，正是对于现实的研究越来越深入，越来越精确的描述才使得科学有无限的活力，但遗憾的是，当科学成为体系后，总会出现把这一体系孤立出来，奉为教条的趋势，可悲的是，这一趋势往往成为科学的风气。
“对于那些头脑懒惰，只知道记完笔记，之后背下来应付考试的人来说，爱因斯坦不是一位好老师，他讲话略微迟缓；但是对于那些打算真正学习创造性物理思想、仔细研究各种前提、怎样发现陷阱和问题的关键，追求思想的可靠性的人来说，爱因斯坦将是第一流的老师，因为所有这些都呈现在他的讲座过程中，迫使大家自觉地进行智力参与并发现问题的全貌。”无论小学、中学、大学的老师、教授和教科书，不断告诉学生，并且不断用考试和试学考试迫使学生接受∶“我教你的是正确的”、“教科书上讲的是正确的”、“我和教科书上介绍的权威学者讲的和写的是正确的”，以至“凡是这些权威学者担任编委的权威性刊物上发表的东西可以认为是正确的”，“凡与这些不一致的就是错误的”，并且以这种思维方式培养了一代又一代学子。科学现状没有永久的意义，一个人要想使自己具有较强的创造力，对于现成的知识与方法不应当盲目崇拜，否则将会一事无成，正如伟大的诗人杨格所讲的：“模仿使人成为奴才。”有一位数学家曾经说过：“当你拿到一到数学命题的时候，如果你首先试图去推翻这个命题而不是直接去证明这一命题，那么你才是一个真正的人才。”因此，在数学教学中应该注意培养学生大胆怀疑的观念，我时常讲：“数学决不是一本答案集，而是一本不断地提出问题和思考问题的学问。”数学理论思维的起点不是数学知识，也不是观察和实验的方法，数学理论的起点只能是数学问题。正如德国伟大数学家希尔伯特指出的：“正如人类每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔自由的境界。”伟大的科学家爱因斯坦说过:“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为后者仅仅是方法和实验的过程，而提出问题则要找到问题的关键要害。许多所谓常识的东西，其实不过是幼年时代被前人灌输在心中的一堆成见，这堆东西是需要重新审核的”。他正是以“这种重新审核”的怀疑和批判精神，对统治物理学达二百年之久的牛顿经典力学提出了大胆的怀疑，从而创立了相对论。数学史上这类事例枚不胜举
，非欧几何、非标准分析、模糊数学等的诞生无不说明了这一点。大量事实说明，思维需要以问题为先导，而发现和提出问题则需要怀疑和批判的精神，舍此将不会有任何创造。现在美国教育界提出了“通过数学问题学数学”，正符合这一观点。当前流行的“概念+例题”、“公式+例题”、“定理+例题”的数学教学模式以及题型教学、题海战术，固然在双基教学中有一定作用，但严重束缚了学生思维的发展。为了造就新一代开拓型人才，数学教学要特别提倡怀疑和批判精神，应当引导学生既不迷信权威，又不迷信教师，既不迷信课本又不迷信题型套路。
在提出问题时，应大胆鼓励学生提出猜想。当代著名数学教育家。波励亚指出：“要成为一好的数学家、、、、、、你必须首先是一个好的猜想家”。牛顿也认为：“没有大胆的想象就没有伟大的理论
”。这些论述深刻的阐明了数学猜想在数学发现中的巨大作用。数学猜想作为理论思维的方法，在人们思维的发展中具有重要的作用。数学猜想的提出、论证、反驳、修正等都是自觉的思维活动，一部数学史就是人类思维能力的发展史
，“猜想—理论—新的猜想—新的理论”的往复循环，已成为数学发展和思维发展的一般规律。因此通过建立数学猜想，不仅有助于探索事物的内部规律和丰富数学的理论，而且可以促进学生的发散性思维能力的发展。例如初一数学中介绍了括号前是“+”“-”号时去括号的法则，此时我列出了几个只有乘除混合运算（除数不为零）的带有括号的式子，让学生通过演算总结其规律，最后通过引导得出了下面的规律—一一 个只含有乘除混合运算的式子，若括号前面是“×”，
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