李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

人民教育出版社普通高中数学课程标准B版选修2-1实验教材和教学参考书经过实验，总体设计合理，选材得当，表达准确，但是对于其中的个别地方也存在一些问题，下面笔者结合个人的教学实践，谈一点儿粗浅的看法，不当之处恳请专家与前辈们赐教。

一、 表达方面

1、 印刷错误或科学性错误

100页B组第二题应当注明O为坐标原点。

2、语言叙述方面

84页提出了空间向量基本定理，86页又叫做空间向量分解定理，如果统一，对于学生学习更好。

三垂线定理和逆定理如果用充要条件叙述——平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和斜线在这个平面内的射影垂直，学生更容易理解和记忆，而且可以不用区别，可以进一步巩固充要条件的理解。

3、算法渗透问题

教材应当以近代数学思想、方法为指导，以数学方法为主线沟通各知识块间的联系。在平面解析几何和空间解析几何的教学中如果注意渗透算法的思想，可以使学生进一步体会解析法的优点——可以程序化。

① 求曲线方程是一个算法问题，可以运用自然语言叙述。

S1 建立适当的平面直角坐标系，用方程和坐标表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题（方程、不等式、函数或向量问题等）；

S2 通过代数运算，解决代数问题；

S3 把代数运算结果“翻译”成几何问题。

② 116页例题2也可以用自然语言写出其算法

S1 建立适当的空间直角坐标系；

S2 写出各点的坐标；

S3 求平面的一个法向量的坐标；

S4 求该点和平面内一点所确定的向量；

S5 利用公式进行计算。

③ 立体几何中向量方法的算法

S1 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

S2 进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和空间角等）；

S3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

二、素材选择

1、与有关学科的联系

11页思考与讨论中可以提出该电路为“与”门电路，13页思考与讨论中可以提出该电路为“或”门电路，15页增加思考与讨论，可以提出该电路为“非”门电路，这些内容理科学生在物理学中已经学习，这样学生容易进行知识迁移，理解它们之间的关系，进一步认识数理逻辑在现代科学中的地位。

2、 习题配置

① 前后联系问题

在简易逻辑中适当增加立体几何、与函数方面命题，一方面可以巩固前面的知识（因为这些命题学生很容易遗忘），同时为后续知识做好铺垫。

② 习题延拓

61页B组3（2）点A的轨迹始终是双曲线，最好改为a∈R。为了培养学生类比推理的能力，在B组第四题后增加第五题：

已知F₁，F₂是椭圆x²/9+y²/16=1的两个焦点，点M在椭圆上。如果△MF₁F₂是以M为直角顶点的直角三角形，求△MF₁F₂的面积。解答如下：

解： a=4,b=3,c²=7 ∵ MF₁ + MF₂ =8，MF₁² + MF₂² =28，∴MF₁ × MF₂ =18， △MF₁F₂的面积=9。

71页例题4与本节内容关系不大，本题主要考察椭圆的几何性质，可以放在49页作为例题3，同时把73页习题B组的第五题作为71页例题4，本题主要考察直线与双曲线的位置关系，而且本节没有这样的例题。

3、 阅读材料问题

第三章的阅读材料与必修2重复，而且解析几何的思想学生在必修2已经接触，能否把教学参考书第一章中的蜂窝猜想作为本章的阅读材料。

4、弦长公式

教材70页出现了圆锥曲线弦长的定义，但是在例题中是利用两点之间的距离公式计算弦长，没有出现弦长公式。

教学参考书对于73页A组3、4与B组第1题的解答中出现了弦长公式，建议在该题中增加注解——已知P₁（x₁,y₁）,P₂(x₂,y₂) 是斜率为k的直线上的两点，则 P₁ P₂ =√1+k² x₁ -x₂ =√1+1/k² y₁ -y₂ .

5、焦半径问题

51页习题A组第5、8题、B组第五题与61页习题B4解答的方法2参考书中的解答用到了焦半径，建议在48页例题2中增加注解，提出焦半径的问题——设点P（ x₀,y₀）是椭圆上任意一点，r 为点P与椭圆左焦点F₁（-c，0）的距离，则r²=(x₀+c)²+y₀²=x₀²+2cx₀+c²+b²-b² x₀²/a²=(1-b²/a²)x₀²+2cx₀+c²+b²=c²x₀²/a²+2cx₀+a²=(cx₀/a+a)².∵ r＞0∴r=cx₀/a+a,又-a≤x₀≤a，∴当x₀=a时，r最大；当x₀=-a时，r最小。

6、教学课件的使用问题

在椭圆的生成、离心率与椭圆的扁平程度之间的关系、双曲线的生成、渐进线与双曲线的位置关系等，如果把这些问题作成课件，放在网站上，并在教材中注明，在教学过程中使用课件辅助教学有利于提高课堂教学效率。

三、教学参考书中存在的问题

① 课时安排

课程标准规定每一个选修模块36课时，在2-1中参考书中安排了38课时，根据教学实践，3.2.5距离只需1课时可以完成教学任务，3.1.2空间向量的基本定理只需1课时可以完成教学任务。

② 印刷错误

37页关于椭圆方程的推导方法与教材不一致，“形如Ax²+By²=C中，只要A，B，C同号就是椭圆方程”，应当为“形如Ax²+By²=C中，只要A，B，C同号且A≠B就是椭圆方程”。 37页关于椭圆标准方程的化简与教材不一致，建议修改教参。

教学参考书中116页习题B组第2题答案中向量AB的坐标为（1/2，√3 /2，0）。 教学参考书中121页第三行为（-3，7，1）-（ x,y,z）.

③习题答案中存在的问题

第4页练习B2（3）应当增加条件——平面上，在空间还有异面直线，或者修改答案。

第7页练习A1（2）应当为全称性命题：任取x ∈R， x 除以0无意义。A1（4）｛所有向量｝中应当去掉“所有”，因为集合就已经代表所有，否则就成为单元素集合了。

第9页习题1-1B4（3），应当把“k∈Z”写在大括号里面，才能和教材一致。

第17页练习B2（2）A中的“有些队员不都是北京人”不符合语言习惯，应该去掉“都”。4（1）最好增加“a=0,b=0时，方程 ax=b有无数解。”

第21页练习A2（4）增加——“sinA=1/2” 是 “∠A=30⁰”的必要条件，才符合题目的要求，26页习题1-3A第一题根据题目要求也应当用两种形式表达。

27页习题1-3B1（3）学生在此之前没有学习利用对角互补判定四点共圆，在选修4-1中学生才开始学习，因该去掉此题。

30页自测与评估9（3）应当注明“定义域关于原点对称”，否则不符合题意。

49页练习A2（4）只有一个解x²/45+y²/36=1.

50页习题A2（4）答案错误，应该为 x²/136+25y²/136=1或25x²/904+y²/904=1.

51页A组第8题为了避免使用焦半径，同时降低解答的难度，可以利用椭圆的几何性质和平面几何知识解决，解答如下——

解：（1）由于椭圆关于坐标原点对称，∴AB关于原点对称，即O为AB中点，又知O为F₁F₂的中点，∴四边形AF₁BF₂为平行四边形。

（2） AF₁BF₂的面积可能等于ab.原因： AF₁BF₂的面积的最大值为ab，令ab=2cb,则 a=2c 时 AF₁BF₂的面积等于ab。

51页B组第4题答案应该为√6 /2。

54页练习A第三题应当说明建立坐标系的过程，A为右焦点。

60页习题A2（1）与2（3）的答案应当交换。

61页A组第7题解方程组只能得到 cos∠F₁AF₂=-1/17, ∠F₁AF₂=π-arccos1/17.

73页习题A组第2题解答中应当注明t≠0，

｛x –2≤x＜0 或0＜x≤2} 。

７３页Ｂ组第１题的解答中p=-2不应当舍去，本题应当有两解。第三题解答中应当有两解。

７３页Ｂ组第五题的解答中出现了直线的参数方程，可是此时学生还没有学习，而且本题漏掉一个解x= √3.下面不用直线的参数方程解答本题：

　解：∵２x²-y²=2,∴x²-y²／２=１。∴双曲线的实轴长为２，∴弦ＰＱ＝４。若直线l的斜率不存在，方程为x=√3，此时y=±2，符合题意。

若直线l的斜率存在，记为k，则 l的方程为y=k(x-√3),联立方程组，消元化简利用弦长公式得到k=±√2/2，从而得到l的方程为y=±√2/2 (x-√2)或x=√3.

７６页自测与评估中出现了Ｐ（±３，±４），教材中没有出现这种表示方法，是否规范？

77页第三题P点坐标应当为（-12t²,12t），因此解答完全错误，正确答案为(1)当a≤-6，f(a)=（-12a-36）^0.5;

（2）当a＞-6，f(a)= a .

77页第5题当△=0，应当是k=1/2。

77页第7题b=-8,直线的方程为 √3x+ y-8=0.第2问P点坐标为

（（4√3-2√2）/5，（3+2√3）/5），

91页练习B第3题解答中倒数第四行应当为AC`.DB`=1, 向量夹角的余弦为1/3，夹角为arccos1/3.

97页10（2）还可以继续化简结果，应当为 11√595/595。

105页练习A第三题最后的计算结果错误，夹角为arccos101/198.

109页练习B第2题应当有两个答案，还有其相反向量。

111页练习A1（3）答案应当为0，1（4）答案应当为8 cos72⁰, 不应当取近似值，即使取近似值也应当为2.5。

128页第8题不应当取近似值，正确答案为arccos√3/3.

④关于平面向量在平面解析几何中的应用问题

75页第8题与教学参考书中79页15题在关于垂直问题的应用中如果利用平面向量的数量积分析，可以不必考虑斜率的存在性问题。

⑤教学参考书配套习题存在的问题

教学参考书中的知识与方法测试第五题答案应当为B，解答如下：双曲线的离心率的平方为（a² +b²）/a²,而椭圆的离心率的平方为（m²-b²）/m²,它们之积等于1，得到m²=a²+b²,所以该三角形为直角三角形。

教学参考书79页11题难度偏大，只能定性分析，建议用下面的题目替换：双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁┻PF₂，则点P到x轴的距离为------。

解：由题意知：PF₁ ²+ F₂ ²=4C²=100，（ PF₁ - PF₂ ）²=4a²=36,∴ PF₁ × PF₂ =32，△PF₁F₂的面积等于16，点P到x轴的距离为16/5。

118页练习B组第2题答案应当为√39/3 cm.

119页习题B5答案应当为（100-24√3）^0.5.

⑥表达问题

117页习题B组第1题答案最好表达为“平行于平面α并且与α的距离等于3 cm的两个平面”，才比较准确。121页2（1）的答案最好表述为“两个定点连线的中垂面”，才比较准确。

四、教材结构方面

中英文词汇对照表放在教材的后面难以发挥应有的作用，最好放在教材正文中，便于教学过程中参考。

34页在定义圆锥曲线时用到了直线与平面所成的角，可是这个内容在下一章学生才接触，能否把这个内容放在《直线与平面所成的角》这一节的后面，作为阅读材料，而把圆锥曲线的介绍作为本章的引言。

75页思考与交流5中提出了“从轨迹的角度来说，它们的统一定义是什么？”，可是圆锥曲线从轨迹的角度定义，在课程标准中没有要求，只是在67页的探索与研究中提到，是否作为基本要求？

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