李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

从2004年秋季开始，我们对于新课程标准高中数学人教B版进行了实验教学，在实验过程中我们发现这套教材的设计完全符合新课标的要求，总体设计合理，选材得当，表达准确，遵循学生的认知规律和教学实际，特别是经过2006年改版后更是一套非常优秀的教材。B版教材不但是新课标的诠释者、传播者，也是教师教学活动的支持者与参与者，更是学生学习活动的示范者和导航者。在教学过程中我们也发现存在着一些困惑，笔者不揣愚陋，斗敢问笔，根据自己的教学实践提出个人在教学中的一些困惑和想法，不当之处恳请专家们赐教！！

1、 现在全国各地基本在义务教育阶段都使用新课标，可是现行的新课标的高中数学教材并没有与它们衔接好，譬如二元一次不等式表示的平面区域、方差、标准差、扇形统计图、树形图、频率和概率的定义、频率分布直方图、古典概型和几何概型和概率的应用举例在初中学生已经学习，平行投影、中心投影、三视图（高中的通用技术课程必修1也有三视图问题）等在初中学生已经学习，而且比较详细，高中继续学习，如何衔接？是否把重复的问题删去，保留一部分习题作为复习巩固实用？立方和与立方差公式、韦达定理与二元二次方程组的解法 、十字相乘法和分组分解法分解因式、无理方程和无理不等式等在初中已经删去，对于这些问题如何处理？是否可以增加附录的形式衔接？

2、 能否把教材后面数学名词的英语注释放在教材中，同时增加一些中国古代的数学应用题和数学家对于有关知识的叙述，可以激发学生的学习兴趣和提高学生对于所学知识的重要性的认识。

3、 为了解决学生容易遗忘的问题，学生能建立自己的知识网络,建议教材在选择习题时应该尽量联系前面的知识，在知识网络的交汇点上命题，例如在必修2立体几何部分增加几个用函数观点处理的问题，在必修4三角函数部分增加几个与三角函数有关的立体几何与直线和圆的问题，在计数原理、排列、组合部分增加有关的古典概型的问题，在积分部分增加有关的几何概型的问题等。

4、 教材中思考与讨论的答案最好在教学参考书中给出，便于教师在教学中统一标准。2006年改版后课本习题的页码已经改变，但是教学参考书并没有作相应的调整。教材中有不少例题和习题没有注明精确度，但是答案取近似值，最好重新排查一次。

5、 笔者认为教材应当把难度过大的习题，放在教学参考书中，供教师在教学中选用，课本中的习题可以适度增加题型和题量，但是难度要小，绝大多数同学能够掌握。

6、 应用题能否增加一些最新的数据处理问题，譬如奥运会问题、个人所得税调整问题、国内生产总值的变化与比较分析、环境保护问题、 西部大开发问题、三峡工程等等，使教材更具有时代气息，同时注意与物理、化学、生物、哲学等学科的联系，突出体现数学作为工具学科的作用。

7、 教材中应尽量增加符号（国际通用）表示，体现数学作为形式化学科的作用，有利于学生提高抽象思维能力。另外符号必须一致，例如在集合论中子集的符号与立体几何中的子集的符号在教材中不统一。

8、 几个困惑的问题

已知三角函数值求角、空间距离、球面距离在教材中有这些内容，可是课程标准没有这个内容。已知三角函数值求角在《普通高中数学课程标准》中第30页关于三角函数的内容与要求中没有作任何要求；其次，教材对于反函数这一部分知识的要求降低了，只是在必修1中关于指数函数和对数函数的关系这一节中提到了反函数的定义，并没有详细的讲解，也没有进一步的要求，这使得学生对反函数的知识掌握的不是很到位，这使得学习“已知三角函数求角”这一节时，困难较大。

文科和理科的教材在导数和定积分的定义中都用到了极限的概念和运算法则，而且有相应的习题，可是学生没有学习过,课程标准没有要求。

在必修2课程标准和B版教材中没有空间角的问题，选修2-1没有椭圆和双曲线的准线，可是有的版本有这个问题，在课程标准中有聚类分析和假设检验，但是教材中只有独立性检验问题，对于这些问题如何处理？

在文科的统计案例中有独立性检验，而且提到了相互独立事件同时发生的概率，可是文科学生没有学习这个知识点。课程标准中文科不要求直线和圆锥曲线的位置关系，可是在选修1-1中有这方面的习题。

在选修系列2与系列4中都有数学归纳法，要求是否相同？

（一）必修1(2006年版)

1、印刷错误或科学性错误

11页A包含B丢掉了一个“包”字；17页注解中应当是B∩Z=B。52页例1中第三题在证明非奇非偶函数时不能用≠，只能用不恒等来表示，因为当x=0时f(x)= f(-x)。61页应当是“当x的绝对值无限地减少时,函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小”.参考书93页关于指数函数单调性的证明是错误的，因为当a＞1,h＞0时a^h＞1，已经利用了指数函数的单调性,建议参考书把证明改成利用导数解决。50页练习B2（1）教学参考书中的答案是错误的，应该为“单调减区间是（2，+∞）”73页习题A的第五题教学参考书中的答案是错误的，定义域不应当包括0。114页习题A第6题（3）的正确答案应该为6/5，（4）的正确答案应该为4，（8）的正确答案应该为x=10或x=10^-4.115页习题B3（5）的正确答案应该为x=1/25或x=3^4/3.39页的方框里应当是“从集合A到集合B的映射”，删去“上”。53页函数的奇偶性一节应该是在某个区间上的单调性，但是例题2没有注意这个问题。

2、难度问题

22页关于羊和狼的故事过于简单，建议删去；25页第8、9、11题、124页5题难度太大，超出了课程标准的要求，自测与评估中1（4）要求也太高，而且学生没有学习过是子集但不是真子集的表示方法，参考书中给出的答案不完整。76页的例题最好删去,因为三次函数的拐点学生没有学习过.81页第7题用二分法不典型；108页练习3在学习对数函数单调性前很难处理。

3、顺序问题

如果把零点和二分法放在幂函数之后会更好，一方面可以利用二分法处理有关幂指对函数的零点问题，另一方面可以把难点分散。

（二）必修2（2006年版）

1、 印刷错误或科学性错误

19页例题1的直观图平行于y轴的长度不是实物图的一半；教学参考书37页第五题的图形错误. 86页直线的一般式方程A、B不同时为0,表示为“AB≠0”是错误的,可以表示为“A²+B²≠0”.35页第八题教学参考书中的答案是错误的，应该为135倍。在空间两条直线的位置关系一节的习题中，两条直线的位置关系教学参考书的答案中不包括重合，但是在50页两个平行平面的位置关系中的答案包括重合，应该统一。49页第8行DE不在平面ABC内。60页的第七题图形应该为59页第六题的图形。70页第一行中的数轴中的坐标错误；76页练习B 第三题的答案错误。81页第三行应当是y=1/3;84页练习A组2（1）应该为过点（-1，2）。87页练习B组1（5）应该有条件B≠0，1（6）应该有条件A≠0。93页A4(4)的答案错误,应该为x+3y-7=0;94页练习B第4题正确答案是x-y+4=0.57页例题3的解答中的第二行无意义；58页练习A第一题参考书中的答案表达不清楚，3（2）的解答中应该补充一种情况——“当直线与平面平行时，只能做一个平面。” 106页练习A2（4）应该为“a²+b²≠0时”110页练习A2（2）d=13^0.5。111页练习B漏掉了内切的情形，此时应当为a=0.

2、 前后联系问题

95页提到了算法，可是在必修3中才出现算法的概念。41页等角定理的证明学生在初中现行教材中没有学习。笔者建议可以把平面解析几何放在立体几何前面，一方面由平面到空间符合学生的认识规律，另一方面把空间直角坐标系放在立体几何符合科学体系，而且在斜二侧画法中学习空间直角坐标系不至于感到突然。

3、 习题处理

29页例题2最好把直观图化成三视图，这样可以巩固上一节的内容，注意到前后联系问题。49页例题四证明最好利用推论。52页推论的证明较繁，其实任取一条直线比较简单，而且有助于学生理解线面垂直的性质。18页中的正方体的实物图如果增加阴影，可以增强立体感，同时有助于区别实物图和直观图。

4、 语言叙述

立体几何中运用数学符号表示的较少，不利于学生的学习，尤其是“因为、所以”，“直线在平面内”，建议重新审查一次。

必修3（2006年版）

1、 印刷错误或科学性错误

15页引言的框图中“是”与“否”写反了；20页习题B第四题的答案中max=w1应当为处理框；28页练习B第三题的正确答案应当为：

p=input(“expense=”);

if p>=500,p=0.97*p;

end

print(io(2),p)

58页应当为“分层抽样时在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或者系统抽样”，教材漏掉了系统抽样。58页练习A 的第2题应当为容量为9的样本。69页习题A在绘制频率分布直方图的过程分组时应该比原数据增加一位，否则在端点处的数据无法分组。73页例题3中平均数和标准差都应当有单位。

2、 语言叙述

58页练习A第2题编号最好为001----900，练习B第1题号码最好改为0001---1563。62页习题A 中的第四题他们的编号应当为“0000～9999”。59页练习B按分层抽样不是整数，而且两个比例相同，取舍比较困难，建议去掉。在概率统计的引言中应当明确指明“概率与统计是以确定性数学为工具来研究不确定性现象的数学。”教材中用到的计算器与山东省的计算器不一致，是否可以统一？

3、 难度问题

42页“求100以内的所有勾股数”难度太大，而且出现了学生没有学习的语句。人教B版必修3算法一章，在程序框图——循环结构中，举了三元一次方程组的解法的框图实例，此题太难！尽管课程标准中有这个问题，是否可以去掉？

4、 前后联系问题

20页3（2）学生此时没有学习正弦函数与余弦函数的定义域；26页练习B的第1、2题用到了下一节的条件语句的内容，建议删去；31页例题3、36页的割圆术、38页中的秦九韶算法和15页例题4都利用了递推数列，可是学生根本没有学习过数列。56页练习B第一题用到了下一节的系统抽样，最好移到下一节；124页习题B第二题需要利用线性规划或者计算机模拟，计算机模拟有些学校不具备条件，线性规划需要到必修5学习，可以把这个题目放在线性规划一节，本题可以把令a=1，b的范围不变；2005年版的题目是b而不是b²，需要利用定积分，可是学生此时没有学习定积分，如果把这个题目放在《微积分基本定理》一节效果会更好。

必修4（2006年版）

1、 印刷错误或科学性错误

12页练习B第二题的的答案错误，应当为负数。67页11题应当为正弦型函数。121页练习B3、4题旋转π/2应当为逆时针，答案应当只有一个，可是教学参考书给出了两个答案，而第五题中B和D点的坐标可以交换，答案应当有两组，可以教学参考书给出了一个答案。144页例题5、153页练习B第一题应当取精确值。

2、 问题处理

48页在相位变换中的横坐标缩短，或伸长到原来的1/ω倍，可以改为“变化为原来的1/ω倍。”32页中的诱导公式的证明中如果把终边旋转π/2，利用三角形全等证明更简洁。111页例题2可以利用斜率、直线方程、两点间的距离、定比分点公式、中点坐标公式以及103页例题2的结论证明，可以增加注解让学生思考。24页例题5需要利用下一节的公式，可以把440⁰改成80⁰。163页13（3）的答案最好写成arctan2.151页练习B4题可以进一步把矩形的一条边在弧AB上，而且难度不大。

3、正割与余割的问题

在国家课程标准中，对于“同角的三角函数之间的关系”不要求掌握正割与余弦和余割与正弦之间的关系，但是教材26页4（2）、35页第4题以及36页7（3）都出现了这样的习题，建议删去。

必修5（2006年版）

1、 难度问题

22页第4题、35页第5、6题难度太大，建议去掉。

2、 印刷性错误

8页例题3应当是精确到0。1⁰，丢掉了度的符号。根据新教材的要求，86页第八题应当把X∈Z写在竖线前面。59页6（4）个命题应当注明公比为正数。88页例题2根据实际意义X的最小值应当是8。

3、 前后联系问题

11页10题最好利用均值不等式，放在第二章比较好。21页自测与评估第三题利用了四点共圆的判定，可是初中没有学习，建议删去。

5、教学参考书中存在的问题

10页B组第2题m应当为-3，舍去正值；17页A组第3题根据实际意义倾斜角应当为锐角——64⁰；20页巩固与提高1（1）可以得到精确值5√2+5√6；21页自测与评估1（3）答案应当有两解——15⁰和75⁰， 44页练习B1答案中前12项的和为-18；44页第9题答案中n=12 应当舍去，此时已经不再是凸多边形； 54页A组第5题3个小题都没有考虑公比等于1的情形；56页巩固与提高7（2）答案应当为—— -1，-2，-2/3，-7/6，-32/21； 86页习题B第6题正确答案应当为0＜x≤(6- √6)/5或(6+ √6)/5≤x＜2.4;89页习题A第一题不等式的结果为x＞5√3或x＜-5√3，最后答案为9个零件，第2题考虑到实际意义应该为30天。105页A组第4题正确答案应当为m=1; 107页B组3（2）正确答案应当为〔2，4〕。

6、问题处理

《解三角形》一章教材中相当多的题目没有精确度的要求，但是教学参考书中都取近似值，建议注明精确度的要求，起到一个好的导向作用。在线性规划中求最优解的问题教材利用到原点的距离，学生理解比较困难，如果利用在y轴上的截距，效果可能更好一些。根据新课标的要求，86页A组第8题最好表示为｛x ∈Z│0＜x²-x-2≤4｝

选修2-1（2006年版）

一、 表达方面

1、 印刷错误或科学性错误

100页B组第二题应当注明O为坐标原点。73页习题B第六题应该为“顶点A。”89页空间向量数量积的分配律的证明垂线不规范，应该平行于平行四边形的边，教学参考书中的图形也是错误的。96页A组第6题G应当是平面CD`的中心。

2、语言叙述方面

第7页2（4）应该为“任取x∈R， 4 x²=2x-1+3x².”84页提出了空间向量基本定理，86页又叫做空间向量分解定理，如果统一，对于学生学习更好。

三垂线定理和逆定理如果用充要条件叙述——平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和斜线在这个平面内的射影垂直，学生更容易理解和记忆，而且可以不用区别，可以进一步巩固充要条件的理解。68页A组第9题“、、、、、、距离最短的点”最好表达为“、、、、、、距离最近的点”

3、算法渗透问题

教材应当以近代数学思想、方法为指导，以数学方法为主线沟通各知识块间的联系。在平面解析几何和空间解析几何的教学中如果注意渗透算法的思想，可以使学生进一步体会解析法的优点——可以程序化。

① 求曲线方程是一个算法问题，可以运用自然语言叙述。

S1 建立适当的平面直角坐标系，用方程和坐标表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题（方程、不等式、函数或向量问题等）；

S2 通过代数运算，解决代数问题；

S3 把代数运算结果“翻译”成几何问题。

② 116页例题2也可以用自然语言写出其算法

S1 建立适当的空间直角坐标系；

S2 写出各点的坐标；

S3 求平面的一个法向量的坐标；

S4 求该点和平面内一点所确定的向量；

S5 利用公式进行计算。

③ 立体几何中向量方法的算法

S1 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；

S2 进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和空间角等）；

S3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

二、素材选择

1、与有关学科的联系

11页思考与讨论中可以提出该电路为“与”门电路，13页思考与讨论中可以提出该电路为“或”门电路，15页增加思考与讨论，可以提出该电路为“非”门电路，这些内容理科学生在物理学中已经学习，这样学生容易进行知识迁移，理解它们之间的关系，进一步认识数理逻辑在现代科学中的地位。

2、 习题配置

a) 前后联系问题

在简易逻辑中适当增加立体几何与函数方面命题，一方面可以巩固前面的知识（因为这些命题学生很容易遗忘），同时为后续知识做好铺垫。

b) 习题延拓

61页B组3（2）点A的轨迹始终是双曲线，最好改为a∈R。为了培养学生类比推理的能力，在B组第四题后增加第五题：

已知F₁，F₂是椭圆x²/9+y²/16=1的两个焦点，点M在椭圆上。如果△MF₁F₂是以M为直角顶点的直角三角形，求△MF₁F₂的面积。解答如下：

解： a=4,b=3,c²=7 ∵ │MF₁ │+ │MF₂ │ =8，│MF₁² │+ │ MF₂² │=28，∴│MF₁│× │MF₂ │=18， △MF₁F₂的面积=9。

66页练习B第2题，可以把结论推广为①求弦PQ的长②MQ贫农平行于抛物线的对称轴③求证P、O、M三点共线。

c)需要调整的题目

71页例题4与本节内容关系不大，本题主要考察椭圆的几何性质，可以放在49页作为例题3，同时把73页习题B组的第五题作为71页例题4，本题主要考察直线与双曲线的位置关系，而且本节没有这样的例题。75页巩固与提高1（3）抛物线y²=4ax,a<0 这个条件可以去掉。30页自测与评估2（5）｛1｝不属于｛1，2｝的处理过程容易误导学生。

3、 习题处理

70页例题2最好把斜率不存在的情形放在前面，由简单到复杂，这样可以培养学生良好的思维品质。对双曲线几何性质——渐进线的推证过程要加以改进，因反映渐进并非56页图形中PM的长，而应是过M作渐进线OP的垂线段的长度是X的增函数，而且推导更简单。

4、阅读材料问题

第三章的阅读材料与必修2重复，而且解析几何的思想学生在必修2已经接触，能否把教学参考书第一章中的蜂窝猜想作为本章的阅读材料。

5、弦长公式

教材70页出现了圆锥曲线弦长的定义，但是在例题中是利用两点之间的距离公式计算弦长，没有出现弦长公式。

教学参考书对于73页A组3、4与B组第1题的解答中出现了弦长公式，建议在该题中增加注解——已知P₁（x₁,y₁）,P₂(x₂,y₂) 是斜率为k的直线上的两点，则 P₁ P₂ =√1+k² │ x₁ -x₂ │ = √1+1/k² y₁ -y₂ .

6、焦半径问题

51页习题A组第5、8题、B组第5题与61页习题B4解答的方法2中用到了焦半径，建议在48页例题2中增加注解，提出焦半径的问题：设点P（ x₀,y₀）是椭圆上任意一点，r 为点P与椭圆左焦点F₁（-c，0）的距离，则r²=(x₀+c)²+y₀²

=x₀²+2cx₀+c²+b²-b² x₀²/a²=(1-b²/a²)x₀²+2cx₀+c²+b²=c²x₀²/a²+2cx₀+a²=(cx₀/a+a)².∵ r＞0∴r=cx₀/a+a,又-a≤x₀≤a，∴当x₀=a时，r最大；当x₀=-a时，r最小。

三、教学参考书中存在的问题

① 课时安排

课程标准规定每一个选修模块36课时，在2-1中参考书中安排了38课时，根据教学实践，曲线与方程两课时可以完成教学任务，在后面的教学中在不断深化。

② 印刷错误

37页关于椭圆方程的推导方法与教材不一致，“形如Ax²+By²=C中，只要A，B，C同号就是椭圆方程”，应当为“形如Ax²+By²=C中，只要A，B，C同号且A≠B就是椭圆方程”。 37页关于椭圆标准方程的化简与教材不一致，建议修改教参。

教学参考书中121页第三行为（-3，7，1）-（ x,y,z）.

③习题答案中存在的问题

第7页A1（4）｛所有向量｝中应当去掉“所有”，因为集合就已经代表所有，否则就成为单元素集合了。

第9页习题1-1B4（3），应当把“k∈Z”写在大括号里面，才能和教材一致。

第18页练习B2（2）A中的“有些队员不都是北京人”不符合语言习惯，应该去掉“都”。

第23页练习A2（4）增加——“sinA=1/2” 是 “∠A=30⁰”的必要条件，才符合题目的要求，26页习题1-3A第1题根据题目要求也应当用两种形式表达。

30页自测与评估9（3）的答案中应当注明“定义域关于原点对称”，否则不符合题意。

49页练习A2（4）只有一个解x²/45+y²/36=1.

50页习题A2（4）答案错误，应该为 x²/136+25y²/136=1或25x²/904+y²/904=1.

51页B组第4题答案应该为√6 /2。

54页练习A第三题应当说明建立坐标系的过程，A为右焦点。

60页习题A2（1）与2（3）的答案应当交换。

66页B组2的证明中应当把“y₁/y₂”改为“ x₁/x₂”;

73页习题A组第2题解答中应当注明t≠0，｛x│ –2≤x＜0 或0＜x≤2｝。

７３页Ｂ组第１题的解答中p=-2不应当舍去，本题应当有两解。第2题条件足够，理由判别式求解。第三题解答中应当有两解。

７３页Ｂ组第五题的解答中出现了直线的参数方程，可是此时学生还没有学习，而且本题漏掉一个解x= √3.下面不用直线的参数方程解答本题：

　解：∵２x²-y²=2,∴x²-y²／２=１。∴双曲线的实轴长为２，∴弦ＰＱ＝４。若直线l的斜率不存在，方程为x=√3，此时y=±2，符合题意。

若直线l的斜率存在，记为k，则 l的方程为y=k(x-√3),联立方程组，消元化简利用弦长公式得到k=±√2/2，从而得到l的方程为y=±√2/2 (x-√2)或x=√3.

７６页自测与评估中出现了Ｐ（±３，±４），教材中没有出现这种表示方法，是否规范？

77页第三题P点坐标应当为（-12t²,12t），因此解答完全错误，正确答案为(1)当a≤-6，f(a)=（-12a-36）^0.5;

（2）当a＞-6，f(a)= a .

77页第5题当△=0，应当是k=1/2。

77页第7题教材 已经删去这个题目，但是答案没有删去。

91页练习B第3题解答中倒数第四行应当为AC`.DB`=1, 向量夹角的余弦为1/3，夹角为arccos1/3.

97页10（2）还可以继续化简结果，应当为 11√595/595。

105页练习A第三题最后的计算结果错误，夹角为arccos101/198.

109页练习B第2题应当有两个答案，还有其相反向量。

111页练习A1（3）答案应当为0，1（4）答案应当为8 cos72⁰, 不应当取近似值，即使取近似值也应当为2.5。118页练习B组第2题答案应当为√39/3 cm.

119页习题B5答案应当为（100-24√3）^0.5.

④关于平面向量在平面解析几何中的应用问题

75页第8题与教学参考书中79页15题在关于垂直问题的应用中如果利用平面向量的数量积分析，可以不必考虑斜率的存在性问题。

⑤教学参考书配套习题存在的问题

教学参考书124页中的知识与方法测试第五题答案应当为B，解答如下：双曲线的离心率的平方为（a² +b²）/a²,而椭圆的离心率的平方为（m²-b²）/m²,它们之积等于1，得到m²=a²+b²,所以该三角形为直角三角形。

教学参考书79页11题难度偏大，只能定性分析，建议用下面的题目替换：双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁┻PF₂，则点P到x轴的距离为------。

解：由题意知：│ PF₁ ²│+ │PF₂ ²│=4C²=100，（│ PF₁ │- │PF₂ │）²=4a²=36,

∴ │PF₁ │×│ PF₂ │=32，△PF₁F₂的面积等于16，点P到x轴的距离为16/5。

⑥表达问题

117页习题B组第1题答案最好表达为“平行于平面α并且与α的距离等于3 cm的两个平面”，才比较准确。121页2（1）的答案最好表述为“两个定点连线的中垂面”，才比较准确。

四、教材结构方面

34页在定义圆锥曲线时用到了直线与平面所成的角，可是这个内容在下一章学生才接触，能否把这个内容放在《直线与平面所成的角》这一节的后面，作为阅读材料，而把圆锥曲线的介绍作为本章的引言。

75页思考与交流5中提出了“从轨迹的角度来说，它们的统一定义是什么？”，可是圆锥曲线从轨迹的角度定义，在课程标准中没有要求，只是在67页的探索与研究中提到，是否作为基本要求？

选修2-2（2006年版）

1、 语言叙述方面

36页例题4应当为电源的电动势，用符号ε表示，这样可以和物理学统一起来。36页第7题应当注明g=10m/s² 才能和答案相符。

29页求极值与最值的步骤最好说成“算法”，在x₀附近f`(x)的符号不同最好表达为x<sub>0</sub>为f`(x)的变号零点，与必修1衔接起来。在《数学归纳法》提出了数学归纳法只能证明与正整数有关的命题，其实数学归纳法可以进一步拓广，见附录。教材出现了数系的概念，但是学生没有学习，能否改为数集？

2、 习题处理问题

32页例题2可以不考虑端点，34页例题4也可以利用平均值不等式，可以增加注解。37页练习B的几个题目利用二次函数更简洁，能否改成三次函数的问题？

63页例题4可以把前两种情况合并，也或者运用配方法解决：f(x)=(x³-1/2)²+(x-1/2)²+1/2＞0更简单，可以把本题换掉。

64页B组第3题在2-1中有这个问题,可以用下面的题目替代：

利用正弦定理推导余弦定理

证明：b²+c²-a²=4R²(sin²B+ sin²C- sin²A)=2 R²(2-cos2B-cos2C-2cos²A)=

2 R²［2-2cos(B+C) cos(B-C)- 2cos²(B+C)］=4R²［1-cos(B+C) cos(B-C)- cos²(B+C)］

=4R²sinB sinCcosA=2bccosA,∴cosA=（b²+c²-a²）/2bc,同理可以证明其他各式成立。

103页第六题可以设计从（cosA+isinA）²=cos2A+isin2A ，（cosA+isinA）³=cos3A+isin3A，（cosA+isinA）⁴=cos4A+isin4A，、、、、、、。让学生归纳出棣莫弗定理，并且用数学归纳法证明，这样学生可以进一步巩固第二章学过的知识，并且体会其应用。97页复数除法引入，99页习题A1（3）和第六题，101页1（3）、（9）和（15）最好注明a∈R,b∈R。

3、 难度问题

78页自测与评估第四题难度偏大。11页练习B第三题、14页习题B第三题超出课程标准的要求，建议删去。

4、 教学参考书中存在的问题

（1）习题答案存在的问题

第5页练习B（1）蓄水效果应该指蓄水量的变化率，因此6~8月份蓄水效果最好，2~4月份蓄水效果最差，而且图形差别不大，建议删去。类似（2）应该为甲厂治污效果最好。

11页练习B（1）答案应当为221m。

17页练习A第一题要求回答几何意义，应当为——c`=0的几何意义表示函数y=c图象上每一点处的切线的斜率等于0，x`=1的几何意义表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率等于1。

23页练习B2（6）答案应当化简成最简二次根式，习题A1（6）结果可以约分，7（4）答案错误，应当为-3/2（1+3x）^-3/2.

40页练习A第4题可以去掉绝对值符号。

48页3（6）正确答案为y`=3sin3x.4(6)正确答案为1/2。第9题应当注明精确度。12（2）题正确答案为16√2/3。50页第5题不应当取近似值，应当为19.6√3。

70页习题A第4题答案比较复杂，学生感觉难以理解，可以利用下面的方法证明：假设该方程有有理根，则△=4p²-8q 为完全平方数，即p²-2q为完全平方数。令p²-2q=k²，（k为整数），p²-k²=2q，（p+k）(p-k)= 2q,若k为 偶数，则p为偶数， q为偶数，与已知矛盾；若k为 奇数，则p为偶数， q为偶数，与已知矛盾。因此假设不成立，该方程没有有理根。

78页第4题难度比较大，可以删去或者给出答案，解答如下：

证明：由韦达定理得│a│=│x₁+x₂│, │b│=│x₁x₂│,∴│a│+│b│=│x₁+x₂│+│x₁x₂│.又∵│a│+│b│＜1，∴│x₁+x₂│+│x₁x₂│＜1。∴0＜│x₁+x₂│＜1，0＜│x₁x₂│＜1。

∴│x₁│与│x₂│大于1。若│x₁│≥1，0≤│x₂│≤1，

则│x₁+x₂│+│x₁x₂│＞│x₁│-│x₂│+│x₁x₂│=│x₁│+

│x₂│（│x₁│-1）≥1，与│x₁+x₂│+│x₁x₂│＜1矛盾；同理若│x₂│≥1，0≤│x₁│≤1，│x₁+x₂│+│x₁x₂│≥1，与│x₁+x₂│+│x₁x₂│＜1矛盾。

∴原方程两根的绝对值小于1成立。

选修2-3（2006年版）

1、 问题处理

第7页练习A的第2题用到了被加数和加数的问题，由于加法具有交换律，这个问题在小学已经淡化，最好该成除法，或者利用下面的几个题目替换：

例1、 已知H有三种同位素，Cl有两种同位素，O有两种同位素，请问共有多少种HCl分子和H₂O分子？

解：对于HCl分子分两步完成：第一步选择氢原子共有三种，第二步选择氯原子共有两种，根据分步乘法计数原理得出有6种HCl分子。

同理，对于两个H原子而言，如果是同种H原子有三种，不同种有C₃²种，即有6种选法，O原子有两种选法，因此共有12种H₂O分子。

例2、基因型为AaBbCcDd生物体自交，每对等位基因分别位于不同的染色体，不考虑基因突变，按照自由组合规律，产生后代的基因型和表现型最多有多少种？

解：根据遗传学原理，每对等位基因产生的基因型共有三种，表现型共有两种，根据分步乘法计数原理得出基因型共有3⁴=81种，表现型共有2⁴=16种。

一般地，n对等位基因产生的基因型共有3ⁿ种，表现型共有2ⁿ种。

例3、若集合A_1、A₂满足A₁∪A₂= A，则称（A_1、A₂）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A₁=A₂时，（A_1、A₂）与（A_2、A₁）为集合A的同一种分拆，集合A=

解：每一个元素有三种可能性——在集合A₁、集合A₂或者同时在两个集合内，因此根据分步乘法计数原理共有3ⁿ种分拆。同理一个集合有n个元素，拆成3个集合，共7ⁿ种分拆。

例4、已知：A₁∪A₂∪A₃∪A₄…∪A_m=

解：元素a₁对于集合A₁有两种可能性，对于集合A₂有两种可能性，、、、，但是a₁不能不在任何一个集合内，元素a₁共有2^m-1种可能性，同理元素a₂共有2^m-1种可能性，、、、，因此共有（2^m-1）ⁿ种分拆。

例5、设U= >2，3，、、、，9}，A与B是U的子集，若A∩B= >3}就称集对（A，B）为“好集”，那么所有好集的个数是（）

（A）6²（B）6³（C）3⁶（D）2⁶

分析：对于4，5，6，、、、，9这6个元素，每个元素有三种类型——属于集合A且不属于B，属于集合B且不属于A，既不属于集合A也不属于B，根据分步乘法计数原理得所有好集的个数是3⁶。

29页13（2）与41页7（2）最好去掉结论，让学生运用类比推理得出命题，然后判断真假。二项式定理最好要求学生运用数学归纳法证明，可以增加注解。75页第六题出现了超几何分布的方差的计算，可是这个公式在教材中并没有出现，只是在教学参考书中出现，是否可以把本题删去？ 97页注明了求和符号∑省去上下标，其实是顶标和底标的问题，最好加上，否则学生在学习过程中也会省去，导向不好。102页例题3与104页例题4最好把相关系数r 与r_0.01比较，这样就可以有99%的把握说它们具有线性相关关系。

2、 教学参考书中存在的问题

75页B组第一题原题本意不能同时猜出现两个正面和两个反面，因此本题正确答案应当是——猜出现一正一反，才能使他获胜的期望较高。第二题正确答案应当是0.5元。

3、 前后联系问题

在计数原理、排列、组合中可以增加和改造几个古典概型的题目，一方面复习前面的知识，同时为后面学习期望和方差作好铺垫。107页第五题提出了利用必修1中3.4函数的应用（Ⅱ）中的例题2，但是2005年版的必修1已经把这个题目删去，因此建议教材把这个题目去掉。

8、算法渗透问题

B版教材的特点就是建设具有中国特色的数学——构造性、算法化、中西融合的数学，因此应当在教学的每一部分渗透算法的思想，可以设计 Scilab程序验证结果，可以进一步巩固算法的知识，例如对于相关系数和回归系数的计算等。

(1) 41页11题设软片x片，磁盘y盒。

n=0;

for x=3:1:8

for y=2:1:7

if 60*x+70*y<=500

n=n+1;

end

end

end

print(%io(2),n)

(2)44页阅读材料

m=0;

for x=0:1:n

fory=0:1:n

for z=0:1:n

w=n-x-y-z;

m=m+1;

end

end

end

print(%io(2),m)

选修1-1（2006年版）

55页例题1中的图形不规范，双曲线与渐进线并非无限接近，容易给学生造成误解。104页的图形出现了导数不存在的问题，超出了课程标准的要求 ，学生感觉非常困难，练习A2（2）也超出了课程标准的要求。

附录1：数学归纳法的拓广

（李学生）

摘要： 本文指明数学归纳法的实质在于递推，将其从正整数集逐步推广至整数集、实数集、有理数集、复数集等集合，从普通加法运算推广至一般抽象运算，给出了一般集合上的数学归纳法，为数学命题的证明开辟了一条新的道路，同时举例说明了其应用。

关键词 ：数学归纳法、递推、整数集、实数集、抽象运算。

数学归纳法是证明与正整数集有关命题的一种重要的论证方法。许多数学命题利用其它数学方法很难证明或者根本无法证明，但利用数学归纳法很容易解决。数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论，为了证明命题的需要而演变成了多种形式，同时将数学归纳法从正整数集推广至所有良序集。

定义：设S是一个集合，≤是S中一个二元关系，满足 ① 对任何x∈S有x≤x; ② 对任何 x、y∈S有x≤y且y≤x 可得 x＝y; ③对任何 x、y、z∈S有x≤y且y≤z 可得x≤z，④ 对任何x、y∈S 均有x≤y或y≤x; ⑤若S的任何非空子集有最小元。则称S是良序集。

超限归纳法原理：设（S，≤ ）是一个良序集，P（x）是与元素x∈S 有关的一个命题，①如果对于S中的最小元 a₀，P（a₀）成立；②假定对于任何x＜a,Ｐ（ｘ）成立，可证明Ｐ(a)也成立。则 P(x)对任何 x∈S 都成立。

根据上面的理论，集合Ｍ＝｛n₀,n₀+1,n₀+2,······｝，n₀∈ Z,　对于普通数的大小是良序的，因此类似于正整数集也可以列出数学归纳法的各种形式．整数集与实数集对于普通数的大小不是良序的，但可对其重新规定序使其成为良序集，不过有时给证明命题带来很大困难．倘若我们从另一个角度审视数学归纳法会发现数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论，其实质在于递推．

（－）整数集上的数学归纳法原理

定义：任何一个非空集合Ｚ的元素叫做整数，如果在这个集合里的所有元素之间有两种基本关系―＂前继＂与＂后继＂满足下面的公理：① 对任何一个数a，存在着且仅存在者一个后继数a'与前继数'a；②任何数只能是一个数的后继数与另一个数的前继数；③ 存在a∈Ｎ，且a∈Ｚ；④（归纳公理）设Z有一个子集M，满足条件　

Ⅰ Z₀∈M,且Z₀∈Z；　　　　　　　　　　

Ⅱ 若a∈M，有^,a∈M，a^, ∈M.则M=Z.

1、 第一数学归纳法原理：设有一个关于整数集Z的命题p(Z),①若存在Z₀∈Z，p（Z₀）成立；②若p(k)成立，则p(k+1)与p(k-1)均成立。那么对于任意整数Z，p(Z)都成立.

证明：设M是使命题p（Z）成立的整数集合，于是：①因为存在Z₀∈Z，p（Z₀）成立，故得Z₀∈M：②因为假定p(k)成立的条件下，能推出p(k+1)与p(k-1)成立，即由k∈M能推出^,k∈M,k^,∈M.因此集合M具有整数定义中归纳公理的条件①②,由归纳公理得M=Z。 故p(Z)对于任意整数Z都成立.

2、 第二数学归纳法原理：设有一个关于整数Z命题p(Z)。①若存在Z₀∈Z，p(Z₀)成立；②设Z₀≤x＜k₁,若p(x)成立，则p(k₁)成立；③设k₂＜x≤Z₀ ,若p(x)成立，则p(k₂)成立。那么p(Z)对于任意整数Z均成立。注：k₁与k₂为整数。

证明：假设p（Z）不是对于所有整数均成立，根据整数集的序数理论，可以找到一个整数Z₁，不妨设Z₁≥k₁(当Z₁≤k₁时，证明类似)，使p(Z₁)不成立，而p(Z₁-1)成立。根据归纳假设--由p(x)，k₁≤x＜Z₁-1成立，得p(Z₁)成立.这与前面的假设相矛盾。故p(Z)对于任意整数均成立。

数学归纳法可以应用于整数集的实质在于整数集中相邻两数的差为定值1，那么它也可以应用于其它公差为定值或公差为统一公式的数集，例如集合M=｛n₀,n₀-1,n₀-2,…｝，n₀∈Z。奇数集或偶数集也可以建立其序数理论，方法及证明类似于整数集，只不过将k±1变为k±2即可。

综上所述，数学归纳法可以应用于整数集及其某些子集，而数论主要是研究整数性质的，所以数学归纳法的拓广可能有助于数论的研究，例如可以把某些关于正整数的命题推广至整数集等。下面举例说明数学归纳法在整数集中的应用。

例1 求证：对于任意整数x，f(x)= 0.2x⁵+1/3x³+ 7/15x是一个整数。

证明：①当x=0时，f(x)=0命题成立。②假定当x=k时命题成立，即f(k)=0.2k⁵+1/3 k³+7/15k为整数,

则当x=k±1时f(k±1)=0.2 (k±1)⁵+1/3 (k±1)³+7/15(k±1)=(k⁵/5+k³/3+7k/15)±k⁴+2k³+3k²+4k±1∈Z。

这说明当x=k±1时命题成立。由①②可知，对于任意整数x，原命题均成立。

下面笔者举出几例，作为引玉之砖。

① 当n为任何非负偶数时，xⁿ-1都可以被x+1整除；当n为任何非负偶数时，xⁿ+1都可以被x+1整除；

② n³+5n能被6整除（n∈Z）。

③ 若x∈Z,x³+2x+3y=0,则y∈Z.

④ 已知：x+x^-1=2cosθ。求证：xⁿ+x^-n=2cosnθ,n∈Z.

㈡实数集上的数学归纳法

在运用数学归纳法证明有关整数集上的命题时，初始值取一个数，若将初始值变为一个区间，则可证明实数集上的某些命题。下面列出实数集上的第一数学归纳法原理，其它形式及证明从略。

第一数学归纳法原理：设p(R)是一个关于实数集的命题。若存在R₁，R₂∈R，在［R₁，R₂］上命题p(R)成立；若假设p(k)成立，能推出p(k±L)成立，其中0＜L≤R₂-R₁,则p(R)对于所有实数均成立。

［注］ 若将闭区间改为开区间或半开半闭区间，0＜L＜R₂-R₁.

例2 已知：a∈R*，求证：f(a)=a⁸-a⁵+a²-a+1＞0

证明： ①若a∈[0，1]，则a²≥a⁵,f(a)==(1-a)+(a²-a⁵)+a⁸＞0，命题成立。

②设k∈R*，若f(k)=k⁸-k⁵+k²-k+1＞0，则f(k+1)=(k+1)⁸-(k+1)⁵+(k+1)²-(k+1)+1=(k⁸-k⁵+k²-k+1)+8k⁷+28k⁶+56k⁵+65k⁴+56k³+18k²+5k＞0

∴对于任意a∈R*，f(a)＞0

例3 运用数学归纳法证明：2^m＞2m+1,（m∈R,m≥3）。

证明：①当m∈[3，3.5）时，左边=2^m≥8，右边=2m+1＜8，命题成立。

②假设当m=k是命题成立，即2^k＞2k+1,那么当m=k+0.5时，2^k+0.5＞（2k+1）2^0.5=（2k+1）+（2^0.5-1）（2k+1）。

因为（2k+1）＞3，所以（2^0.5-1）（2k+1）＞1，即2^k+0.5＞2（k+0.5）+1。命题成立。由①②可知，2^m＞2m+1,（m∈R,m≥3）。

前面我们所讨论的数集都是对加法或减法构成递推数集，实际上任何一个集合（不一定是数集）通过某种运算，能使该集合的各个元素之间具有递推性，原则上也可以利用数学归纳法原理证明,例如双等差数集与集合M= >,2ⁿ,…}。因此数论中有些猜想至今没有证明，或许可以构造一种新型运算，使集合中的元素具有递推性，从而得到解决。通过推广数学归纳法还可将某些集合上的命题拓广.下面列出一般集合上的第一数学归纳法原理，其它形式略。

第一数学归纳法原理：设命题P是关于集合M的命题。通过构造某种运算*，使得集合M= >}中的元素具有如下关系：a₁*q=a₂,a₂*q=a₃,…,a_n-1*q=a_n,…….若P(a₁)成立,在假定P(a_k)成立的条件下,可以推出成立.那么命题P对于集合M中的任何元素都成立。

注:1、 运算*可以是代数运算,也可以是超越运算,甚至于可以是一般的抽象运算.

2 、元素可以属于集合M,也可以不属于M,譬如正整数集中1∈N*,奇数集中2不属于奇数集.

3、当上述方法还是无法证明时 ,可以考虑数学归纳法的其它形式,也可以分成几个集合,定义不同运算分别进行归纳,也可以各种形式混合使用.另外也可以去掉有限个元素后,使其具有递推性,但去掉的元素应单独证明.

4 、有些集合需要多步证明,例如有理数集可分别归纳分子与分母,复数集可分别归纳实部与虚部，或者分别归纳模与辐角.下面列出有理数集上第一数学归纳法原理,其它形式及证明从略.

第一数学归纳法原理:设有一个关于有理数集Q的命题P(Q),①若存在Z₀∈Z,命题　P(Z₀)成立;②若P(k)成立(k∈Z),则P(k')与P('k)均成立;③任取m∈Z,若P(m/n)成立(n∈N),则 p(m/(n+1))成立,那么对于任意有理数Q,命题P(Q)均成立.

参考文献:1、《应用近世代数》 胡冠章 清华大学出版社 , 1993年版, 25页—27页。

2、《数学猜想》 第一卷，数学中的归纳与类比，[美] G·波利亚著 ， 李心灿、王日爽、李志尧译，科学出版社，1987年8月版 ，118页—132页

注：本文已经发表于《济南教育学院学报》2002年第4期。

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