李学生 （lixueshenglxs@21cn.com）　2007.05

数学，充满矛盾，充满辩证法。矛盾无处不在，辩证法俯拾皆是。极限的思想过程本质就是量变引起质变的绝好范例。数学和物理，一个是形式，一个是内容，两者的结合正好刻划了一个完整的世界。数理的发展就像两条腿走路，有时数学在先，有时物理在先，并遵循各自的发展规律。然而任何一方的重大突破都会给另一方以巨大的刺激，进而带来共同的发展。同样数理学习也有其内在的规律可循，需要我们共同探索。理论物理学和现代数学中的函数、集、矩阵、线性与非线性方程组、向量、几何，拓扑、流形、导数、积分、级数、极限、实数、连续、概率、代数结构等内容，都有很深的联系。英国科学家发表文章《宇宙学的黄金时代》已经来临，指出：“在我们思考宇宙的方式方面最近取得的进展以及能够追溯时间的工具，正在使科学家们越来越接近科学的圣杯———一项包罗万象的理论……几十年来，世界上一些最杰出的物理学家一直努力寻找破解宇宙奥秘的钥匙，但收效甚微……但是，仅仅是最近几年，才得以发现了真正的答案，所有技术当中最强有力的却被证明是笔和纸(数学法)……”著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁所说“物理学的最终目标是建立一种统一的数学理论构架，这种美是最终极的美”， 爱因斯坦没有获得成功，却留下了这样一段话：“物理学家的最高使命是要获得普遍的基本定律（宇宙核心定律），由此世界体系就能用单纯的演绎方法建立起来。”

虽然人们已经认识到复杂世界的演化并不是数理方法的简单化原理所能确定的，然而数理基础终究是无法绕开的，经济学家从正反馈悟出了“边际收益递增”原理，生物遗传信息的核心定理出自数学家之手``````。复杂系统对数理科学的依赖性正在不断加大加深。

由物理学理论的基本物理学原理，只有通过数学推导，才能产生可检验的物理学效应。因此，任何一个物理学理论完整的刚性框架，都是由数学构成的。经不起数学检验的理论肯定是错的（这句话不能推出“经得起检验就是对的”）。但有些物理学原理，可以在数学推导过程中产生，尤其是现代物理学理论。物理学理论是由一组物理学原理，镶嵌在数学构成的框架中，形成的一种刚性理论。只要有足够的数学可以建立框架，由一组已知的物理学原理，导出一个物理学理论可能并不难，是一个研究生就可以做的事。但一组新的物理学原理的产生是很难的，没有人能教您怎样才能创建一组新的原理。这种物理学的“镶嵌物”，和数学的“刚性框架”，有着非常奇妙的关系。

1、建立框架过程中引出的镶嵌物

物理学家都希望，能发现一组全新且简单的物理学原理，进而带来一个刚性的理论体系。但实际有很多刚性的原理，并不是预先设定好的，而是在过程中诞生。最恰当的例子就是：迪拉克在试图通过粒子波，重建薛定谔形式的量子力学，使它能跟狭义相对论一致时，发现电子必然有一定的自旋，和存在反电子以及负能量电子的物理学原理，并取得了巨大成功。

2、数学框架的“便携性”

数学框架不但具有可镶嵌性，而且具有便携性。即为一组物理学原理，而建立的数学框架，有时即使是原理错了，框架仍然可以保留下来。最典型的例子还是迪拉克的电子理论。现在我们已经知道：量子力学和狭义相对论的融合，不是迪拉克所寻求的那种薛定谔形式的波动力学，而是海森堡和泡利提出的更为一般的量子场论。只是在只涉及光子、电子、反电子时，迪拉克的电子理论碰巧和量子场论具有相同的结果。但是，迪拉克为其电子理论所建立的数学框架，却作为量子场论的基本形式保留下来。因此，迪拉克的相对论波动力学死了，但理论的结构却仍然活着。

3、框架的完整性

有时一个数学理论，无意中好象是专门为一个物理学理论而创立的，具有非常好的完整性。爱因斯坦在想到用时空弯曲来表述引力时，问他的数学朋友格罗斯曼，有没有能表达三维以上空间弯曲的数学。格罗斯曼告诉并教会他，有黎曼等人在欧几里得几何上发展出来的黎曼几何。黎曼无论如何也想不到，他为爱因斯坦量身定做了一个物理学框架。爱因斯坦把“等效原理”和“时空弯曲”，原封不动地镶嵌在黎曼几何中，“轻而易举”地创建了无可挑剔的广义相对论。

4、框架的超前性

有是物理学家为了创建某种理论而苦苦思索，但忽然他们发现，数学已经为他们提供了这样的理论。典型的例子是：在物理学家寻求粒子大家庭，能生成什么样的内部对称时，发现在数学的“群”和“群论”中，早已把可能的对称都分类好了，根本无须在研究什么了。难怪物理学家威格纳说：数学（在物理学中）具有一种莫名其妙的作用。

把实际问题抽象成数学模型，科学已经有一套比较成熟的思想、方法和技术。但科学没有直接到数学中去发现自然规律。究其原因是在一般人的意识里，数学只是一个工具；借助于这个工具可以更好、更快和更多地发现自然规律，却不知道在这个工具里还隐藏着自然界最一般的规律。虽说数学哲学研究数学的真理性，但它不研究怎样去发现隐藏在数学中的真理。挖掘数学的真理，就是要挖掘出潜藏于数学的宇宙基本信息，使隐含其中的规律自然显现出来。这不仅是一种新的科学思维方法和技术，而且对于“数学地理解”问题，或者说通过数学看世界也是十分重要的。现在导数已经进入了中学数学，因此它必将对中学物理的教学产生较大的影响。笔者结合自己的教学实践，列举几例，作为引玉之砖。

一. 利用导数求某些物理量的变化率问题

导数就是一个量对另一个量的变化率，在物理学中的基础，例如物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等。

例1 假设一个闭合线圈的磁通量为φ=3sin5t+4cos5t,求感应电动势的最大值。

解：根据电磁感应定律ε= —φ`=-15cos5t+20sin5t=25sin(5t-arctan0.75),所以感应电动势的最大值为25V。

二 利用导数求某些物理量的最值问题

例2 重量为G的木块，停在水平地面，它与地面间的滑动摩擦系数为μ，一个人想用最小拉力F使木块沿地面匀速运动，则F为多少？

解：设拉力与水平方向夹角为θ时，木块匀速运动，由力的平衡条件得：

Fcosθ-f=0 ① , Fsinθ+N=G②， f=Nμ③，θ为锐角。

由①②③得F=Gμ/（μsinθ+cosθ），令T=μsinθ+cosθ，则T`=μcosθ-sinθ,令T`=0，得tanθ=μ，sinθ=μ/（1+μ²）^0.5，cosθ=1/（1+μ²）^0.5，在θ=arctanμ处，T取极大值，又因为只有一个极值点，所以T取最大值，因此F_min=Gμ/（1+μ²）^0.5.

例3、一半径为R的圆盘绕水平轴匀速旋转边缘速度为v，轮边缘有水滴从各位置甩出，求轮边缘抛出的水滴上升的最大高度及相应的抛出点位置。

解：如图，设∠AOB=θ，则A点高度h₀=Rsinθ，A点抛出水滴竖直速度为vcosθ，上升的最大高度h=v²cos²θ/2g。∴上升的最大高度H= h₀+h =Rsinθ+v²cos²θ/2g =Rsinθ+v²（1-sin²θ）/2g ，令u=sinθ∈[-1，1]

∴H= - v² u²/2g+ Ru+ v²/2g

H`=- v² u/g+ R，若- v² u/g+ R＞0，则u＜gR/v²; 若- v² u/g+ R＜0，则u＞gR/v²。

∴1. 若gR/v²≤1，则H_max=(v⁴+R²g²)/2v²g

2、若gR/v² ≥1， 则H是u的减函数，当u=1，H_max = R

网站简介　投稿指南　特别声明