|
 李学生 （lixueshenglxs@21cn.com） 2007.05
一、高中数学新教材实施的意义
现代教育理论主张把发展智力、培养创造力作为教学的出发点。教材研究是面向中国教师和学生的一大课题，教法形成是形成一个教师或一个学校的教学风貌，学法探讨是针对不同程度，不同环境中的学生，乃至一个学生的心理素质、思维形成和道德品格的综合分析。从2000年9月开始， 我们进行高中数学新教材的教学，下面结合教学实践把教学过程中的体会简要汇报如下。在新教材的教学中， 我们发现新教材与原教材相比，具有以下特点：
㈠新教材适当调整了中学数学的教学内容，合理设计进度
新教材的一个显著特点就是对老教材中一些传统的、现代数学发展中的一些非主流的内容进行了大刀阔斧地删减，减轻了学生的课业负担，同时将现代数学中应用广泛，而且学生能够接受的知识列为中学数学知识。例如新教材把半角公式、体积公理、幂函数、圆锥曲线的画法、极坐标、行列式与线性方程组、反三角函数的图象及性质、三角方程、复数的三角形式等删掉，和差化积、积化和差公式教学大纲只要求引出，而应用不再作为必学内容，把绝大多数学生感到相当困难的立体几何移至高二下学期，复数（删去三角形式）与数学归纳法从必修本移到选修2。在教学过程中，应根据新大纲的要求，准确把握新教材的内容。新教材虽然增加了一些内容，但是总课时数却减少了，理科减少24课时，文科减少68课时，解析几何由50课时变为40 课时，立体几何由57课时变为36课时。新教材的一个重要的特点是允许使用计算器处理复杂计算。
㈡新教材的科学性增强，工具性内容适当前置，注重数学知识的衔接，符合学生的认知规律
平面向量、集合、简易逻辑具有基础内容的特点，集合的方法、逻辑推理的方法、联系的方法（包括向量法、解析图象法等数形结合方法）是研究高中数学 的基本方法，因此这几项内容完全渗透在其它内容之中，在解决问题发挥着十分重要的作用，新教材适当前移，后面逐步加深；新教材把圆与圆锥曲线分开，有利于学生理解圆锥曲线的第二定义。
㈢新教材突出了数学思想方法，注重数学能力的培养，有利于素质教育的实施。
数学思想是数学的灵魂，思想和方法是数学的重要基础知识，也是学好数学的一把钥匙，只有在教学中不断暴露思维的过程，用思想驾驭教学内容，才能把学生教活，才能使学生在解决问题中表现得机智灵活，才能使我们的教学充满活力。
传统的数学教材把数学思想方法散落在一些例题之中，并未作明确的概括提炼，试验教材着力弥补了这个缺陷，已成为培养数学思想方法、提高学生数学素养和能力的一个良好的载体。例如化归思想是数学的精髓，新教材在章节复习明确提出了化归思想，教学大纲明确提出数学思想方法是中学数学的教学目的之一。中学数学中“化归”可以说是无处不在，无时不有，包括已知和未知间的化归、复杂向简单的化归、高维向低维的化归、数与形间的化归、总体与个体间的化归、精确与近似间的化归、必然与偶然间的化归等。新教材最突出的特点之一就是强调从特殊到一般的 思想，并不强调严格证明，降低了学习的难度，也有利于培养科学的思维方式。
新教材对于函数思想的渗透是分阶段进行的，在第二章介绍了函数的定义、单调性与几种常见的函数；第三章指明数列是一种特殊的函数，第四章三角函数也是一类重要的函数，并且研究了函数的周期性与奇偶性；第六章不等式的解法也渗透了函数的思想；第七章在线性规划中提出了目标函数——多元函数；在选修2中运用函数的思想提出了随机变量，在极限中研究了数列与函数的极限，在此基础上提出了函数的连续性问题，最后研究了函数的导函数等。因此函数是高中数学的一条主线，新教材进一步突出了这个问题。
在教学中，对于几个朴素、自然、贯穿整个数学教育体系的思想方法 ，不仅要开宗明义加以阐述，而且要引导学生去发现、去体验，要注意联系实际讲授教学内容，注意对其中的数学思想方法加以提炼，使之能逐步被学生掌握并对他们发挥指导作用。如果学生只知道一些数学结论，而不懂得数学的精神和思想方法，就不能算真懂数学，所以要尽量从实际出发，通过分析抽出实质，加以归纳、概括，形成概念，掌握方法，尽量举例解说数学的精神和思想。
新教材把原来培养学生的逻辑思维能力改为思维能力，扩大了范围，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断。
㈣ 向量的引入大大简化了中学数学，为中学数学注入了新的生机与活力。
向量在解析几何、平面几何、立体几何、复数、三角学与不等式等方面均有广泛的应用，例如余弦定理、定比分点公式、两点间距离公式、线线平行、线线垂直、两条直线的夹角公式、平移公式的证明、斜率公式的推导、圆的参数方程的推导、线面垂直的判定、异面直线两点间的距离公式的推导得到了简化。
受新知识体系的影响，作为最近一个世纪才兴起的“向量数学”这套数学体系，以其优良的运算通性，将数学中的“数量”运算与物理中的“矢量”运算有机地结合起来，充分数学作为一门基础性学科的重要地位。
向量作为一种新的量，它不同于数量，数量的代数运算在向量范围不一定能施行，因此在实际教学中，应明确数量和向量的区别，并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的积、向量的数性积和矢性积等运算法则。并在引入二维坐标系后，将向量与坐标紧紧联系起来，增加了向量的渗透性和实用性，更体现了向量运算的价值，下面简单附几例以亨读者。
例1
设△ABC是锐角三角形，在△ABC外分别作等腰Rt△BCD、△ABE、△CAF，在这三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角，又在四边形BCFE外作等腰Rt△EFG，∠EFG是直角，求证：（1）GA= AD （2）∠GAD=1350
（1994年上海市试题）
 【简析】：以点A为原点建立直角坐标系（复平面），记G相应的复数为ZG，D相应复数为ZD，如图，
 ZG=AG=AF+FG
=AF+EF
=AF+（EA+AF）
    
=AF（1+）+BA
 （-1+）ZD=（-1+）AD
=DA+AD
=DB+BA+（AC+CD）
=BA+DB+BD+AC
=BA+（AF+FC）
=BA+AF（1+）
∴ZG=（-1+）ZD 即 GA=AD ，∠GAD=1350 。
【评析】：此题将向量与复数二维坐标系完美地结合起来，化繁为简，创造性使用向量完成了证明，值得同学们借鉴。本题也可用传统平几证明方法证明，这里不再赘述。
例2
如图，已知位于同一平面内的正三角形ABC，CDE和EHK（顶点依逆时针方向排列），并且AD=DK。证明：△BHD也是正三角形。
（1981年苏联试题）
    【简析】：将△CAD绕C点逆时针旋转600，易知其得到△CBE， ∴ │AD│=│BE│ 且AD、BE夹角为600
又∵AD=DK
 ∴│DK│=│AD│=│BE│ 且DK、BE的夹
 角也是600
再将△HBE绕H顺针旋转600，又因为
△EHK是正三角形，所以点E转到K，线段EB
与KD重合，即B转到D
于是│HB│=│HD│，∴HB、HD夹角为600
∴ △BHD是正三角形。
【评析】：此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明了正三角形的结论。实际题中条件“”等价于“在一直线上，”这个条件，读者可以利用初等平几知识进行证明，但均不如向量证法简洁明了。
 例3 在半径为15cm的均匀铁板上，挖去一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板的中心相距8cm，圆洞的半径是5cm，求挖去圆洞后所剩下的铁板的重心。
 【简析】：如图，以铁板中心O1为原点建立直角坐标系，设挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为
O’（x,0）及圆洞中心O2
     如果在O’（x,0）处给一个支持点，根据重心原理，剩下的铁板应该处于力的平衡状态，即其余各力的力矩和应为0 ，则
│F1│·│O’ O1│-│F2│·│O’ O2│=│0│
----------------------------------------------------------(*)
这里，│F1│=π×152 │F2│=π×52
│O’ O1│=
x │O’ O2│= 8+x
代入(*)得，x = -1
∴挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为O’（-1,0）
【评析】：这实质上是一道物理题的“变题”，利用“物体在平衡时，力矩和为0”来解题，这里力矩就一个向量，正体现了数学作为一门“工具性学科”的基础用途。
高中新教材在引入向量以后，使得平面几何和空间几何中许多定理、公式及一些相关问题变得直观、浅显、易理解。教材还通过布置一定量的“实习作业”、“研究性课题”等实践内容让学生亲身体验数学活动的过程，提高他们的数学素养，以达到培养学生创新精神和应用能力的目的，这也是高中新教材改革之宗旨和目标。
㈤新教材注意了学生的差异
新大纲指明教师应尊重学生的人格，关注个性差异，区别对待，因材施教，因势利导。在教学中宜从学生的实际情况出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，调动所有学生学习数学的积极性。改进教学策略，满足学生的不同学习要求，发展学生的数学才能。
新教材设立了必修本、选修本，在选修中又分为选修1与选修2两个版本，以降低文科、实科学生的学习难度，每一章均设立了A、B两组复习参考题，供不同学生选用，体现了教育改革的方向以及培养新世纪创新人才的要求。教师应当尊重学生的人格，关注学生的个体差异，满足不同学生的需要，创设能引导学生主动的教育环境，使每一个学生都能得到充分的发展。改变传统教材过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使学生获得知识与能力的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。例如半角公式、积化和差、和差化积公式以公式复杂、记忆困难、运算烦琐著称，只要求会证明， 不要求会用。一方面降低了要求，使得重点知识更突出、认知结构更优化、能力目标更明确，突现了将知识作为发展能力载体的思想；另一方面，既让广大学生跳出了“难、偏、怪、烦”的“题海”，又让学有余力、学有兴趣的学生的认知水平和能力水平达到更好的发展和迁移，解决了数学教学中常见的“吃不饱”和“吃不了”的矛盾，体现了让不同的学生学不同的数学、让不同程度的学生都能达到不同程度发展的思想，将素质教育落到实处。
㈥规范了符号的书写
新教材在编写过程中注意运用国际标准符号，例如物理量的单位尽量用国际统用符号，而不用汉字; 补集的表示；集合
>∈R|
x－3＞2}不再写成
>3＞2，x∈R}；自然数集包括0等。子集、真子集、补集、非、正切、余切、反正切、弧度的符号、排列数的符号均采用国际通用符号。加法原理、乘法原理分别改称分类计数原理与分步计数原理，复数中虚轴包括原点，与国际惯例接轨。新教材直接引出导数的概念，而不仅仅提函数的变化率，与高等数学接轨。新教材首次把圆与圆锥曲线区别开来。
㈦ 增加研究性课题，突出创新能力的培养 。
本次修订将"解决实际问题的能力"作为教学目的之一纳入大纲。它是以思维能力、运算能力、空间想象能力等三个基本能力作为前提和基础，要求"会提出、分析和解决带有实际意义或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会用数学的语言表达问题，进行交流。"
为了加强解决实际问题的能力的培养，本大纲将实习作业从原有的三个增加到四个，并且在教学目标中，提出对各个实习作业的教学要求。在教学中，强调要培养用数学的意识，即一方面应使学生通过背景材料，进行观察、比较、分析、综合、抽象和推理，得出数学概念和规律；另一方面使学生能够运用所学知识，将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，并加以解决。要引导学生接触自然，了解社会，鼓励学生参加形式多样的实践活动。在《全日制普通高级中学课程计划》中，综合实践活动课是国家规定的必修课，包括研究性学习，劳动技术教育，社区服务，社会实践四个部分。研究性学习是综合实践活动中的一项重要内容，其着眼点在于改变学生的学习方式，即改变那种偏重机械记忆，浅层理解和简单应用，仅仅立足于被动地接受教师的知识传输的学习方式，帮助学生在开展有效的接受学习的同时，形成一种对知识进行主动探求，重视解决实际问题的积极的学习方式。
研究性学习的设立是我国新世纪课程改革的一项新举措，符合国际基础教育改革和发展的趋势，符合我国新世纪培养高素质人才的需求。新大纲要求在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力。新教材新编教材把培养学生用数学的意识贯穿在教材编写的始终，教材的正文一般都注意从实际引入概念，从实际提出问题，例题、习题中也增加了一些联系实际的内容。新教材开设了5个实习作业，尤其是概率与统计的实践性很强，目的是让学生应用所学数学知识，提高解决实际问题的能力，使学生在参与数学活动中受到训练和提高。在教学中一方面应使学生通过背景材料，进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括，得出数学概念和规律；另一方面使学生能够运用所学知识，将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型。必修本开设了4个研究性课题：数列在分期付款中的应用、向量在物理学中的应用、线性规划的实际应用、多面体欧拉定理的发现，选修本也设立了几个研究性课题供教学时参考，培养学生的科研意识与科研能力。关于研究性课题，作为一种新型的探索性课题，应以学生所学的知识为基础，密切结合生活和生产实际，达到教学的目标——学会提出问题和明确探究方向；体验数学活动的过程；培养创新精神和应用能力；以研究报告或小论文等形式反映研究成果，学会交流。
本大纲将"形成创新意识"写进了教学目的，放在四个能力之后，对创新意识的培养是贯穿于知识教学、能力培养的全过程中，同时又是逐渐形成的，不宜要求过高、操之过急。创新意识主要是指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，有追求新知识的欲望，能够独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和研究。
为了加强创新意识的培养，本大纲增设了"研究性课题"，要求每个学期至少安排一个研究性课题，平均每个课题安排3个课时的教学时间。研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学的角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究，在研究过程中要以学生的自主性、探索性学习为基础，倡导从学生生活实际、生产实际自拟研究性课题。在研究性学习中，教师是组织者、参与者和指导者，注意培养学生的科学精神和科学态度。
在教学中要激发学生学习数学的好奇心、求知欲，要启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考和钻研问题，鼓励学生创造性地解决问题。
㈧ 增强可读性，培养自学能力，突出了知识的发生、发展过程及应用。
新教材实现了从主要为教师而 写改变为主要为学生而写的目标，结合学生的心理特征，在每一章的引言部分和阅读材料部分或提出问题激发学生渴求新知的求知欲，或配以直观形象的照片，或以一则引人入胜的故事，创设问题情景。对比传统的数学教材，试验教材一个重要特点是增加了课本的通俗性和可读性。每章都有序言、插图，在序言中均有一、两个实际问题，引入本章知识，使得原本枯燥冷峻的数学变得通俗自然，使学生认识到一方面数学知识来源于生产实践，同时服务于生产实践的辩证唯物主义观点。增加了注解与阅读材料有利于学生自学，了解数学概念的发生、发展过程，教材共设立了24个阅读材料，分别是集合的元素个数、对数的发明、自由落体运动的数学模型h(t)=(1/2)gt2、有关储蓄的计算、三角函数与欧拉、潮汐与港口水深、向量的三种类型、人们早期怎样测量地球的半径、正数的算术平均数与几何平均数、向量与直线、笛卡儿与费马、圆锥曲线的光学性质及其应用、向量概念的推广与应用、从集合的角度看排列、组合和概率、抽签有先有后对各人公平吗、累积频率分布、回归直线方程的推导、不完全归纳法与完全归纳法、无穷等比数列的和、变化率举例、近似计算、复数系是怎样建立的以及长度、面积与体积， 同时注意了与相关学科的联系，增加了网址，便于有条件的学生查阅。这些生动有趣的文字、美丽而富有启发性的照片和图画以及精心选择的有利于扩展视野的阅读资料，可能会使学生的学习兴趣保持长久不衰。
为了促进学生的发展，新教材十分注意拓宽学生的知识面，将数学家和部分重要数学名词尝试给出了外语注释，如数学家欧拉(Euler)、牛顿(Newton)等，数学名词如数学模型方法(mathe-matical modelling method)、函数(function)等，体现了与我国教育改革发展方向的一致性。
㈨注重人文教育
教学中要改革教学方法和教学手段，通过介绍数学史实，开展数学活动和日常教学，激发学生学习数学的兴趣，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和创新意识，在测试和评估中要注意评估学生创新意识和能力的发展情况。
新大纲指明激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辩证唯物主义世界观，把进行思想品德教育作为教学中注意的一个问题。
新教材在章节复习中总结本章知识蕴涵的哲学思想，在阅读材料中介绍了数学史，尤其介绍了中国古代在数学方面的成就，例如杨辉三角、刘徽的割圆术等。
㈩ 选修本的调整
由于原教材的选学内容中，只有反三角函数、极坐标、参数方程作为理科高考的内容，因此其它内容基本上形同虚设，然而新教材选修1作为文科高考范围，选修2作为理科高考范围。
新旧教材的选修本、必修本相比，有如下变化：
把数列极限移到限定选修本2，而且极限的定义改为描述性定义，无穷等比数列当公比小于1时的和改为阅读材料，函数的极限、导数的定义及应用要求必选，概率由必修选学改为必修，在选修中增加统计，选修2增加随机变量与函数的连续性；数学归纳法、复数去掉三角形式后移到选修2。选修1不再保留数列极限与函数极限，导数定义改为描述性定义。
新教材选修本删去下列内容——极坐标、反三角函数的图象及性质、三角方程等。
在教学中应当转变教育观念，坚持树立“以学生发展为本”的教育理念、倡导“以学生为学习主体”的教育思想，由“应试教育”转向全面提高国民素质的轨道上来，面向全体学生，促进学生全面发展，注意培养学生的创新精神和实践能力。
下面分章节分别说明一下。
必
修
本
第一章 集合与简易逻辑
由于集合、简单不等式是训练学生逻辑思维比较好的章节，因此新教材把它作为高中数学的第一章，指明集合论是现代数学的基础，可以起到承上启下的作用。因为本章所举的例子多数为初中学过的知识，可以进一步巩固初中知识，为后面的学习打下基础。一元二次不等式、四种命题在初中没学过，内容也比较简单，放在起始章节不但为后继学习打下基础，而且降低了起始难度，尤其是四种命题在 初中从1996年开始已经删去了, 高中教材一直没有这部分内容，造成一个空挡。14页第8题介绍了集合运算的德摩根律，供学有余力的学生学习。
复合命题在数学中比比皆是，因此讲授复合命题真假的判定在教学中肯定会得心应手。充要条件是一种比较简单的思维逻辑。学习数学需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这也离不开对逻辑知识的掌握和运用。其次，在日常生活中 ，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。教材在第一章学习完充要条件后，在映射一节中指出--在映射f:A→B中，象的集合C=B是一 一映射的必要条件；在等差数列中介绍A=（a+b）/2是a,A,b成等差数列的充要条件；两条直线平行与垂直的充要条件；不等式证明中分析法的实质是寻求充分条件，使学生对分析法认识更为清晰等，多次强化使学生认识不断深化。学习简易逻辑主要是为了进一步学习其他知识作准备，所以对知识的系统性、严谨性要适度；关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在开始时，教学重点还是借助三个真值表，加深对复合命题的了解，而不必要急于让学生掌握对一般复合命题真假的判定。
在集合的表示方法中，明确提出了可以用封闭曲线的内部表示集合。在某些知识点上明显地降低了难度。例如集合论中要求"掌握有关的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合"，而原大纲为"较简单的要求"，删去了"较"字，适当地降低了要求。在充分条件与必要条件一节中，指明“如果A成立，则B成立。那么A叫做B的充分条件，B叫做A的必要条件”，学生更容易区别它们，与原教材的叙述不一致。
在一元二次不等式中增加简单的分式不等式的解法为函数定义域的求法铺平了道路；原教材中一元二次不等式学习了两次，新教材合二为一，节约了课时。在四种命题的后面增加反证法也可以弥补初中学习的不足，为数学及相关科目的学习带来了很大的方便； 在含绝对值的不等式解法一节中根据绝对值的几何意义运用数形结合思想处理，一改过去由绝对值的定义分类讨论的作法，使问题得以简化。 在一元二次不等式的解法一节中教材先介绍了一元二次方程、一元二次不等式与一次函数之间的关系，然后类比得到一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系。在不等式的解法、命题的真值表、四种命题等多处体现了分类讨论的思想。在集合与简易逻辑中多增加一个阅读材料——集合的元素个数，介绍了集合的两个实际应用例子。
第二章 函数及其图象
函数是高中数学的一条主线，因此本册教材第二章介绍了函数及其图象，第三章介绍了数列，并从函数的观点认识数列，主要是为了突出函数思想。为了体现函数与方程的关系，新教材增加了不少有关的应用题。第四章三角函数也是一种常见的函数。
在函数的列表法表示时增加了国民生产总值表，图象法表示时增加了我国人口出生率变化曲线；增加了函数的应用举例，分别介绍了函数在复利计算以及物理方面、个人所得税等方面的应用，增加了几个练习题与习题，在实习作业中介绍了运用函数分析人口增长问题，并要求学生自己进行调查研究，了解函数在实际中的应用，在此基础上加入了一节阅读材料自由落体运动的数学模型，总结了将实际问题转化为数学问题的一般过程。在注解中介绍了复利的计算问题，为后面的阅读材料——有关储蓄的计算作了铺垫。
与原教材相应的章节相比删减了这些内容：幂函数、换底公式、简单的指数方程和对数方程、 函数的奇偶性以及利用函数的性质简化函数图象的绘制过程、互为反函数图象间关系的证明。函数的单调性由理解降低为了解，反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系由掌握降低为了解。在对数一节中删去了对数恒等式；在反函数一节中删去了求函数的值域的习题，因为在原教材求函数的值域转化为求反函数的定义域，这种方法不科学，反函数的定义域由原函数值域确定，这样处理科学性更加严谨。幂函数与几个代数命题的证明原教材虽然讲授，但是绝大多数学生接受不了，从而丧失了对数学的兴趣；在指数函数中明确提出了函数图象的平移问题，而不是仅在习题中出现。新教材先学习函数，再学习映射，符合人们认识事物的规律，从特殊到一般的过程。在映射一节中增加一一映射的概念，为反函数的学习作下铺垫。这样处理大大地降低了高中数学与初中数学之间的台阶，有利于大面积地提高教学质量。
在函数单调性一节中增加了一个小注：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法，而且设计了一个练习题和三个例题，进一步明确了数形结合在科学研究中的价值。
第三章 数列
归纳推理也是科学发现的一种重要方法，在高中数学是培养归纳推理的最好的素材，新教材将数列这一章放在第一册便体现了这一思想。在这一章中除了原来的由数列前几项归纳通项公式外，教材在等差数列中增加了一个练习题3，在习题中增加了一个习题，在等差数列的前n项和公式中增加了两个习题，在等比数列前n项和公式中增加了练习题4等。这些都是培养归纳推理能力极好的素材。新大纲对于等差数列、等比数列的要求由原来的简单应用改为实际问题的应用，突出了与生产实践的结合，因此在数列一章中增加了有关储蓄的计算以及分期付款中的有关计算，在复习题中介绍了有关住房的问题，这些都是数列在生产实践中的具体应用。
虽然将《数列》这一章从高二移至高一上学期，但将难度较大的数学归纳法、极限移至高三； 在等差数列前n项和公式的推导、等比数列前n项和公式的推导前先用一个实例引入，然后类比推导出一般公式。在数列一节中明确指出递推公式也是给出数列的一种方法。教材适当增加了一些探索性习题，这些都表明教材的编写者为培养学生的创新能力费尽了心思。
第四章 三角函数的图象和性质
删掉了00-3600角的三角函数、万能公式、余切函数的图象和性质、反三角函数的定义图象性质、简单的三角方程。由于教学目标要求掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割，这样同角三角函数的8个基本关系式只要求掌握两个，诱导公式只限于掌握正弦、余弦的诱导公式。在y=Asin(ωx+ψ）的图象变换设计了程序图，有助于学生掌握，降低了学习难度。新教材同时增加了函数的奇偶性以及利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
科学性增强，例如在角的概念推广中提到角的标准位置是始边与X轴的非负半轴重合，原教材认为与X轴的正半轴重合。角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应关系，对应法则不同、单位不同（弧度数、度数、分数、秒数），但是同一种对应法则下对应的角是唯一的。原教材只提弧度制一 一对应，容易使学生误解。新教材为了让学生自己发现规律，有时公式不给答案，例如二倍角公式等。
新教材突出了正弦、余弦、正切，余割、正割、余切由掌握降低为了解。在三角函数定义中介绍三角函数线有助于使学生明确比值法与向量法定义的等价性；把"已知三角函数值求角"与"最简单的三角方程"合并，给出反正弦、反余弦、反正切的概念，为今后数学、物理学表示角打下了基础。把三角函数的图象与性质放在第三单元，可使学生运用学过的两角和与差的三角函数公式处理有关图象问题，例如余弦函数的图象可以由正弦函数的图象得出，大大降低了画图象的难度；两角和与差的三角函数公式合并，有利于学生综合运用知识。类似这样的情况还有很多。这充分表明教材的编写者充分地研究了数学各部分知识之间的内在联系与学生的认知规律。三角函数中的比值定义与三角函数线同时学习以及 将图象与性质结合，无疑也有助于数形结合能力的 培养。在函数y=Asin(ωx+ψ)，x∈R,A＞0，ω＞0 的图象中提到"y=Acos(ωx+ψ)，x∈R,A＞0，ω＞0 的图象可以类似画出， 其实y=Atan(ωx+ψ)的图象也可以类似绘制。新教材在阅读材料中介绍了正矢、余矢，主要向学生介绍三角函数的来源，阅读材料潮汐与港口水深主要是为了突出三角函数的应用。
第五章 平面向量
在平面向量中，将向量的有向线段表示与坐标表示结合起来，有助于学生把几何图形和数联系在一起。向量引入中学数学，有利于促进几何的代数化，降低过重的欧氏几何的分量，同时对物理学以及选修本中复数的学习是一个促进，降低了学习的难度。平移从解析几何中提前有利于学习函数图象的平移以及将函数图象的平移知识与几何曲线的平移结合起来。
对于平面向量的要求是重在基础，加之学习也是一个不断深化的过程，因此教学的跨度不宜太大，对于用向量来证明一些几何命题是必要的，但要求不能太高。 研究性学习——向量在物理学中的应用，通过研究斜抛运动不但巩固了向量知识，而且提高了学生的物理知识水平。
第六章 不等式
教学大纲中只要求运用综合法、比较法、分析法证明不等式，明确了不要求其它方法证明不等式，同时删掉了无理不等式、简单的指数不等式与对数不等式。均值不等式只要求掌握两个数，三个数以上的作为阅读材料出现，明显地降低了要求，但是两个数的均值不等式由理解改为掌握。均值不等式的证明给出了几何证法，目的也是培养数形结合能力，开拓学生思路。在不等式的 证明给出了两个例题，说明不等式的应用。
第七章 直线和圆的方程
由于新教材学习了向量，不再提有向直线，例如AB代表线段AB的长度，不再代表数量，同时引进了直线的方向向量。倾斜角的概念原教材用静止的观点定义“一条直线向上的方向与X轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角”，新教材用运动的观点定义：“在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫做直线的倾斜角”，为后面学习一条直线到另一条直线的角埋下伏笔。删去了通过讨论二元一次方程组解的个数判定两条直线的位置关系的方法与曲线的交点，点到直线的距离公式推导更简洁。直线的斜截式、截距式、参数式不再作为基本要求。
通过阅读材料“向量与直线”，介绍了直线的参数方程、点向式方程、点法式方程，直线的法向量与方向向量，然后运用向量讨论了两条直线平行与垂直以及夹角问题。线性规划是直线方程的应用，新教材增加了二元一次不等式表示的平面区域与简单的线性规划，介绍了直线方程的一个简单应用，通过线性规划的 实习作业与研究性课题，培养学生的实践能力与创新能力。
第八章 圆锥曲线方程
新教材删掉了曲线的交点、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程 、圆锥曲线的画法、圆的渐开线、共轭双曲线、极坐标等。
本章增加了9个注解，有利于学生自学，说明了将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆，介绍了研究曲线性质方法（考察对称性、范围、特殊点等）以及圆锥曲线在天体运行中的实例。 阅读材料：笛卡儿与费马，介绍了解析几何学的诞生以及两位数学大师做出的突出贡献。由于学习了向量的平移，因此新教材删去了坐标系的平移，圆锥曲线只要求掌握标准方程，降低了难度。在教学大纲中要求掌握椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质，增加了“简单”二字，降低了教学要求。
第九章 （B） 直线、平面、简单的几何体
新教材立体几何的变动是最大的，有7处“掌握”级降低为“了解”级，特别是论证方面，去了“利用有关概念的性质与判定，进行论证和有关问题的要求”，淡化了几何论证。首先突出了骨干，删掉了一些繁难与细节的知识，例如两条直线的位置关系、直线和平面位置关系、平面和平面的位置关系、正等侧画法、斜线长定理、等角定理的推论、体积概念与体积公理、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球冠、球带、球缺、多面体与旋转体的表面积和体积、球的直观图的画法、旋转面与旋转体等；删去了一些定理，例如过一点有且只有一个平面与已知平面平行、垂直于同一条直线的两个 平面平行，两个平面垂直的性质定理删去一个；一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个平面；三垂线定理降低为了解；某些习题也降低了难度，例如60页练习题由原来的证明题改为问答题。为了培养学生类比推理的能力，教材引出了线段的垂直平分面的概念及性质，把“夹在两个平行平面间的两条平行线段相等”作为例题，给出了平行平面的传递性，把“平行线分线段成比例定理”从平面推广到空间。
其次，新教材增加了一些运用广泛的知识。在棱柱的性质中增加了直棱柱与正棱柱的性质。新教材把棱锥的性质定理放在正棱锥定义前，有助于学生全面理解该性质，不至于误认为正棱锥的性质。新教材把正多面体与欧拉定理由选学改为必学等，正多面体在自然界的晶体结构经常出现，欧拉定理是为了向学生渗透现代几何学（拓扑学）的思想，培养学生的创新意识，并且教材中运用欧拉定理证明了正多面体只有5种，举例说明了其在化学中的应用。把立体几何作为第九章，可以利用三角学、函数、数列、不等式的有关知识解决空间角与距离的计算和证明。
第三，新教材改变了语言叙述，例如不再提直线在平面外，明确提出了二面角的范围00——1800，球的定义运用集合论观点，对空间图形平移的概念和规律作了明确的阐述，专门定义了空间四边形及其画法，不再采用运动的观点，二面角的定义更加直观，学生更易于理解，点、直线、平面关系运用集合论语言与前面保持一致，更加规范。为了突出集合的思想，新教材把公理2改叙为“如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条直线。”新教材先讲解多面体，然后介绍棱柱和棱锥，使学生能明确它们之间的关系，在棱柱的定义中不必指明其余各面是四边形。棱柱与棱锥的高原教材定义为距离，新教材把垂线段与距离统称为高，学生不必区别它们。新教材分析球的截面为什么是圆，但是把截面的性质删去。球的体积公式运用极限的观点推导，球的面积公式运用体积公式推导，同时为将来引入球面角埋下伏笔。
新教材9B首次采用向量的方法处理，简化了内容，并有利于培养学生数形结合的能力。由于新教材运用向量推导异面直线上两点间的距离非常简单，因此学生不必记忆、运用此公式，而且不用区分同侧与异侧，减轻了学习负担。新教材列出了平行六面体和长方体的性质定理，而且用 向量证明，思路简洁，同时有助于学生巩固向量法。阅读材料“向量概念的推广与应用”使学生对向量的认识更加深刻了，从三维到n维，从几何量到一般的数量。新教材比较注重说明理论根据，例如在斜二侧画法中，通过举例说明用平面图形可以表示空间图形，直接说明三维图形的画法，把直棱柱与正棱锥的画法合二为一；11页第4题为空间四边形的引入埋下伏笔，12页指明了图形的平移变换及其性质，为向量的引入埋下伏笔， 17页例2为共面向量的引入埋下伏笔，同时为平行线的添加说明了根据。20页 第三题为第四题做了铺垫。21页例1为平面的垂线的作图指明了根据。新教材介绍了异面直线的存在性与唯一性的证明、求异面直线距离的方法，同时要求学生证明“两条异面直线的公垂线段长是连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条”。把几个空间角与距离一起学习，有利于培养学生的化归能力。45页二面角的平面角引入简洁，明确指明了二面角的范围。46页例2与练习3利用向量解决非常简洁。新教材在棱柱中增加了分别一个例题、练习题、习题，平行六面体与长方体的性质定理运用向量法证明，以巩固向量法。81页2题为为二面角的求法开辟了一条道路。新教材首次指明了球体与球面的区别。
原教材要求掌握几种特殊的截面，一般截面都应给出图形或它的全部顶点，新教材删去了截面问题。新教材把棱柱和棱锥的画法一起学习，有利于学生掌握斜二侧画法的规则。19页练习2注重了与公理4的相似性，18页例3、19页练习3、22页练习7、51页习题3等问题的设计有助于培养学生类比与化归能力的培养。25页第六题叙述比原教材严密。新教材明确提出了两个图形的距离的概念，有助于学生把几个距离系统化， 可以求两个曲线之间的距离以及点到线段的距离与点到射线、半平面的距离，与高等数学衔接起来。由于初中教材没有要求学生掌握相似多边形、正整数的 平方和公式，因此59页与71页增加了注解。为了进行学科渗透，68页与69页分别介绍了欧拉定理在化学中的应用。
第十章 排列、组合和概率
例题的选择突出了应用性，贴合实际，不仅局限于数学问题。
在分类计数原理与分步计数原理一节中，增加了注解，说明了它们之间的联系与区别。在排列一节中，增加了两个思考题，便于学生自学。在组合一节中，学习了例题4后讲解性质2，突出了特殊到一般的思维过程，110页习题1（1）为后面学习独立重复实验的概率公式作了铺垫，前后联系较好。在二项式定理中，删掉了证明，降低了难度，而突出了类比推理、二项式系数的性质，明确提出了各二项式系数之和，并且用图象表示出了增减性与最大值。对杨辉三角的介绍也更加详细，并且设计了专门的习题，突出了爱国主义教育。115页从集合的角度考察了等可能事件的概率以及互斥事件有一个发生的概率，并且从集合论的观点考察了排列、组合和概率问题，有助于渗透集合论的观念。
选
修
本 (2)
1、 概率与统计部分
新教材在概率部分主要增加了离散型随机变量的分布列、期望与方差，统计部分主要增加了抽样方法、总体分布的估计、总体特征数的估计、生产过程中的质量控制图、线性回归等。 为了培养学生的猜想能力，17页二项分布的数学期望的证明中首先让学生猜想。
2、 数学分析部分
新教材增加了函数的连续性、几种常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数、对数函数与指数函数的导数等内容。运用导数研究函数的单调性和最值问题是对中学数学的一个简化。
如果 ┃ a┃ ＜1,那么 an =0,新教材虽然也没有给出证明，但是要求学生 首先用计算器计算得到一些形象的数字，学生易于接受。新教材首次指明数列极限的四则运算法则可以推广到有限多个，不适用于无穷多个，否则学生在解答如90页例题5这样的题目容易出现错误。新教材总结出了常见有理式数列极限的规律，培养学生归纳问题的能力。新教材把数列的极限与函数的极限的四则运算法则放在一起，有利于培养学生归纳类比能力。新教材89页例4举例说明了极限的应用，在练习中要求学生运用极限的观点从圆柱的体积公式推导除了圆锥的体积公式，有助于学生深刻地认识到极限的 重要性。在导数定义中首先介绍切线的斜率、瞬时速度的数学的极限定义，然后讲授导数定义，极限的定义也是如此。这样学生可以先从感性认识，再上升到理性认识，降低了学习的难度，同时学生可以认识到其重要性，这也符合人们认识事物的规律，从实践到认识，再从认识到实践的辩证唯物主义观点 。新教材首次明确提出了微积分的基本思想（研究变量在无限变化中的变化趋势，从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。）与极限的思想（用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想）。新教材通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想。
3、复数部分
由于学生已经学习了有关向量的加法问题，因此新教材没有给出它的证明。删去了三角形式以及实系数的二次方程的解法，但是要求学生了解数系从自然数到实数再到复数扩充的基本思想。
二 、 对于高中数学教材的几点建议
㈠、教材的编写顺序
1、存在的问题
（1）高初中数学的衔接问题
根据初中数学试验修订本教学大纲的调整，下列内容已不作为教学要求：相似多边形及其性质、繁分式、二次函数的顶点、对称轴、最大值与最小值、图象平移、二次函数在某一区间上的最值问题，高中教材又没有，教材中依然有其应用，教学参考书中也认为学生初中学过二次函数图象平移。现行的初中数学教材没有点的轨迹，但是第八章的68、70、71、75页、第九章27页等多处提到点的轨迹。
（2）前后联系问题
新教材注意了数学知识前后的联系，个别地方考虑依然不足。简单的指对方程与指数不等式的解法教学大纲没有正式要求，教材中也出现了其解法，例如第十章143页15题出现了指数方程的解法，146页也出现了指数不等式的解法。幂函数在必修本中已经删去，但是97页与81页都出现了y=1/x2的图象。
9（B）29页提到空间直线的向量参数方程，而平面直线的向量参数方程已经删去，教材也认为学生学习过。33页出现有向直线，而前面教材中没有定义。34页例7中出现了直线与平面所成的角，而这个概念在后面出现。47页习题4用到了“点到平面的距离”，但是这个概念在下一节。123页练习4用到了复合函数的导数，但是这个问题在下一节学习。
在必修本第五章的阅读材料中指明中学所学的向量都为自由向量。选修201页指明“复数集C与复平面内的向量所成的集合是一一对应的”，此时的向量指的是自由向量，相等的向量为同一个向量 ，表示同一个复数（可是教材中又规定相等的向量表示同一个复数）；但是233页判断题2中“复数集C与复平面内的所有向量的集合是一一对应的”，参考书中给出的答案认为是一个假命题，此时的向量指的是固定向量。
（3）与有关学科联系问题
第二章55页的例题用到了斜上抛运动，其实现行的中学物理教材已经没有这部分内容，在第五章的研究性课题中才学习斜抛运动，建议将本题删去。弧度制与任意角的概念在高一物理第一学期中已经运用，数学尚未学习。第十章140页中写到“通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辩证唯物主义思想。”，可是中学思想政治课还没有接触到该内容。
2、建议
结合2002年5月的新大纲，笔者认为教材可以这样安排顺序：第一章平面向量，增加钝角的三角函数，为数量积的引入与物理学的应用作铺垫；在三角学中两角和与差的余弦公式可以用数量积推导，可以降低学习难度。第二章简易逻辑，集合论后面讲授任意角的概念与弧度制，作为集合表示方法的应用，解决了与物理的衔接问题，终边相同的角的表示放在弧度制后，因为今后常用弧度制表示终边相同的角。第三章不等式，内容包括不等式的基本性质、绝对值不等式、简单不等式证明、均值不等式，将不等式 |a|-|b| ≤ |a+b|≤|a|
+|b|移至选修本中，为了降低教学难度与减少课时，可以将不等式的性质直接给出，不必证明。优点：不等式的解法巩固了集合的表示法，为函数定义域的求法铺平了道路，均值不等式在函数中可以充分得到运用，综合法、分析法的提前讲授无疑将有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，同时作为充分条件与必要条件的应用。不等式的知识放在一起，有助于发现它们之间的联系，使学生体会化归的思想。第四章函数及其图象，在指数与指数函数前增加《二次函数》，包括顶点，对称轴、最值问题、图象平移、一元二次不等式、分式不等式。第五章三角函数，构建以两角和的余弦为核心的三角新体系，建议把诱导公式（2）后面的诱导公式放在两角的和与差三角函数后面，不仅降低了公式的推导难度，也可以熟悉两角的和与差三角函数公式，而且即使学生忘掉诱导公式，也可以利用两角的和与差三角函数公式推导，直接利用它们解决问题。
㈡、充要条件
教材中虽然几处用充要条件表述，但仍不够。例如函数的奇偶性一节奇偶函数的性质及判定可叙述为：一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称，一个函数偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。一个函数存在反函数的充要条件是确定它的映射是一一映射。第117页例4可改为：求证一个数列是等差数列的充要条件是a=pn+q,
、q为常数。这样会进一步巩固充要条件的概念。三垂线定理及其逆定理倘若用充要条件叙述，学生可以不必区分它们，对它的认识更深刻。函数在某一点连续的充要条件是它在该点既左连续又右连续。若函数在某点可导，则导数为0是该点是极值 点的必要不充分条件。若函数在某个区间内可导，则导数大于0是增函数的充分不必要条件，导数小于0是减函数的充分不必要条件。
㈢、符号表示问题
在复合命题的概念、四种命题以及充要条件中的p、q的涵义不同，最好用不同的字母表示，不致于使学生发生误解。数列的通项公式与前 n项和公式如果分别记作f(n)、S(n)，学生更容易从函数的角度理解，降低学生难度。为了与初中知识接轨，建议数列的前n项和以及数学期望与方差都用Σ表示。为了与国际接轨，建议将区间等符号改为国际通用符号。数学中的向量、数量分别对应于物理学中的矢量、标量，建议物理学改为向量、数量，并加注箭头，以利于学生知识的迁移；数学中叫做平行四边形法则，而物理学叫做平行四边形定则，应当为定则（因为它是实验规律）。第四章88页21题电流、电压、功率的单位与物理学中的不一致，物理学中分别用I、U、P表示。在线性规划中，提到了目标函数，最好加注解——目标函数是多元函数，与前面学习的一元函数有区别，定义域与可行域对应，可行解与自变量的值对应，名称统一更好。对立事件如果用CIA表示，与补集的符号统一起来，有助于学生从集合论的观点认识。
㈣、科学性问题
第一章集合与简易逻辑
在充分条件与必要条件一节例１，例２中写道：指出下列各组命题中，可是例１中p：x ＝y；q：x
＝y，例２中p：(x－２）（x－３）＝０；q：x－２＝０;p：x＝３；q：x＝９显然不是命题，而是开语句，不如将"指出下列各组命题中”改为“下面各小题中"更严谨一些，第35页练习题2也是这种情况。“李强是篮球运动员”不是命题，因为篮球运动员没有确定的标准，属于模糊数学研究的问题，中学数学是奠定在精确集合论基础上的。由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题，但没有指明含有逻辑联结词的命题不一定是复合命题，例如教材中的不等式x2－x－
6＞0的解集是
>＜－2或x＞3｝，不等式x2－x－6＜0的解集是
>2＜x＜3｝，即
>2且x＜3｝。事实上，它省略了“全称量词”，这时的“解”是指“所有的解”，这样后面的“x＜－2或x＞3”与“ x＞－2且x＜3”应是一个整体，虽然含有逻辑联结词，但仍是简单命题，有的学生看作是复合命题，又不满足真值表。因此有的学生认为  ＝±５，方程x2－５x＋６＝０的根是２或３也认为是复合命题。如果直接给出复合命题的概念，如何区分简单命题与复合命题，效果会更好。
第二章函数及其图象
教学参考书中指数函数单调性的证明犯有循环论证的错误，指数函数与对数函数的单调性只能利用高等数学知识证明。
第五章平面向量
平面向量数量积的运算律最好运用坐标表示证明，这样可以降低教学难度，同时可以包括零向量。在小结与复习中a⊥b的充要条件中漏掉b≠0。 9（B）提到一个向量在一条直线上的射影是向量，在本章中提到一个向量在另一个向量上的投影是一个数量，而投影和射影的意义相同。根据物理学的有关知识可以知道，一个向量在另一个向量方向上的射影仍然还是向量，因此本章中的定义不合理。可以修改如下：OA=a,OB=b,过B点作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则称OB1为向量b在a方向上的射影向量，简称射影。
第七章直线和圆的方程
44页习题第四题答案应当点斜式方程，而不是斜截式方程。78页例5“已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。”、100页例4、103页9、10题与88页19题中“距离的比”有顺序，而在72页第7题中“距离的平方差”没有顺序，容易使学生发生歧义，最好统一起来。为了避免歧义，课本例5题目最好改为：设有两个定点O（0，0），A（3，0），如果从点M到这两点的距离比│MO│：│MA│是1/2，求点M的轨迹方程，并画出曲线。88页19题也可以类似修改。（1）79页练习第1题第3小题中当a=b=0时表示一个点。82页习题7.7第四题应当说明建立坐标系的方法，否则答案不唯一，另外题目中求拱圆的方程，不必加约束条件，只有求圆拱的方程才加约束条件。（1）
《教学参考书》40页写到：“当x无限接近于900时，直线的斜率k无限趋近于+∞”应当为“无限趋向于+∞”，只有这样才能与极限的定义符合。因为根据极限的概念，极限是常数A，应该讲“无限趋近于A”，如果极限是+∞，应该讲“无限趋向于+∞”。（1）
第九章（B）
23页例4应该为“如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等，那么这点在这个平面内的射影在这个角或者对顶角或者邻补角的平分线所在的直线上”。27页例题中G是线段AC`的三等分点，应当指明靠近A点。31页空间向量定理的证明中点O没有说明是空间任意一点。36页练习5不能取近似值。二面角的范围应当包括1800，但是教材中写作00～1800，在第四章中指明00～3600不包括3600，学生容易发生误解。71页自然数应当改为正整数。38页a⊥b中应当指明b≠0，a∥b也应当指明b≠0，而且在比例式中指明b1b2b3≠0。80页6题的证明中原题中已经出现了E、C、D，再取BE、BC、BD的模相等不科学，另外已知中是两条直线的夹角，而在证明过程中误认为两个向量的夹角，也没有说明CE、CD为什么不共线。
第十章
92页例3第2小题中应当增加条件：每种不少于3本。 95页练习7应当限制每人只打一局。104页应当指明币值不包括0。115页中开始“事件A包括几个基本事件”认为基本事件是一个元素，但是下面认为是一个单元素集合。
选修2 第5页提到某林场树木的高度是连续性随机变量 不严密，因为林场的树木是有限的，所以可以按一定次序一 一 列出，可以改为在生长过程中树木的高度。第6页练习1(5)答案不应当为(--∞,+∞),因为假设规定外径为D,则应当为(--D,+∞). 第8页习题1第1(4)题的答案不应当为(0,+∞),时间应当为24 小时之内.82页函数的极限的定义中，应当说明当自变量x从两侧无限趋近于常数x0时，不致于使学生发生误解。教参中“当│a│＜1，an=o的证明中当a=o时应当单独证明。140页习题3.9中的2（2）应当考虑圆心在三角形的外部不可能，而参考书中的答案忽略了这个问题，如果把底角作为自变量，就不必分类。143页例题1应当检验切点不在直线y=2x—4上，否则本题无解。
147页习题6的条件不足，如果考虑气球的质量，那么由于惯性气球在水平方向有一个分速度，但是空气阻力大小未知，本题无法定量计算；如果不考虑气球的质量，那么气球在竖直方向的速度未0，本题的意义不大。可以改为先放气球，汽车再匀速驶出。
㈤、几个习题的处理
第四章三角函数 54页周期的推导学生感觉难度较大，可以直接给出（正弦与余弦的最小正周期也没有证明），这样降低难度。利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数求值、比较大小的题目可以淡化，现在教材已经允许使用计算器。在正弦函数的图象绘制过程中，采用几何法，理论上精确，但多步绘图累积误差较大，学生感觉难度较大，可以运用计算器求值、描点，减小误差且降低难度。为此，可以在绘图前利用诱导公式给出周期性的概念。
第五章平面向量 平面向量的基底最好也加大括号，夹角也用＜a，b＞表示，与空间向量统一。 130页余弦定理的证明，将加法改为减法，夹角好找，化简容易。在平移一节公式推导中不如利用"向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标"简单。正弦定理中已知两边及一边的对角解三角形有无解的情形，新教材没有提及。已知两边及一边的对角求第三边应用余弦定理简单，运用大边对大角、正弦定理和正弦函数的值域也可以判定。教学参考书的例题，有些也不如综合法简单，例如正弦定理的证明作为向量的应用出现，技巧性太强，步骤太烦琐，没有提及比值为2R（教材的编者可能想降低题目的难度，其实只要设一个常数即可编写难题，数学在很多知识点上均可以设计难题），而且应用广泛的面积公式在习题中出现，效果不理想。如果采用原教材的处理法，可以使学生充分认识到向量法、坐标法、综合法是处理几何问题的三种方法，有时采用其中的某种方法 简单。147页中关于向量不满足结合律，解释为“因为a.b与b.c的结果都是数量，所以（a.b）.c与(b.c).a都没有意义，当然就不可能相等”，而教学参考书中的答案把向量的数量积、实数与向量的积混为一谈。
第六章不等式
在均值不等式中例1与例2交换一下，可以坡缓难度。不等式的复习中例1也可以利用三角知识证明。 不等式中应该强调分析法与综合法是证明一般命题的两种逻辑方法，比较法是综合法的一种形式。均值不等式中的两个数可以改为非负数。
第七章直线和圆的方程
“当直线与X轴相交时，直线的倾斜角时X轴绕交点按逆时针旋转到和直线重合时的最小正角”此处可以去掉“正”字，因为逆时针旋转得到的角都是正角。 两条直线的夹角公式推导中，应当指明斜率不存在时单独分析，48页最好利用正切函数的周期性，利用直线的方向向量更简单。两条 直线的夹角最好加（或两条直线所成的角），与立体几何中异面直线的夹角统一起来。两条直线垂直的充要条件最好从一般式方程通过讨论得到一般结论，不必考虑斜率是否存在。两条直线平行的充要条件也可以利用方向向量得到。直线的两点式方程也可以利用斜率相等得到，最好把它写成整式形式，包括所有情况，只是记忆难度大一点。或者把两点式方程与截距式方程删掉。第63页整点D（4，8）不是直线x+y=12与x+3y=27的交点，建议先求出交点C（4.5，7.5）后，再得出整点D（4，8）。70页例3的轨迹方程写成x2y2=k2会更好，形式简洁。75页的例2最好分两种情况讨论，因为它比最后说明斜率不存在是成立更能培养学生思维的缜密性,另外本题最好运用向量法或者平面几何知识解决，这样可以避免讨论。85页例1中最好利用点到直线的距离公式与垂径定理求解简单，更有利于把解析几何与平面几何结合起来。例2坐标系对称地建立，结果简洁。88页17题与B组4题放在一起会更好，第2题利用向量法更简单。89页第10题点（x+y,xy)容易使学生混淆，最好换一下字母。复习题B组难度太大。47页直线l1到l2的角最好改为“把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的最小正角”。65页第1题的第8小题答案错误，区域只有一个点。82页第9题3中漏掉一个条件，ab≠0。
第八章圆锥曲线方程
100页例3中，可以取精确值，不必求b,只需求b2。133页第1题利用椭圆第二定义简单。131页例2利用向量法更简单，133页第2题利用向量法或者平面几何知识更简单。 在椭圆一节的教参中，AX2+BY2=C，只要A、B、C同号，就是椭圆方程，可是若A=B，表示一个圆。95页例3、96页第6题、132页第5题均漏掉了约束条件y≠0。99页“以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形”应当为“以椭圆的长轴、短轴的长为邻边画矩形”。教学参考书指明了双曲线的定义中的常数应当改为非0的常数，否则可能为直线，但是课本中没有提及，不利于学生自学。133页第5题、123页第6题、119页第7题都没有考虑到斜率不存在时的情况。133页第5题中 当Y=0（-1＜X＜2）时也符合题意。
第九章 公理4可以利用向量共线的充要条件证明，而且难度不大，这样可以减少一个公理。等角定理用平面向量证明更简洁。9.4与空间向量交换一下，可以使线面垂直的判定定理简洁，运用对称的方法证明多数学生掌握不了。13页例1利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”更简洁，18页例3利用“夹在两条平行线间的平行线段相等”更好，19页练习3与练习4最好交换一下，不但可以把难度坡缓，而且有利于培养学生的化归能力。本章很多题目文字语言叙述偏多，最好改为符号语言。22页练习3为证明题，不应该用？，练习6的证明中最好取平面上任意一条直线，教学参考书中的证明太复杂。23例4利用“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”简单，例5倘若直接测量∠ACB，运算更简洁。19页习题2、29页共线向量定理与41页例题5用“如果、、、，则、、、”连结不符合语言习惯。31页空间向量基本定理最好有共线向量定理、平面向量基本定理类比得出，培养学生的类比能力。由于空间任何两个向量都共面，因此平面向量的数量积与空间向量的数量积相同，可是教材并没有把平面向量的数量积的所有运算性质与运算律都列出，空间共线向量定理不需要再证明。38页最好定义空间向量与实数的积，后面应用不至于出现突然。41页例4向量模的积最好不用“`”连结，学生容易发生误解，例5已知中标点符号有误。44页AO不必设为单位长，这样容易使学生发生误解，例1中最好写明“求斜线AB与平面α所成的角”，45页练习2中写明“求平面的斜线和平面内的这条直线所成的角”，练习3中“相等的斜线段PA、PB”应当去掉“相等的”，这样才符合语言习惯。45页练习4的参考答案仅给出了直线与平面斜交时的情形不全面，应当分直线平行于平面、在平面内、垂直于平面以及与平面斜交等几个方面，练习5类似。45页为了有利于学生自学，最好指明过二面角的棱上任意一点在两个半平面内作棱的垂线，则两条射线组成的角是二面角的平面角，因为下面定理的证明过程中已经运用。45页在二面角的表示中应当为“二面角α—l—β”，与下面保持一致。47页习题4最好指明到半平面的距离，不至于使学生发生误解。教材中出现了运用线面距离求异面直线的距离问题，但是教学大纲没有要求，教材也可以增加一个了例题。58页练习3最好增加正四棱柱集合，有利于学生区分这些概念。球的面积、体积公式的证明作为阅读材料，降低难度。教材对很多显然的问题分析原因，难度偏大，列为选学，可能更好。复习参考题A组的第六题与第七题难度太大，可以放在B组；B组的第3、5、6题比较容易，可以放在A组。在正棱锥的定义中可以去掉“底面是正多边形”这个条件，因为只有正多边形才有中心的定义。80页第3题利用向量证明简单。
第十章
101页例题4最好去掉大小相同，否则学生容易认为7个白球完全相同，而前面学习的组合中元素不相同。142页选择题第一题最好从反面考虑，只有一人没有足球票。143页第六题最好去掉“不同”，因为集合中的元素一定不同，否则容易使学生产生误解——集合中的元素可以相同。143页11题教学参考书中认为“本题是为了说明自然对数的底e作一些感性认识”，因此本题应当取近似值，教材没有说明。143页12题第四题运用立方差公式先化简再计算，14题运用相除，运算量小。120页第九题中电话号码的首位不能为0。119页第一题出现的结果可以认为3钟或者4种，当为3种时不是等可能事件。129页增加n个独立事件的定义，因为后面出现了它的概率的计算公式。140页例题1中应当把选出3个男同学和4个女同学作为大前提。143页6题可以去掉“不同”，因为集合中的元素本来不同，这样反而会使学生发生误解。146页13题最好改为至少以多少门大炮，才能与答案相符。
选修2 随机变量ξ的数学期望本质上加权平均数，如果教材中增加注解，那么学生可以降低学习的难度，而且有助于知识的迁移。13页为了与初中样本方差的简化计算公式统一，最好给出离散型随机变量的方差的简化计算公式——Dζ= Eζ2—(Eζ)2。16页第六题参考书中的答案取近似值不妥当。10页例1、11页例3、12页例4、14页例6中的期望与方差丢掉单位，16页习题1.2中的第七题参考书给出的答案中也丢掉单位。随机数表最好单行排列，不致于使学生 发生误解，有利于学生自学。正整数的平方和公式学生没有正式学习，但是52页第四题与53页第一题均涉及这个公式，最好增加注解，便于学生自学。
77页例题3最好借助于指数函数的图象分析会更好，因为这个数列是函数y=0.99x上的一群孤立的点。极限的四则运算法则中应当说明乘方运算也成立。选修2中出现了函数在某一点有定义的问题，必修本没有学习，应当增加注解，便于学生自学。选修2中无穷等比数列的和为阅读材料，但是在复习题中也设计这个内容。
110页应当指明在割线与切线斜率存在的条件下。119页质量的单位应当为千克。137页例题1只要求出各点的函数值即可，不必列表。139页的注解最好放在例题2前面作为思考题出现，学生通过画图发现没有反例存在，才容易接受。例题2、3应当说明该点为极大值还是极小值，而且例题3应当注明定义域。143页介绍了不可导 的问题，如果在导数定义中增加这个问题会更好。144页例题2中“由C延AB”应当为“由C沿AB”，本题解答过程中应当注明定义域，取精确值。复习参考题三A组第一题3、4题以及第2题第5题答案应当化简，第3题第2题答案应当加括号，第4题只需p2=4q，11题第1题有极值。B组1（1）可以利用两角和的余弦公式进一步化简。 139页例题3应当注明定义域，同时应当指明该点为极小值点。
205页第9题不必写出椭圆的实数方程，根据定义直接求解更简单，第7题利用“平行四边形两条对角线的平方和等于各边的平方和更简单，这个结论在第5章学习过，其中两个复数共线时单独证明。207页例题3（2）利用二项式定理比较简单，230页例题1运用205页第7题的结论比较简单。
210习题8忠要求n∈N都成立，然而答案却证明对一切整数都成立。235页4（2）的证明利用反证法更简单，4（1）利用数学归纳法和210页5（1）的结论证明也可以。
㈥、 印刷错误
第五章平面向量
149页A组第1题第（2）小题中0应当为零向量，才能与答案相符。
第七章
55页第25题解答中“容易看出r1=1，r2=6,连心线的长d=5"中连心线应当为圆心距，因为连心线是直线，无法计算其长度； 59页例2中“不等式x+y-5≥0表示直线x+y-5=0上及右上方的点的集合”应当为“右下方”。（1）64页出现了印刷错误，把18/5印为16/5。
第九章（B）
17页m与m`位置应当交换，22页例3叙述与图形不符，27页平行六面体的表示方法中漏印平行六面体，32页练习1中向量｛a,b,c｝是空间的一个基底不严密。35页注解中应当为以上四例，41页例4最后应当指明直线BE1与DF1所成角的余弦值。44页应当为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ。49页第七行应当为线段AA`、BB`都是它们的公垂线段，在“任意两条异面直线有且只有一条公垂线”的证明过程中，AB是公垂线，不是公垂线段。50 页例2中图形中E、F两点应当位于公垂线段的两侧才能和计算过程统一起来。50页练习第5题没写单位。59页棱锥的表示法中应当为“棱锥S—ABCDE”。64页欧拉的名字应当为Euler,教材中误印为Eluer。66页最后一行应当为“在正多面体一节，我们已指出正多面体只有5种”,67页第11行多了一个“的”字。69页练习2中应当去掉“且五边形和六边形没有公共点”，因为它们一定有公共点。81页第四题参考书的答案中两个向量夹角的余弦丢掉一个负号。
第十章
88页5（2）应当为“在Y轴上的截距”。根据教学参考书中答案的要求，143页16题、135页6.7.9.10题、144页23题与16
题（4）、145页25题、146页11题等应当注明精确度的要求。
选修2
13页练习5中应当为“求出现正面向上的枚数ζ的期望。”35页练习2教学参考书中的答案把1.5σ误印为1.56。53页第八题应当为从中抽取n个个体，才能与答案符合。85页练习2中第2题的图形2应当标明极限值的大小。198页习题4的答案错误，231页例题2的解答过程中应当注明x、y∈R，233页和205页选择题1和4应当注明“a、b、c、d为实数”。235页1（2）的答案应当为—2i。第2题、第3题的解答中应当注明虚部不为0，3（2）的解只有两个。复数的概念中两个复数不能比较大小不严密，当它们都是实数时可以比较大小，应当注明。
㈦ 关于应用问题 、研究性课题与实习作业
新教材比原教材在应用方面迈出了重要的一步，但仍需进一步加强,例如三角函数、数列、极限与导数在物理学中的应用，排列、组合、概率在遗传学、化学、物理学中的应用，有关对保险的认识及对险种的选择的分析与讨论等。 第五章的实习作业太简单，不利于能力的培养，可以改为运用平面几何与解斜三角形知识多种方法解决。第七章的实习作业中的多变量的线性规划难度也太大。
第九章的研究性课题“欧拉定理的发现”编写与普通章节没有任何区别，学生只能归纳得出 ，欧拉定理的说明及正多面体只有5种的证明学生很难独立完成，本章可以设立“平面几何与立体几何命题对比”的研究性课题。
研究性课题要求三课时完成，事实上科学研究需要的时间往往比较长，因此教材可以将高中阶段的研究性课题单独编写，设计不同难度的课题，供不同层次学校与基础不同的学生选用，依据教学的进度，设计不同的课题，学生自己选择，学期末总结，研究性课题可以多一点，难度不易大。
参考文献：
1、《数学通讯》2002年11期23页
|
评论
