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什么是“ISO数学”？

作者 古新妙

[摘要] 本文给出了“ISO数学”的定义，认为“ISO数学”是一种数学体系，是条件比“域”稍弱的一种数学体系，“域”是“ISO数学”的一个特例。然后在“域上的ISO数学”中，定义了乘方、开方、指数、对数等概念并证明了乘方、开方、指数、对数的运算法则。同时顺便提及ISO数学中简单的微分法则。

[关键词] ISO数学 ISO乘方 ISO开方 ISO指数 ISO对数 ISO微分

前言

笔者于2009年5月16日收到cheniwan263发来的信件《桑蒂利、蒋春暄获奖》，说是蒋春暄先生荣获《特勒肖-伽利略科学院》2009年度金奖。信件中有附件《蒋春暄-改变现代数学的桑蒂利ISO数学理论》（以下简称文[1]），笔者读后知道世上有了“ISO数学”。蒋春暄先生在文[1]中说：“ISO数学推广了现代数学中的加减乘除四则运算，是数学中的一次伟大革命”；“现代数学是ISO数学的一个特例”；“ISO数学有广泛的应用，是20世纪数学上最重要的发明”。因此引起笔者对“ISO数学”的兴趣，打算弄清楚什么是“ISO数学”，以求正确理解“ISO数学”及其在数学中的地位。笔者除了阅读过文[1]之外，没有阅读过任何阐述“ISO数学”的其他文章，因此对“ISO数学”的认识仅仅从文[1]开始。在本文中，给出了“ISO数学”的定义，然后在“域上的ISO数学”中，定义了乘方、开方、指数、对数等概念并证明了乘方、开方、指数、对数的运算法则。同时顺便提及ISO数学中简单的微分法则。本文的主要目的是为了完整地认识并系统地阐述“ISO数学”。

1. 什么是“ISO数学”？

假定是由一些元素组成的集合，如果在集合上定义了加法运算和乘法运算满足下列各公理，那么集合就叫做“ISO数学”，或者简称为“桑”（Santilli）：

I. 集合对于加法运算成为阿贝尔群；

II. 集合中除了“零元素”（加法群中的幺元）之外的所有元素对于乘法运算成为阿贝尔群；

如果还满足下列补充要求，那么集合就叫做“域”：

III. 乘法运算对于加法运算满足分配律。

根据以上定义，所谓“ISO数学”其实是一种条件比“域”稍弱一点的数学体系，“域”是“ISO数学”的一个特例。

假定是“域”，其中加法群的“幺元”记作叫做零元素；乘法群的“幺元” 记作叫做单位元素；减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算；加、减、乘、除四则运算的运算符分别是、、、。则在域上有下列运算公理：

假定是“ISO数学”，其中加法群的“幺元”记作叫做零元素；乘法群的“幺元” 记作叫做单位元素；减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算；加、减、乘、除四则运算的运算符分别是、、、。则在上有下列运算公理：

注意：如果乘法运算对于加法运算还满足分配律，那么就谈不上是新数学而是所谓的“域”了。

2. “域K上的ISO数学”

假定域为已知，在域中选定两个元素和，其中的元素可以是域中任意一个指定的数，未必就是域中的零元素；元素可以代表域中的任何一个不为零的数，未必就是域中的单位元素。假定元素在域中的逆元素为，即有

（1）

今在域上引进新的加、减、乘、除四则运算，与之相应的运算符是、、、。对于域上的任意两个元素和，定义：

（2）

（3） （4）

（5）

如此定义的四则运算就叫做“ISO运算”。显然，以上所定义的ISO运算满足下列运算定律：

（6）

（7）

（8）

（9）

这就是说，域上新定义的“ISO运算”使集合构成“ISO数学”。这样的“ISO数学”就叫做“域上的ISO数学”，或者叫做“域上的桑”。

在“域上的ISO数学”中，一般不满足ISO乘法对于ISO加法的分配律。事实上，我们有

（10）

要想分配律得到满足，除非假定。

必须强调指出的是：在“ISO运算”的定义中用到了域中的原有的加、减、乘、除四则运算。

对于元素，我们定义

（11）

并且把叫做元素的ISO补元素。特别地，这就是说，的补元素等于。我们有

（12）

（13）

对于元素，当时，我们定义

（14）

并且把叫做元素的ISO逆元素。特别地，这就是说，的逆元素等于。我们有

（15）

（16）

对于ISO四则运算，我们有下列特殊情形：

（17）

（18）

以下引进ISO整数指数概念：

首先，对于大于1的自然数，定义用来表示由个元素作ISO乘法所得到的ISO乘积，根据这个定义则有

（19）

紧接着定义，则有

（20）

然后补充定义

根据以上定义，对于任意整数，记号都有确切的意义，而且公式

（21）

总是正确的。显然，对于任意整数，都有

（22）

以上就是ISO整数指数的概念。

现在引进ISO开方概念：设是自然数，如果，则叫做的次ISO方根，正数的正的方根叫做算术根，记作，也可以记作。我们有

例如

，

现在引进ISO分数指数的概念：设是整数，是自然数，是正数，定义：

（23）

那么有

（24）

例如

至此，ISO指数式对于任意有理数都有了确切的意义。现在，可进一步对任意的实数定义ISO指数式：。特别地，我们有

（25）

（26）

这就是说，的任意实数次方都等于。下面证明ISO指数的性质：

性质1 设、都是正实数，是实数，则

（27）

证明：

所以

性质2 设、都是正实数，是实数，则

（28）

证明：

所以

性质3 设、都是实数，则

（29）

证明：

性质4 设、都是实数，则

（30）

证明：

性质5 设、都是实数，则

（31）

证明：

例如

现在引进ISO对数概念：如果 ，则说是真数关于底数的ISO对数，记作

（32）

显然，我们有 ，。

注意：因为即为，而，故得，所以与为等价。下面证明ISO对数的性质：

性质1 （33）

证明：设、，则有

、

所以

即

证明完毕。

性质2 （34）

证明：设、，则有

、

所以

即

证明完毕。

性质3 （35）

证明：设，则，所以

所以

即

证明完毕。

性质4

证明：设，则，两边取以为底的ISO对数，得，因为，所以，得，故得，所以

证明完毕。

性质5 （36）

证明：设，则，两边取以为底的ISO对数，得，再根据性质3，得，所以，所以

证明完毕。

性质6 （37）

证明：设，则，两边次方，得，即，两边取以为底的ISO对数，得，根据性质3，得到，再根据性质，得到，所以得到

证明完毕。

以上就是域上的“ISO数学”的基础理论。在集合上有了八种数学运算，但是我们必须明确：新的四则运算定义离不开原有的四则运算，在域上的“ISO数学”中仍然只包含域中原有的元素，没有增加任何新的元素。所以我们没有发现ISO数学在数学上的创造性。

3.ISO数学恒等式

下面是一些ISO数学恒等式：

4. ISO函数

所谓“ISO函数”就是“ISO数学”中的函数。让我们来考虑一个最简单的“ISO函数”，首先，由函数推广得来的“ISO函数”的形式为：

（38）

把它转换为普通函数就是：

（39）

它的图象仍然是直线，只是该直线的斜率及其在轴上的距截已经发生变化。

由二次函数推广得来的ISO函数为

（40）

转换为普通函数就是：

（41）

化为

（42）

它的图象仍然是抛物线，只是该抛物线的顶点及其张口已经发生变化。

由表达式推广得来的ISO表达式

（43）

转换为普通表达式就是：

（44）

5. ISO数学方程

方程 的解答是：，即。

方程 的解答是：，即。

方程的解答是：，即。

方程的解答是：，即。

方程 的解答是：，即。

方程 的解答是：，即。

方程 的解答是：，即。

方程 的解答是：， 即。

方程 的解答是：或者，即或者。

6. ISO数学中的求导法则

下面是ISO数学中的求导法则：

下面是几个ISO函数的导数公式：

7. 双域

如果在域上定义了ISO运算的数学中选定，那么我们就有乘法运算对于加法运算的分配律，这样的“ISO数学”就叫做“双域”。为什么叫做“双域”呢？因为此时域上的ISO加、减运算就是普通的加、减运算。不但四则运算、、、使构成域，而且四则运算、、、也使构成域，所以才把叫做“双域”。

8. 笔者对ISO数学的肤浅认识与建议

笔者写这篇小文章的目的是为了完整地认识并系统地阐述ISO数学的基本理论，希望能够帮助有兴趣的读者用最少的时间了解ISO数学及其基本理论，然后参与有关ISO数学的研究与讨论，希望在讨论过程中有人能介绍ISO数学的实际应用价值，根据ISO数学的实际应用价值来理解ISO数学在数学中的地位。笔者对于ISO数学的实际应用价值目前还没有理解。

“域上的ISO数学”的主要特点是其中所定义的ISO四则运算不仅与参与运算的两个数据和有关，而且还强制性地让和(或)也参加运算。这种强制性附加运算能否反映现实世界中的某种数量关系或空间形式，乃是“ISO数学”有前途与否的关键所在。因此笔者希望能够看到介绍ISO数学有实际应用的文章。如果将来证实了ISO数学理论有着广泛的实际应用，那么ISO数学才可能有强大的生命力，人们才可能会承认“ISO数学是20世纪数学上最重要的发明”。

正如现代数学中的“群”、“环”、“域”、“体”都是现代数学中的一种数学体系一样，“ISO数学”也是现代数学中的一种数学体系，是一种条件比“域”稍弱一点的数学体系，没有超出现代数学概念的范围，人们可以相信ISO数学是现代数学中的一种数学体系，“域”是ISO数学的一个特例，但不能说“现代数学是ISO数学的一个特例”。只要ISO数学有实际应用价值，人们就会承认ISO数学发展了现代数学。

蒋春暄先生在文[1]中说：“1993年桑蒂利指出ISO加法不满足分配律，所以我们放弃了ISO加法研究”。又说：“2008年9月4日我在公共汽车上,突然想起ISO加法满足分配律，这样我就建立了ISO加法和ISO减法，这样就建立了完整ISO数学理论”。但是，千万别忘了，如果ISO乘法对于ISO加法满足分配律的话，那么“ISO数学”就是通常所说的“域”，也就不是什么新数学了。

“群”、“环”、“域”、“体”等都是一种数学体系，用一个中文字来表示，使用起来甚为方便，而“ISO数学”也是一种数学体系，却用中西结合的五个字“ISO数学”来取名，不但取名不甚科学，而且使用起来也不甚方便，建议用一个中文字“桑”来表示更好些。因为“ISO数学”是由桑蒂利教授创立的，所以不妨把“ISO数学”改称为“桑”（Santilli）。

参考资料：

[1] 蒋春暄-改变现代数学的桑蒂利ISO数学理论

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