牛顿力学中的质能方程

作者 古新妙

[摘要] 本文提出牛顿力学的质能方程。爱因斯坦本因相对论的需要提出质能方程，笔者认为牛顿力学也可以有完全相同的质能方程，牛顿力学的质能方程就是爱因斯坦的质能方程。质能方程发展了牛顿力学，使得牛顿力学也有质量亏损理论，也能研究原子核的裂变或聚变。

[关键词] 相对论的质能方程 牛顿力学的质能方程

1. 相对论力学中的质能方程

在特殊相对论中，静止质量为的自由粒子的作用量积分是

而拉格朗日函数是

广义冲量为

能量为

当运动物体的运动速度为零时，它的能量是

叫做物体的静止能，其中为静止质量。

质量为的静止物体的内能为。如果这物体以速度运动，则其总能量为

令

并把它叫做物体的运动质量。则有

式子和都叫做相对论的质能方程。令

叫做运动物体的动能。我们有。

顺便指出，由得，从而

所以

故得

这就是用冲量表示能量的式子，叫做哈密顿函数。

2. 相对论力学中的质量亏损理论

假定静止质量为的物体由许多粒子组成，粒子的质量记作，物体内所有粒子的质量和为，物体内所有粒子的静止能的和为，需要注意的是：，。这是因为静止物体的内能除包括各个粒子的静止能外还包括各个粒子的动能以及粒子之间的相互作用能。复杂粒子的总质量并不等于各粒子质量的总和。复杂粒子的总质量一定大于各粒子质量的总和。复杂粒子的总质量与其中所有粒子质量的总和之差叫做“质量亏损”。而数值叫做物体的结合能。

在物体静止的参考系统内考察一个质量为的物体，假定这个物体自动分裂成两部分，这两部分的速度分别为、，而两部分的质量分别为、，则仅仅当质量亏损为正时才能自动分裂，此时，按照相对论有

要使分裂发生，必须从外面供给能量，而供给的能量至少也要等于结合能。

3. 牛顿力学中的质能方程

在牛顿力学中，静止质量为的自由粒子的作用量积分是

而拉格朗日函数是

广义冲量为

能量为

当运动物体的运动速度为零时，它的能量是

叫做物体的静止能，其中为静止质量。

质量为的静止物体的内能为。如果这物体以速度运动，则其总能量为

令

并把它叫做物体的运动质量。则有

式子和都叫做牛顿力学的质能方程。令

叫做运动物体的动能。我们有。

顺便指出，由得，代入中，得到

这就是用冲量表示能量的式子，叫做哈密顿函数。

4. 牛顿力学中的质量亏损理论

假定静止质量为的物体由许多粒子组成，粒子的质量记作，物体内所有粒子的质量和为，物体内所有粒子的静止能的和为，需要注意的是：，。这是因为静止物体的内能除包括各个粒子的静止能外还包括各个粒子的动能以及粒子之间的相互作用能。复杂粒子的总质量并不等于各粒子质量的总和。复杂粒子的总质量一定大于各粒子质量的总和。复杂粒子的总质量与其中所有粒子质量的总和之差叫做“质量亏损”。而数值叫做物体的结合能。

在物体静止的参考系统内考察一个质量为的物体，假定这个物体自动分裂成两部分，这两部分的速度分别为、，而两部分的质量分别为、，则仅仅当质量亏损为正时才能自动分裂，此时，按照牛顿力学有

即

所以

根据冲量守恒定律，有，，所以

令

叫做和的调和平均。我们有

所以

由此可见，物体自动分裂时会有质量亏损，依靠质量亏损供给的能量来使分裂的物体产生冲量。如果不是自动分裂，而是从外面供给能量使之分裂，那么所需供给的能量至少也要等于结合能。

原子核裂变或聚变都会有质量亏损，有了牛顿力学就可以用质能方程和质量亏损等概念来解释了。

5. 为什么必须要有质能方程与质量亏损理论？

如果不用质能方程以及质量亏损理论，而只用系统的内能概念可以吗？为此认定封闭系的内能在系统的运动过程中始终保持着一个常数，并把它引进到拉格朗日函数中。假定质量为的自由粒子的作用量积分是

而拉格朗日函数是为

其中是体系的动能，而是封闭体系的内能，在运动过程中内能始终保持着一个常数。广义冲量为

能量为

当运动物体的运动速度为零时，它的能量就等于其内能。

由得，代入中，得到

这就是用冲量表示能量的式子，叫做哈密顿函数。

假定一个物体的质量为，它由许多粒子组成，粒子的质量记作，物体内所有粒子的质量和为，我们不讨论与相等与否，只知该物体的内能为，内能包括各个粒子的动能以及粒子之间的相互作用能。在这物体为静止的参考系统内来考虑，现在给这个物体供给能量，使其内能增大从而自动分裂成两部分，这两部分的质量分别为、，速度分别为、，内能分别为、，能量分别为、，那么根据能量守恒定律，我们有

令

并把它叫做该两部分物体相互结合时的结合能。于是有

要使分裂发生，必须从外面供给能量，而供给的能量至少也要等于结合能。

虽然以上论述没有涉及到质能方程，也不用质能转换和质量亏损等概念，只用系统的内能概念就可以了。但是原子核裂变或聚变都会有质量亏损，质量亏损多少？释放多少能量？这就必须用质能方程来计算，不用质能方程和质量亏损概念是行不通的。所以必须要有质能方程。