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引力场中的自由落体运动定律
古新妙
E-mail: guxinmiao@sina.com
摘要 本文为了探索广义相对论而研究引力场中自由落体的运动定律，结果获得牛顿引力场中的自由落体运动定律和许瓦兹希德场中的自由落体运动定律，都积分成了有限形式，并举出两个实例用以比较应用两个定律计算的结果。
关键词 牛顿引力场 许瓦兹希德场 自由落体运动定律
前言：探索广义相对论正确与否，可以从不同的侧面来进行，本文是从自由落体运动这个侧面来探索广义相对论，为此首先寻求在牛顿引力场中和在许瓦兹希德场中的自由落体运动定律。如果利用这样两个定律对于同一个实例计算结果有较大差别的话，那么可用自由落体运动实验来判定两个定律之中谁是谁非；如果利用这两个定律对于同一个实例计算结果差别非常微小，以致不可能用自由落体实验来判定的话，那么在有关自由落体运动这一局部问题上也可以看出广义相对论的伪科学性的精确度何等高超。现在就来寻求牛顿引力场中的自由落体运动定律和许瓦兹希德场中的自由落体运动定律。
1. 牛顿引力场中的自由落体运动定律
考虑一个质量为
其中
质量为
来描写，它在球坐标中的形式为
由于牛顿场是辏力场，所以质点在牛顿场中的运动轨道是平面曲线，不妨假定质点在平面
由于拉格朗日函数
决定质点运动规律的拉格朗日方程为
这方程组有角动量积分
现在，我们只考虑自由落体的运动，此时
假定当
由此得
由于速度方向指向场的中心，所以
所以
所以
为了把它积分成有限形式，作欧拉代换：
因此有
所以
因为
所以
于是得到
回到原来的变量，得
假定当
这就是牛顿引力场中自由落体的运动定律。它表示从距离场中心
它表示从距离场中心
于是
令
则得
这就是自由落体的伽利略公式。它只是一个近似公式。（1-4）或（1-5）才是精确的公式。
2. 许瓦兹希德场中的自由落体运动定律
考虑一个质量为
其中
描写质点在许瓦兹希德场中运动特性的拉格朗日函数在球坐标中的形式为
因为质点的运动轨道是平面曲线，不妨假定质点在平面θ=π/ 2上运动，所以
根据拉格朗日函数
广义力是：
体系的能量是：
由于拉格朗日函数
即
决定质点运动规律的拉格朗日方程为
这方程组有角动量积分：
若
所以
即
由于速度方向指向场的中心，所以
所以
假定当
因此
最后化成如下形式：
为了把它积分成有限形式，作欧拉置换：
因此有
令
则得
为了把被积分的有理分式分解成简分式之和，我们假定
则
所以
即
比较两边系数，得
所以
现在考虑这等式右边各项的积分，首先
其次
令
则
因为
所以
所以
所以
所以
由于
所以
因为假定当
这就是许瓦兹希德场中自由落体的运动定律。它表示从距离场中心
它表示从距离场中心
3. 计算实例
让我们在地球引力场中来做一些实例计算。因为地球质量
[例1] 假定一个物体从距离地球中心三十万公里的高空处自由落下，忽略与大气层的磨擦，求下落到地球表面时所需的时间。
[解] 这里
[例2] 假定一个物体从距离地球中心6371公里处自由落下，忽略与大气层的磨擦，求下落1000厘米所需的时间。
[解] 这里
4. 结束语
笔者为了探索广义相对论而研究自由落体的运动定律，本意是希望所获得的两个定律在对具体问题的计算结果上会有可用实验来判决的差异，然而出乎意料之外的是在所举实例中两种计算结果相差都十分微小，这表明我们不可能用自由落体的运动实验来否决广义相对论。笔者才疏学浅，在探索相对论过程中意识到，要想用实验事实来否定广义相对论还不是一件轻而易举的事情。当然，由于相对论时空观本身存在着不可克服的逻辑矛盾，决定了它最终必被否定。
（2006年1月4日对结束语作了微小的修改）
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古新妙 （guxinmiao@sina.com） 上传2008.07.05
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的小质量质点在另一个质量为
的大质量质点所产生的牛顿引力场中的运动，我们知道，质量为
代表引力常数：
。
上运动。此时
不显含时间
，所以我们有能量积分：
（常数）
（1-1）
（常数）
（1-2）
常数，
。代入能量积分（1-1）中，得
时，
，那么
（1-3）
，则
， 
， 
， 
。
时，则
，所以
（
）
（1-4）
时下落到距离场中心
时所需的时间。如果令
，则
（
）
（1-5）
所需的时间。若
甚小，则有
以及
，从而
（1-6）
（常数）
（2-1）
（2-2）
（2-3）
，则
，从而
（2-4）
由（2-4）知道：
（2-5）
（2-6）
，
，
。
（2-7）
（2-8）
克，引力常数
厘米/秒。所以
， 
，
。
（厘米），
（厘米）。利用（1-4）式来计算的结果是：
（秒）；用（2-7）式来计算的结果是：
（秒）。
（厘米），
（厘米）。利用（1-5）式来计算的结果是：
（秒）；用（2-8）式计算结果是：
（秒）。