摘要：本文以自然数基本性质、素数定义、埃氏筛法和数轴概念等数学基础知识为逻辑起点，创造了新的数学概念，构建了新的数学模型，发现了新的数学关系，推导出了新的数学公式：偶数分拆公式。应用该公式可计算出任意一个偶数大约能分拆成多少对奇素数之数值。该公式解决了哥德巴赫猜想问题。

关键词：素数P_n；全素数阶乘2P_n！；奇素数阶乘P_n！；素数减一阶乘（P_n-1）！；合数集合H_n；非合数集合NH_n；数塔A；虚拟合数iH_n；2N奇数组合；H_n元素相容组合；H_n元素相斥组合；素数测不准原理；偶数分拆公式。

一、预备知识

（一）自然数集性质

1、皮亚诺自然数公理；

2、自然数唯一分解定理；

3、命题：连续n个自然数当中必有且只有一个自然数能为n整除；

4、乘法分配律：a(b+c)=ab+ac；

（二）容斥定理，鸽巢原理；

（三）素数集性质

1、素数定义；

2、埃氏筛法；

3、素数个数无穷定理；

（四）数轴定义；戴德金一康托尔公理；

（五）三角形面积公式：S△=a·h

（六）数学分析公式：

二、有关定义的叙述及其相互关系

（一）有关数学概念的定义及其性质

1、素数P_n

定义：除1之外且只能为1和本身之数所能整除的自然数称为素数。

显然，2是最小的素数。

令P₀=2，P₁=3，P₂=5，P₃=7，……P_n=P_n，

显然P₀<P₁<P₂<P₃<……<P_n-1<P_n，

并且n趋于无穷大，表示不存在最大的素数。自然数中素数的个数是无穷的。

2、全素数阶乘2P_n！

定义：2P_n！=2·3·5·7……P_n-1 ·P_n

将最小素数2至指定素数P_n当中的所有素数连乘。

3、奇素数阶乘P_n！

定义：P_n=3·5·7·11·13……P_n-1 ·P_n

将最小奇素数3至指定素数P_n当中的所有素数的连乘。

4、素数减一阶乘（P_n-1）！

定义：（P_n-1）！=2·4·6·10·……（P_n-1-1）·（P_n-1）

将指定素数P_n以及P_n之前的所有素数都减去1之后的连乘。

5、合数集合H_n

定义：自然数集中所有其最小素因子为P_n的合数之集合。

例：H₀：表所有最小素因子为P₀（2）的合数之集合。4，6，8，10，12，14，……（2·A）

H₁：表所有最小素因子为P₁（3）的合数之集合。9，15，21，27，33，39，45，51，……（3·NH₀）

H₂：表所有最小素因子为P₂（5）的合数之集合。25，35，55，65，85，95，115，125，145……（5·NH₁）

·

·

·

H_n：表所有最小素因子为P_n的合数之集合。

P_n²，P_n·P_n+1，P_n· P_n+2，P_n·P_n+3，……（P_n·NH_n-1）

显然，在一个确定的连续自然数中，特别地，在整个自然数集A中，

H₀>H₁>H₂>H₃>……>H_n

H₀>H₁的意义是：在一个连续的自然数区间内，属于H₀的元素要比属于H₁的元素要多。

H_n集合的性质：

①H_n集合在自然数集A中是一无穷数列，最小元素为P_n²，没有最大元素；但在有限数集N中，存在一个最大元素。

②自然数集A中存在着无穷个H_n集合，而在有限数集N中存在着有限个H_n集合。每一个H_n集合都是不可替代的。表示其起始元素P_n²、元素之间的间隔和元素在自然数中的分布都是唯一的，各不相同的。

③H_n元素的分布规律：在P_n之后，连续2P_n！个自然数内必有（P_n-1-1）！个H_n元素。

④H_n集合随着n增大，元素之间的间隔增大且越来越不匀。其最小间隔为2·P_n；最大间隔为2P_n·P_n-2 。（只有H₀、H₁元素间隔是均匀的）。

⑤H_n元素在自然数集A中的比率是等于；

在有限数集N中的比率是近似。

6、非合数集合NH_n

定义：NH_n=A-

自然数集A中，剔除了1和H₀~H_n合数集合的元素之后剩余的数列。

在有限数集N中：素数集合P=N-

P_n≤< P_n+1

NH_n数列表

NH₀=A-H₀-1

2，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，……

NH₁=A-（H₀+H₁+1）

2，3，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，……

NH₂=A-（H₀+H₁+H₂+1）

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，

31， 37，41，43，47，49，53，59，

61， 67，71，73，77，79，83，89，

91， 97，101, 103, 107, 109, 113, 119,

121，……

·

·

·

NH_n=A-

2，3，5，7，11，13，……P_n，P_n+1，……P_n+1²……2P_n！-1

2P_n！+1， 2P_n！+P_n+1，……2_Pn！+P_n+1²……4P_n！-1

4P_n！+1， 4P_n！+P_n+1，……4P_n！+P_n+1²……6P_n！-1

·

·

·

显然，NH₀>NH₁>NH₂>NH₃>……>NH_n>……

NH_n集合的性质：

①在无限数集A中，NH_n为一无穷数列，最小元素为2，不存在最大元素；但在有限数集N中，NH_n为有限数列，以至于全部元素都是素数，存在最大元素。NHn数列分为三段：筛素数；2-Pn素数；----Pn^2准素数;----无限

②在无限数集A中，NH_n数列中存在着无限种H_r(r>n)合数集合；而在有限数集N中，存在的H_r集合有限或无。

③NH_n元素的分布，在P_n之后，连续2P_n！个范围内，必有（P_n-1）！个NH_n元素；而在2P_n！之前，存在着（P_n-1）！+n个NH_n元素。

2P_n！， 2P_n！P_n+1，2P_n！P_n+2， ……都是NH_n元素。

在NH_n数列中，P_n！都是或都不是NH_n元素。

[<（P_n!-P_n）,自然数]

④NH_n非合数集随着n增大，元素之间的间隔越来越大且不均匀。其最大间隔为2P_n-1；最小间隔不会变化。

⑤NHn元素在自然数集中的比值为；

H_n 、NH_n概念及其性质是从“埃氏筛法”这口古老的井中深挖掘出来的一股新泉。这股新泉水能荡涤化解开不少笼罩在哥德巴赫猜想头上的重重迷雾。

7、数塔A

定义：从一根数轴t_o出发，在其原点O上，再引出两条射线t和t´，分别与t_o对称且夹角为。令数轴t_o由上而下，则该图形如一金字塔，故命名为数塔。

数塔A具有五大要素：

①原点O，就是原数轴t_o的原点，表示计数的起点；

②方向，就是原数轴t_o的方向，表示次序大小的指向；

③单位数，即在原数轴t_o的单位数点上作一条垂直t_o且与t、t´相交线段，其线段以上面积就是数塔A的单位数面积。

④N阶层线，过t_o线任意一点N，作垂直于t_o的线段分别相交t线和t´线，所围成的面积表示N²这个连续量的值。

⑤辐射线t_n，从原点O以一定的角度引出一条射线t_n，两条辐射线之间的面积表示在一连续量中符合某种要求的离散量的大小。

通常以tOt_o面积表奇数集合，t´Ot_o面积表偶数集合。

数塔与数轴的异同：

两者相同的地方是：都有原点，方向，单位数，计数的起点，标准及其大小次序排列都是相同的。

不同的地方是：数轴上的单位数是一维性，刚性的，每一个序数必定固定在唯一的一个位置上，所以在数轴上不能表达一个离散量；而在数塔上的单位数是二维性，柔性的，每个序数可根据需求随意安置在数塔上的某个位置。在数塔上不但可表达连续量的大小，也可表达这个连续量中某种离散量的大小。

数塔的作用：

由于数塔中各阶层线N与各辐射线t_n相互等比例地分割对方，所以在数塔中，能表达某一个连续量中其中一部份离散量的大小，还能表达这个离散量所占的比值。在数塔中，能很直观、形象地把素数集合个数趋于无穷大而其占自然数的比值趋于无穷小的特性准确在反映出来。这在数轴上是无法表达的。

数塔这个新的数学工具的发明，为把代数、几何、集合、数论、概率、分析、离散、组合等多门学科共冶一炉创建了一个平台。

8、虚拟合数iH_n

定义：iH_n= ，n>1

将自然数塔A，按照H_n集合的性质，分成n个小数塔，分别是数塔A的，，，……；每一个小数塔在P_n阶层线以上的部分称为虚拟合数iH_n。

iH_n的性质：

①iH_n只在数塔中存在，在数列中不存在。

②它总体上存在，具体上不存在，通常以分数形式存在。

③随n增大，iH_n增大。

iH₁=

iH₂==

iH₃==

iH₄==

·

·

·

iH_n=

iH₁<iH₂<iH₃<……<iH_n

④在A数塔中，iH_n表现为其顶角越来越小的三角形，其尖端部分是P_n，P_n元素在iH_n中的下底线距原点距离是。P_n下面还有一个梯形，其上顶宽为，下底宽为，高为P_n-。

⑤iH_n具有典型的悖论性质，它出现在数塔A中的位置是属于NH_n的区域，但它本身属性越来越多地是属于H_n性质。

引入iH_n概念，使H_n和NH_n元素之间制造了一个过渡的因素，使两种元素在小范围分布不均匀的问题得到弥合，使原教科书中“埃氏筛法”计算误差太大的缺陷得到有效的消除。素数个数由测不准变得可以精确估计。

9、2N奇数组合

将小于2N的所有奇数按序排列，可以且只能组成[]组两奇数之和为2N的数组。

10、H_n元素相容组合

在2N奇数组合中，上层中若有一个H_n元素与下层中的H_n元素组成2N，则上层中所有的H_n元素都与下层的H_n元素组成2N，反之亦然。这种情形称为相容组合。

11、H_n元素相斥组合

在2N奇数组合中，上层中若有一个H_n元素与下层中的NH_n元素组成2N，则上层中所有的H_n元素都与下层的NH_n元素组成2N，反之亦然。这种情形称为相斥组合。

相容、相斥组合的产生机理源于2N当中是否含有Pn素因子且乘法分配律正，逆定理都成立：a·b+a·c=a(b+c).

12、素数测不准原理

在连续2P_n！个自然数中，H₀~H_n的元素个数都是可以准确测定的：

H₀元素总数：；

H₁元素总数：；

H₂元素总数：；

·

·

H_n元素总数：(P_n-1-1)!

但在2P_n！中还存在H_r(r>n)合数。这些合数元素无法准确测定，因此导致在一个大的数目中，其中的素数个数总量无法准确测定。

（二）有关数学概念的相互关系

1、自然数集A、H_n合数集及NH_n非合数集之间的代数结构：

2、自然数集A、H_n合数集及NH_n非合数集之间的数塔结构

3、H₀ >H₁>H₂ >H₃ > H_n

4、NH₀ >NH₁ >NH₂ >NH₃ >NH_n

5、2P_n！当中的H_n元素数为（P_n-1-1）!-1个；

而在P_n元素之后的2P_n！范围内，存在（P_n-1-1）!个

6、2P_n！当中的NH_n元素数为（P_n-1）!+n个；

而在P_n元素之后的2P_n！范围内，存在（P_n-1）!个。

7、iH_n=

8、在无限范围内：H_n=

在有限范围内：H_n ~

H_n=H_n

9、在无限范围内：NH_n=

在有限范围内：NH_n ~

NH_n=H_n

10、在无限范围内：H_n>P成立。P表示素数集合。

在有限范围内：H_n<P在多数情况下成立。

以上数学概念及其相互关系是论证偶数分拆公式成立的逻辑依据。

三、偶数分拆公式的推导证明

偶数分拆公式的形式如下：

D_1,1(2N) ~

(N≥3，→∞，自然数；P，素数)

它是由一些真实性的命题通过逻辑推理证明出来的。

首先我们来确定一些真实性的命题。

命题一：小于2N（N，自然数）的自然数中，必定存在N个奇数，可以且只能组成[]~ 组两奇数之和为2N的奇数数组。

命题二：在2N奇数组合中，各种H_n（n≥1，P_n<<P_n+1）元素必定以各种固定的比值大致均匀地分布在奇数序列中。

命题三：在2N奇数组合中，上层的H_n元素与下层的H_n元素或是相容，或是相斥，两者必居其一。

命题四：在2N奇数组合中，上层的H_n元素必定以大致相同的比率存在于下层中；而由于H_n的起始元素P_n²的不同，有少量H_n元素仅存在于下层元素中。

上述四个命题，基本上涵盖了论证偶数分拆公式成立的逻辑关系。

下面再将偶数分拆公式所蕴涵的逻辑关系展开在数塔上来讨论，说明要论证偶数分拆公式的成立，只需要完成三种转换：

第一种转换，是将2N的奇数全部抽出来，组成2N奇数组合，将组合后的对子数[]，转换成数塔中一块确定的面积。

这块面积对应于公式中的。

第二转换，是将2N的奇数组合中的上层合数元素H_n（n≥1，P_n<<P_n+1）全部删除。删除的过程就是面积不断缩小的过程，也是这个原本数值不断连乘一个小于1的系数的过程。待到上层中的所有H_n元素删除干净，剩下的面积是：.

第三种转换，是将仍存于2N的奇数组合中下层中的H_n（）元素删除，即在上述残存的面积上继续缩减。待到下层元素中也没有合数元素时，剩下的奇数组合基本就是上下元素都是奇素数的对子之数值。。

为了更清楚地说明偶数分拆公式的由来，为此推出一套推理论证的26个判断，每个判断都环环相扣，确认偶数分拆公式的成立有充足的理由及严格的逻辑依据。

1、任何一个偶数2N，在数塔A 中，必定存在一条阶层线来表示。

2、2N当中的所有奇数个数必定是N个。反映在数塔A中就是t线，t₀线及阶层线合围的面积。

3、两个奇数之和必定是偶数。2N=NH₀+NH₀。

4、在数塔A中的线上取点作阶层线。将2N中的所有奇数分成两部分。1至（N-1）or N 置于上层；（N+1）or N至（2N-1）置于下层。

将上层元素称为小元素，下层元素称为大元素。

5、上层中的每一个小元素必定可与下层唯一的一个大元素组成2N这个偶数。这种组合称为2N奇数组合。

6、2N奇数组合共有[]对，近似于对。

（当N为奇数时，上层的最大元素是N，

当N为偶数时，上层的最大元素是（N-1）。）

7、这个数值表达在数塔A中就是两条阶层线（及阶层线）和两条辐射线（t线及t₀线）合围的面积。

上述判断表示已完成了由2N这个偶数转换成这个数值的变化。

8、2N奇数组合中，上层中有素数、合数（将元素1当作合数看待），下层中也有素数、合数。

9、因此，存在四种组合方式：小素大合；小合大合；小合大素；小素大素。

10、根据论题要求，只保留小素大素方式，前三种组合都要删除。

11、上层元素中必有H₁~H_n合数集合存在。

P_n≤<P_n+1

表示存在n条辐射线。(t₁~t_n辐射线)

12、这些H₁~H_n合数集合以同等比例地离散分布在下层元素中，表示有n条辐射线必定存在于[]区域。

13、由于……

必有H₁>H₂>H₃>……H_n存在，每种合数集合的比值都相对固定。

14、在一个整体中删除一部分，等于将这个整体乘上一个小于1的系数。

15、A-B=A·=A（1-B/A）

=（1-B/A）< 1

16、上层H_n元素与下层H_n元素或是相容组合，或是相斥组合，两者必居其一。其机理是2N当中或是存在P_n素因子，或是不存在P_n素因子。存在P_n素因子必定是相容组合，否则是相斥组合。

17、若是H_n元素相容组合，即2N当中存在P_n素因子，要将存在H_n元素的组合对删除，只须在原本的整体上面乘以这个系数。在数塔中操作这一步，即将区域中t_n线左边的区域删去，以H₁为例，若2N中存在P₁（3）这个素因子，则H₁元素必定相容组合。要将H₁元素全部删除，则在原本整体()上再乘以这个系数，在数塔上操作就是把t₁辐射线左边的区域删去。

18、若是相斥组合，则要删去原本整体上的。即将原来整体乘以这个系数。在数塔上操作这一步，则必定先删去t_n线左边的区域，再在剩下的部分沿一条阶层线删去同样大的一块区域。因为t_n线的右边是NH_n区域。相斥组合中，H_n元素每一个都要和一个NH_n元素组成2N这个数。

19、以此类推次，将上层所有合数元素所在的组合对子都删除，剩下的面积为：

至此，已完成了第二种转换。

20、由于各合数集合的起始元素各不相同，H_n+1~H_n+r合数仍存在于下层中。

P_n+1>， P_r<<P_r+1

21、这表示在这块区域中，必然存在着­—条辐射线。

22、由于这些合数只存在于下层元素中，所以在2N奇数组合中，不存在相容相斥的区别。

23、要删除这些元素只需在原本上再乘以即可。在数塔上操作就是将辐射线t_r左边区域删除。

24、取2N当中的最小合数集合H_r为终止点。

25、在数塔上最后剩下的面积就是2N这个偶数能分拆成奇素数对的大约数值。

26、由于在上述删除H_n元素过程中，都是将P_n元素也当作H_n元素对待，其实在相斥组合中，P_n元素也有可能与NH_n中的素数组合成2N。

此外，实际删除H_r元素必定是一个整数，但在计算过程中都是以一个分数来表示。由于这些原因，上述得出的最后结果仍然是一个近似值，这导致偶数分拆公式中渐近符号的产生。

至此，第三种转换已经完成。2N奇数组合当中的合数元素所在的对子全部删除。偶数（2N）能分拆成奇素数对的计算公式欣然登场，款款而出：

D_1,1(2N) ~

四、老干新枝绿叶红花

如果把偶数分拆公式比作是人类思维领域中的一支鲜艳红花，那么，人们自然要追问：红花下面的青枝绿叶是什么？青枝绿叶下面的老干深根又是什么？红花虽美，需要绿叶扶持。如果没有老干深根为红花提供养分，没有青枝绿叶为红花支撑扶持，红花怎么能够凭空开放呢？

我们知道：每一个现象当中必有一个原因，每一个结论之前必有一个成因，每一个概念之前必有一个更大的概念。这样就形成了原因和结论相互联系的逻辑链条。

偶数分拆公式解决了困惑了人类数百年的一道经典难题，但是它的每一个枝节都是和数学这棵繁茂大树的老干深根紧密相连。虽然在验证这个公式的效用时用到了当代最先进的计算机技术，但在构建其论证的理论框架时，所用到的基本知识都是人类已使用了上千年的古老观念和概念。那么，建立偶数分拆公式的思维脉络是如何展开的呢？

一、从埃氏筛法和自然数唯一分解定理出发，创建了H_n、NH_n概念。这两个概念非常简单、直观且容易理解，但它的作用不可低估。由这两个概念引出的H_n合数性质，NH_n非合数性质，清楚地揭示了各个合数集元素都是以大致均匀的状态存在于自然数中。由于是大致均匀，所以就可以整体去把握，可以计算或估计。

二、从素数定义和n!概念出发，创建了全素数阶乘2P_n！、奇素数阶乘P_n！和素数减一阶乘（P_n-1）！等概念。有了这些概念，才能清楚地了解每2P_n！范围内的自然数中，H_n元素有（P_n－1-1）个，而NH_n元素有（P_n-1）！个。

三、从皮亚诺公理和唯一分解定理出发，构建了2N奇数组合这个模型。无论N多大，2N当中的所有奇数可以且只能组合[]成对奇数组。由此引申出偶数分拆公式中的因子的产生。

四、由笛卡尔数轴概念和戴德金——康托尔公理出发，发明了数塔这个新的数学工具。由于数塔具有二维性，因此它既能准确地描述一个连续量，又能准确地描述一个离散量。可以在数塔A内构建各种H_n数塔、NH_n数塔以及素数集合P数塔。并引申出iH_n概念。

由于iH_n的出现，导致偶数分拆公式当中的渐近符号 ~ 的产生。

五，由乘法分配律和2N奇数组合这个概念出发，建立了2N奇数组合中的H_n元素相容组合和相斥组合概念，为分别讨论两种组合的情形提供了一个基础。

由于数塔中的序数位置可以任意安置，因此可以用不同辐射线来区分不同的H_n元素。由于每个序数的面积都是相等于标准单位数的面积，因此2N=H_n+H_n或2N=H_n+NH_n可以变换成2N等于两序数之和，突破了数轴上序数相加没有意义这个规则。根据题意要求和容斥原理、鸽巢原理，将2N奇数组合中上层有所有合数元素全部删除之后，数塔中原本的面积变成了: 。

六、由于各个H_n集合的起始元素的不同，所以有些合数元素仅存于2N奇数组合的下层。为删除这一部分，必须在上述的原本整体中再连乘以一个小于1的分数因子：。

本文中所用到的数学基础知识——“老干深根”部分是：

1、素数定义，埃氏筛法；

2、皮亚诺公理，唯一分解定理；

3、数轴概念，戴德金——康托尔公理；

4、n!阶乘概念；

5、乘法分配律；

6、容斥定理，鸽巢原理。

在本文中的一些原创性新数学概念——“青枝绿叶”部分是：

1、数塔；

2、2P_n!、P_n!、(P_n-1)!概念；

3、合数集合H_n、非合数集合NH_n、虚拟合数iH_n概念；

4、2N奇数组合、相容和相斥组合概念。

下面再将本文中的“老干新枝绿叶红花”之间的各概念联系相关图描述之：

以上新的数学概念的诞生，不但能解决哥德巴赫猜想问题，还能解决其他经典数学问题。请读者朋友关注后续文章《青枝绿叶上的红硕花朵》，精彩仍在继续。