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在世界历史上留下英名的哈代有好几个人。本文提及的哈代是作为数学家的哈代。这位先生是个了不起的人物，他的学术贡献和道德文章都是首屈一指的。我们单从他的学生来看，就可以看出他的不同凡响：中国的华罗庚、美国的维纳、印度的拉马努扬都曾经当过他的学生。这几个人都是他们祖国的骄傲，属于天才性的人物：是专家中的专家、教授中的教授、精英中的精英。能够教出这些非凡学生的老师，他能不伟大吗？ 哈代先生在他晚年的时候，写了一本篇幅不大的书——《一个数学家的辩白》，“用最优雅的语言对于数学的真谛进行了完美的揭示”。这本书真是写得好。你读了这本书，就似乎感觉自己触摸到了数学的灵魂。数学是活生生的东西，它有模式、有形体、有灵魂，浑身都散发着美的光辉。因为我的数学天赋实在很差，对于哈代先生在书中表示出来的精妙思想只是有点模糊的感觉，既不能够确切地把握，也不能精确地表述。对此，真是十分的惭愧。 1922年，哈代先生和他的合作者李特伍德先生提出了两个有名的猜测公式。一个是孪生素数定理猜测公式： Z（N）= 2
一个是关于偶数表为两个素数之和的表法个数猜测公式，也就是“哥猜”答案素数的猜测公式： D（N）= 2
这两个公式形式非常相似，只不过后者比前者多了一个因子
哈代先生在《辩白》中精辟地指出：“我相信数学实在存在于我们之外，我们的任务是去发现或观察它。”一个大偶数中有多少对孪生素数，这是一个客观实在；这个大偶数能够分拆出多少对素数之和，也是一个客观实在。它们不会按照人的主观意志而转移。哈代先生关于上述的两个公式是在假设黎曼猜想成立的情况下推导出来的。我当然没有能力来论证黎曼猜想是否成立，但是我可以先使用计算机技术找出实际数据来证明：哈代的猜测的确符合了“数学实在”这个事实。
上述数据都表明：在一个偶数当中，如果没有奇素因子，这个偶数包含的孪生素数的对子数与这个偶数能够分拆出的“哥猜”答案素数对子数基本上是差不多的。 以上用的是实例，它的优点是直观，容易理解；但是它采用的是不完全归纳法，似乎缺少一点逻辑的力量。
下面采用逻辑的办法来论证：在一个偶数当中，如果没有奇素因子，这个偶数包含的孪生素数的对子数与这个偶数能够分拆出的素数对子数彼此基本相等。 《辩白》中说：数学家是模式的创造者，是概念的造型者。为了论证上述观点，我也要建立一个新模式，提出几个新概念： 1、数塔A 定义：从一根数轴to出发，在其原点O上，再引出两条射线t和t´，分别与to对称且夹角为
数塔A具有五大要素： ①原点O，就是原数轴to的原点，表示计数的起点； ②方向，就是原数轴to的方向，表示次序大小的指向； ③单位数，即在原数轴to的单位数点上作一条垂直to且与t、t´相交线段，其线段以上面积就是数塔A的单位数面积。 ④N阶层线，过to线任意一点N，作垂直于to的线段分别相交t线和t´线，所围成的面积表示N2这个连续量的值。 ⑤辐射线tn，从原点O以一定的角度引出一条射线tn，两条辐射线之间的面积表示在一连续量中符合某种要求的离散量的大小。 通常以tOto面积表奇数集合，t´Oto面积表偶数集合。
数塔与数轴最大的不同是：数轴上的单位数是一维性，刚性的，每一个序数必定固定在唯一的一个位置上，所以在数轴上不能表达一个离散量；而在数塔上的单位数是二维性，柔性的，每个序数可根据需求随意安置在数塔上的某个位置。当然这个“柔”，是刚中之柔。数塔上的每一个数，它的位置和形状可以根据需要千变万化，这体现了它的“柔”性；但是每一个数的面积是不折不扣的与单位数面积一样大的，这就是它的“刚”性。正是因为数塔上的“数”如此“至刚至柔”，所以在数塔上不但可表达连续量的大小（体现在不同的阶层线上），也可表达这个连续量中某种离散量的大小（体现在不同的辐射线上）。这就是数塔的不凡功能。 2、全素数阶乘2Pn！ 定义：2Pn！=2·3·5·7……Pn-1 ·Pn 将最小素数2至指定素数Pn当中的所有素数连乘。 3、奇素数阶乘Pn！ 定义：Pn=3·5·7·11·13……Pn-1 ·将最小奇素数3至指定素数Pn当中的所有素数的连乘。 4、素数减一阶乘（Pn-1）！ 定义：（Pn-1）！=2·4·6·10·……（Pn-1-1）·（Pn-1） 将指定素数Pn以及Pn之前的所有素数都减去1之后的连乘。
建立上述几个概念是为了描述合数集合Hn或者非合数集合NHn元素在一定的范围内的准确个数。这是使计算结果精确化的必由之路。而什么是合数集合Hn？什么是非合数集合NHn？请看下面的内容。 5、合数集合Hn的定义：自然数集中所有其最小素因子为Pn的合数之集合。 例：H0：表所有最小素因子为P0（2）的合数之集合。4，6，8，10，12，14，……（2·A） H1：表所有最小素因子为P1（3）的合数之集合。9，15，21，27，33，39，45，51，……（3·NH0） …… Hn元素在自然数集A中的比率是等于
在有限数集N中的比率是近似
6、非合数集合NHn 的定义：NHn=A-
在自然数集A中，剔除了1和H0~Hn合数集合的元素之后剩余的数列。 在有限数集N中：素数集合P=N-
Pn≤
NHn元素在自然数集中的比值为
合数集合和非合数集合都是离散量的集合。其元素分布有“大体上是均匀、小体上不均匀”的特点。因为是“大体上是均匀”的，所以其集合元素总量可以用公式计算；又因为是在“小体上不均匀”，所以在计算中必定存在着误差。这个误差的估计可以用虚拟合数来解决。这种新的数学方法可以使古老的埃氏筛法具有显著的理论意义。
7、虚拟合数iHn的定义：iHn=
将自然数塔A，按照Hn集合的性质，分出n个小数塔，分别是数塔A的
8、单独合数H0：单独合数都是偶数。理解这个概念要在数塔的模式中联系非合数集合系统来考虑。它的定义是：在一个非合数集合NHn系统中，如果一个偶数它的前后都是非合数集合NHn元素，那么它就是一个单独合数。显然，在NHn系统中，小于最大筛素数P的平方这个范围内，其中H0的数量就是孪生素数的数量。它在自然数中的比值随着筛素数的增多而变得越来越小，但它的绝对值是越来越大。 9、连续合数C：不是单独合数就是连续合数。随着合数集合的不断增加，它的比值越来越大，它的绝对值也是越来越大。 10、虚拟连续合数iC：它的作用和虚拟合数相似，其数学意义是描述单独合数在自然数中分布不均匀的尺度，也就是说，它是描述孪生素数在自然数中分布不均匀的尺度。
有了上述新概念，我们可以论证在不含奇素数的偶数中，“哥猜”答案素数的计算公式的成立： 充分大的偶数N在数塔中能且只能找到唯一的一条阶层线来描述； 与N对应的平方根数
小于
小于N的各个合数Hn数列的个数和比值是唯一确定的。也就是说：描述各个合数集合的辐射线的数量是确定的； 它能够分拆出的不同奇数对之和等于N的奇数对对子数是确定的：N/4。 接下来要在N/4对的奇数对子中删除存在合数元素的对子，则必须连乘一个小于1的系数：（P-2）/P；P表示各个筛素数的数值。连乘出来的结果数值总是大于1，并且它与N数值成正比关系。表示：偶数N越大，原则上讲，能够分拆出来的素数对子越多。 最后，得出的结果是奇数对中不存在合数元素的素数对子。因为，数学上定义A+B与B+A是不同的素数对，所以还要在结果数值的基础上再乘以一个系数2。这样最终结果就是使原先的N/4变成了N/2。 D (N) ~
我们还可以论证孪生素数计算公式的成立： 一个充分大的偶数N，其中的偶数集合元素总量是确定的，就是等于N/2；接下来对小于N的奇数数列用3，5，7，11，13，17，……P等筛素数去“筛”剩余的数列时，每一次过“筛”，都会使原来的2/P单独合数化成连续合数C。P表示各个筛素数的数值。N/2与每一次的（P-2）/P连乘出来的结果，其比值越来越小，其绝对值总是越来越大。表示：偶数N越大，小于它的孪生素数对子越多。充分大的偶数N其中包含的孪生素数的对子数可由下面的公式求出： Z (N) ~
由于在求“哥猜”答案数时，起始是在N/4对的奇数对子中不断地除去含有合数的对子，可在最后又乘以一个系数2；于是产生出来的效果就和与原本就是等于N/2一样。前者在删除合数元素、后者在消减单独合数时，每次都是减去原本的2/P，也就是在原本的基础上，乘以一个小于1的系数：（P-2）/P ；这个过程是一模一样的，没有任何差别。于是，最后得出的结果自然就没有差别。充分大的偶数能够分拆出来的奇素数对的公式如下： D (N) ~
上述两个式子中的渐进符号，是由于虚拟合数和虚拟连续合数作用的结果。在哈代的公式中，为了表达这一层意思，特意乘上了一个因子（1+o（1））；表示：利用这个公式求出来的数据是存在着一定的误差的。这个误差是无论如何都不可能消除的。
下面再从数学分析的角度来解析哈代公式，论证这个公式的本质意义与偶数分拆公式基本上是一致的。 D（N）= 2
因为： ㏑N = 2㏑
D（N）= 1/2
P!/(P-1)!*x = ㏑P , x ∽ 1.123 （这是朗道的研究成果） 则 N/（㏑P）^2 = N（（P-1）！/（ P！*x））^2 ；2|N
又因为：
=
所以： D (N) =
因为
所以 D (N) ~
实际情况是：用哈代的公式计算出来的数值要比实际数值显得略小，而用偶数分拆公式计算出来的数值更加接近真实值。这充分证明：产生偶数分拆公式的理论基础——数塔理论是正确的。
综上所述，在一个充分大的偶数N当中，如果不含奇素因子，这个偶数包含的孪生素数的对子数与这个偶数能够分拆出的素数对子数基本相等。 参考文献
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甘世德 （ganshide@sina.com） 上传2007.07
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（1+o(1)）
。令数轴to由上而下，则该图形如一金字塔，故命名为数塔，用A来表示。
；
。
< Pn+1
；
， n>1
，
，
，……
；每一个小数塔在Pn阶层线以上的部分面积称为虚拟合数iHn。这个数值是数列和数塔之间存在差别的波动范围数值，它是描述该合数集合元素分布不均匀的尺度。它是调整各个集合元素分布不均匀的虚拟数，多的减少，少的增加，使原本元素分布不均匀的合数集合在数塔上表现得均匀分布。这样就能够对元素分布不均匀的素数集合进行比较准确的估计。
是唯一的；
； 2|N
