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据甘世德网站，来源地址：http://sea3000.net/ganshide/10.php
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埃氏筛法是由公元前250年的古希腊学者Eratosthenes首先提出来的在自然数中筛选素数的方法。这个方法非常古老，但非常有用。现在我们要制造素数表，除了使用这种方法之外，别无他途。
让我们先了解一下Eratosthenes（公元前273—公元前192）其人。这位Eratosthenes先生出生于灵列耐，是古希腊的一个著名学者，他是数学家、天文学家和地理学家。他当过亚历山大图书馆馆长（有的书上说他是博物馆馆长）,相当于我国古代思想家老子担任过的角色。Eratosthenes除了发明了这个筛法之外，还有一件彪炳历史的举动就是首先测量出了地球的直径，这是一件非常了不起的事情。事隔2000多年，现在要在那些博学之士当中挑出几个能够测量出地球直径的人来，恐怕也不是一件容易的事。
毫无疑问，Eratosthenes是个饱学之士，非常的有知识。但他更是一个非常有智慧的人。有知识和有智慧看上去似乎差不多，其实差别很大。有智慧的人能够把别人搞不明白的事情搞明白，而有知识的人是把别人已经搞明白的东西牢牢记住。有知识的人，他的特长是记忆能力好，理解能力好；有智慧的人，他的特长是好奇心旺盛，创造能力强。还有一些人，不但记忆力好，而且创造力强，Eratosthenes就是这样的人。这样的人在科学领域中就能够大展宏图，屡有建树。科学的发展首先是要依靠有智慧的人。当然如果谁有知识，能够博览群书，达到学识渊博、辩才无碍的程度，我们也应该尊敬他，因为科学的普及要依靠有知识的人。科学如果没有得到普及，就不能充分显示它的价值。
埃氏发明的筛法，其内容如下：
首先列出自然数数列：1，2，3，4，5，6，--------N；
先将单位数1置之不理，从2开始，以素数2当作一个“筛子”，将上述数列中的凡是含有2素因子的自然数全部筛出：4，6，8，10，12，14，--------；
接下来，将2之后的素数3当作一个“筛子”，将上述剩余数列中的凡是含有3素因子的自然数全部筛出：9，15，21，27，33，39，45，--------；
再接下来，将3之后的素数5当作一个“筛子”，将上述剩余数列中的凡是含有5素因子的自然数全部筛出：25，35，55，65，85，95，--------；
再接下来，将5之后的素数7当作一个“筛子”，将上述剩余数列中的凡是含有7素因子的自然数全部筛出：49，77，91，119，133，161，203，--------；
……
依此类推，将这个程序一直继续到某一个数值P，如果P的平方数已经超出了数列的最大值N，那么“筛”的过程就到此为止。这样，不超过N的素数表就制作成功。
显然，如果N这个数越大，“筛”的过程就会越长，相应的筛素数就越多，筛出的合数就越多，而留下的素数也会越来越多。
从埃氏筛法中可以看出：
指定的自然数数列中的最大数N是唯一的；
与N对应的平方根数 是唯一的；
小于N的平方根中的素数个数（就是筛素数个数）是唯一的；
自然数数列中的素数数列是唯一的。
上述的几条结论都是来源于经验。就是说：它本来就是这样的。后人总结出了皮亚诺自然数公理和自然数唯一分解定理，这都是数论的基础知识，不再赘述。
埃氏筛法的确是非常有效的。但是它有个“缺陷”，就是比较繁琐。如果要制作一个数值非常大（比如说是100的100次方这么一个大数）的素数表，要数出这个素数表中的素数个数几乎是不可能的。2000多年过去了，我们已经知道在无限的自然数中素数的个数是无限多的，但是我们还不知道小于100的100次方这个数的素数个数到底是多少个。通过几个世纪以来数学家们的努力，已经推导出来一个素数定理；但是这个素数定理是个渐进公式，其计算结果是个大约数，根本算不出一个自然数数列中到底有多少个素数存在。与此同时，数学家们对于这个古老的埃氏筛法还进行了不少改进，产生了一些新的理论成果。久而久之，古老的埃氏筛法没有理论意义的观点在数学界已经是家喻户晓、人人皆知，根深蒂固、“牢不可破”的了。
持“无用论”观点的人认为：埃氏筛法只是一个具体的操作方法，不能上升到理论的层面。具体的东西如果不能抽象出一个具有普遍意义的数学公式，就是没有理论意义。
还有的数学研究者为埃氏公式总结出一个公式如下：
л(χ)≥л( )+χ  —2л()
л(χ)≤л()+χ + 2л()
从上述公式中可以看出：X是自然数数列的最大值，л()是X中的筛素数个数， 2л()是埃氏筛法产生的误差，它随筛素数的增大而急剧增大；而且大到一定的程度之后，它的数值会超过主要项，产生出一个完全不合理的结果。
这就是“埃氏筛法没有理论意义”这个观点的理论依据。
埃氏筛法真的是没有理论意义的吗？其实，埃氏筛法是没有问题的，有问题的是这个认为它有问题的“理论”。因为如果一个“理论”没有反映事物的本来面貌，那么它就存在着“问题”。人们常说：“戴着有色眼镜来看事物，就看不到事物的本来面目。”上述的数学公式，我认为就是人们看埃氏筛法的“有色眼镜”。
当然我也不敢说：前辈数学家的这个观点就是错的。因为这个公式进入数学教科书已经多年了，数不胜数的数学家都接受了它、认可了它，我如果说它错了，岂不是犯了众怒？众怒难犯，众怒不可犯，这个道理我是懂的。
此外，这个公式是由哪一个国家的哪一个数学家在哪一个年月首先提出来的？这些问题我是一问三不知，在下如此孤陋寡闻，怎么能有勇气对前辈数学家的理论成果随便否定？
最重要的是：这个公式有三部分，其中两个部分的内容是正确的，是符合数学事实的；只有描述误差的第三部分有些偏差。一个式子2/3是对的，只有1/3有问题，所以我们不能贸然全盘否定它。
但是我们中国有一个成语，叫做“差之毫厘，谬之千里”，就是因为上述公式第三部分的“毫厘之差”，导致了整个公式完全无用的“千里之谬”。
那么，我们是否能够找到一个描述埃氏筛法没有“毫厘之差”的公式？
坦率地说，我找不出这样的公式；我认为别人也找不出这样的公式；人们永远也找不出这样的公式。这是数学界大多数人的看法。我赞同这个观点。如果谁一定要去寻找这个公式，我认为他是在做无用功。
然而，要找一个虽然存在着“毫厘之差”，但不会导致“千里之谬”的公式，是可能的。我把这个公式展示在这里，就教于各位方家。
л(χ)≥χ-
л(χ) ≤χ+
iHn= ， n>1
将这个公式与教科书上的公式一比较，聪明的读者一眼就可以看出：我的这个公式与教科书中的公式其主要项是一模一样的，不同的地方是在次要项上有了改动。
这种看法完全正确，的确是这样的。
这是一个前所未有的数学公式，要搞清楚它的来龙去脉，需要慢慢道来。要达到能够全面、准确地理解这个数学公式的内容，首先必须建立起四个新的数学概念：数塔A、合数集合Hn、非合数集合NHn、虚拟合数iH。这些概念都不是虚无缥缈的东西，只是原来数学概念的拓展或者是原本数学事实的总结。
1、数塔A
定义：从一根数轴to出发，在其原点O上，再引出两条射线t和t´，分别与to对称且夹角为 。令数轴to由上而下，则该图形如一金字塔，故命名为数塔，用A来表示。
数塔A具有五大要素：
①原点O，就是原数轴to的原点，表示计数的起点；
②方向，就是原数轴to的方向，表示次序大小的指向；
③单位数，即在原数轴to的单位数点上作一条垂直to且与t、t´相交线段，其线段以上面积就是数塔A的单位数面积。
④N阶层线，过to线任意一点N，作垂直于to的线段分别相交t线和t´线，所围成的面积表示N2这个连续量的值。
⑤辐射线tn，从原点O以一定的角度引出一条射线tn，两条辐射线之间的面积表示在一连续量中符合某种要求的离散量的大小。
通常以tOto面积表奇数集合，t´Oto面积表偶数集合。
数塔与数轴的异同：
两者相同的地方是：都有原点，方向，单位数，计数的起点，标准及其大小次序排列都有相同之处。
不同的地方是：数轴上的单位数是一维性，刚性的，每一个序数必定固定在唯一的一个位置上，所以在数轴上不能表达一个离散量；而在数塔上的单位数是二维性，柔性的，每个序数可根据需求随意安置在数塔上的某个位置。在数塔上不但可表达连续量的大小，也可表达这个连续量中某种离散量的大小。
数塔的作用：
由于数塔中各阶层线N与各辐射线tn相互等比例地分割对方，所以数塔这个新的数学工具的发明，为把代数、几何、集合、数论、概率、分析、离散、组合等多门学科共冶一炉创建了一个平台，能够把各种合数集合和非合数集合当中的数和形、数的连续和离散、数元素分布的均匀和不均匀问题非常形象、直观地反映出来。这使我想起了伟大的数学家华罗庚先生写的一首诗：
数和形，本是相倚依，
焉能分作两边飞？
数缺形时少知觉，
形少数时难入微。
数形结合百般好，
隔离分家万事非。
切莫忘
几何代数统一体，
永远联系，切莫分离。
这首诗，给我的感觉，就好象是特意为我发明的数塔而写的。数塔是用面积来表示数的。面积是具有二维性的，属于几何的范畴；而数列是描述数的性质的，属于代数的范畴。在一个很长的数列中，根据筛法规则不断地筛出合数元素，最后留下的是素数数列；等于在一个大的数塔中不断地“割”去小的合数数塔，最后留下的是素数数塔。所以在数塔中，不但能表达某一个连续量中其中一部份离散量的大小，而且还能表达这个离散量所占的比值。在数塔中，能很直观、形象地把素数集合个数趋于无穷大而其占自然数的比值趋于无穷小的特性准确在反映出来。这在数轴上是无法表达的。
我们现在在数塔上来讨论埃氏筛法，明显地可以体会到教科书中关于埃氏筛法的公式的不合理之处。
自然数数列N在数塔上可以并且必定能够找到唯一的一条阶层线来表达。这条线以上的面积就是表示N这个数列。
要在这个数列中筛出合数元素，等于把这块面积不断地缩小。如果筛素数越多，虽然面积缩小得越厉害，但是最后的结果，留下的面积其绝对值不是减小了而是增加了，这是因为筛素数越多，表示原来的数N就越大。“缩小”是最后的面积与开始的面积之比会越来越小；“增加”是最后的面积与单位数面积之比会越来越大。而原来教科书中的公式它表示的结果是随着筛素数的增加，最后的结果竟然有可能出现负值！这在实践上和理论上都是说不通的。
我们来比较一下：用数塔来描述自然数比用数轴来描述自然数对于理解自然数的性质更有优越性。为了清楚地说明和显示出数塔的优越性，我们还要接着学习下列几个新的数学概念。首先设定：素数数列2，3，5，7，11，13，17，-------- Pn 中， P0 =2；P1 =3；P2 = 5； P3 = 7 ；P4 = 11 ；------ Pn = Pn
；这个设定与教科书中的设定略有不同，因为我要凸现2这个特殊、首位素数的意义。
2、全素数阶乘2Pn！
定义：2Pn！=2·3·5·7……Pn-1
·Pn
将最小素数2至指定素数Pn当中的所有素数连乘。
3、奇素数阶乘Pn！
定义：Pn=3·5·7·11·13……Pn-1 ·将最小奇素数3至指定素数Pn当中的所有素数的连乘。
4、素数减一阶乘（Pn-1）！
定义：（Pn-1）！=2·4·6·10·……（Pn-1-1）·（Pn-1）
将指定素数Pn以及Pn之前的所有素数都减去1之后的连乘。
建立上述几个概念是为了描述合数集合Hn或者非合数集合NHn元素在一定的范围内的准确个数。这是使计算结果精确化的必由之路。而什么是合数集合Hn？什么是非合数集合NHn？请看下面的内容。它一点也不深奥，其基本思想就是出于埃氏筛法本身。
5、合数集合Hn
定义：自然数集中所有其最小素因子为Pn的合数之集合。
例：H0：表所有最小素因子为P0（2）的合数之集合。4，6，8，10，12，14，……（2·A）
H1：表所有最小素因子为P1（3）的合数之集合。9，15，21，27，33，39，45，51，……（3·NH0）
H2：表所有最小素因子为P2（5）的合数之集合。25，35，55，65，85，95，115，125，145……（5·NH1）
·
·
·
Hn：表所有最小素因子为Pn的合数之集合。
Pn2，Pn·Pn+1，Pn· Pn+2，Pn·Pn+3，……（Pn·NHn-1）
显然，在一个确定的连续自然数中，特别地，在整个自然数集A中，
H0>H1>H2>H3>……>Hn
H0>H1的意义是：在一个连续的自然数区间内，属于H0的元素要比属于H1的元素要多。
Hn集合的性质：
①Hn集合在自然数集A中是一无穷数列，最小元素为Pn2，没有最大元素；但在有限数集N中，必定存在一个最大元素。
②自然数集A中存在着无穷个Hn集合，而在有限数集N中存在着有限个Hn集合。每一个Hn集合都是不可替代的。表示其起始元素Pn2、元素之间的间隔和元素在自然数中的分布都是唯一的，各不相同的。
③Hn元素的分布规律：在Pn之后，连续2Pn！个自然数内必有（Pn-1-1）！个Hn元素。
④Hn集合随着n增大，元素之间的间隔增大且越来越不匀。其最小间隔为2·Pn；最大间隔为2Pn·Pn-2 。（只有H0、H1元素间隔是均匀的）。
⑤Hn元素在自然数集A中的比率是等于 ；
在有限数集N中的比率是近似 。
正是因为有这个等于和近似之间的差异，所以计算当中的误差就不可避免。
6、非合数集合NHn
定义：NHn=A-
自然数集A中，剔除了1和H0~Hn合数集合的元素之后剩余的数列。
在有限数集N中：素数集合P=N-
Pn≤< Pn+1
NHn数列表
NH0=A-H0-1
2，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，……
NH1=A-（H0+H1+1）
2，3，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，……
NH2=A-（H0+H1+H2+1）
2，3，5， 7，11，13，17，19，23，29，
31，
37，41，43，47，49，53，59，
61，
67，71，73，77，79，83，89，
91，
97，101, 103, 107, 109, 113, 119,
121，……
·
·
·
NHn=A-
2，3，5，7，11，13，……Pn，Pn+1，…… Pn+12……2Pn！-1
2Pn！+1，
2Pn！+Pn+1，……2Pn！+Pn+12……4Pn！-1
4Pn！+1，
4Pn！+Pn+1，……4Pn！+Pn+12……6Pn！-1
·
·
·
显然，NH0>NH1>NH2>NH3>……>NHn>……
NHn集合的性质：
①在无限数集A中，NHn为一无穷数列，最小元素为2，不存在最大元素；但在有限数集N中，NHn为有限数列，以至于全部元素都是素数，存在最大元素。NHn数列可以分为三段：筛素数；2……Pn ； 素数；……Pn ^2 ；准素数;……无限 ；随着筛素数的增多，第一区段元素缓慢增加；第二区段的元素快速增加；第三区段的元素密度越来越小。
②在无限数集A中，NHn数列中存在着无限种Hr(r>n)合数集合；而在有限数集N中，存在的Hr集合有限或无。
③NHn元素的分布，在Pn之后，连续2Pn！个范围内，必有（Pn-1）！个NHn元素；而在2Pn！之前，存在着（Pn-1）！+n个NHn元素。
2Pn！ ， 2Pn！ Pn+1，2Pn！Pn+2， ……都是NHn元素。
在NHn数列中，Pn！ 都是或都不是NHn元素。这表示这个集合的元素有周期性循环的性质。这个性质它很自然地传递给后来的合数集合。
 [<（Pn!-Pn）,自然数]
④NHn非合数集随着n增大，元素之间的间隔越来越大且不均匀。其最大间隔为2Pn-1；最小间隔不会变化。这个元素分布不均匀的性质会原原本本地传递给后来的合数集合。
⑤NHn元素在自然数集中的比值为 ；
Hn 、NHn概念及其性质是从“埃氏筛法”这口古老的井中深挖掘出来的一股新泉。这股新泉水能荡涤化解开不少笼罩在埃氏筛法和哥德巴赫猜想、杰波夫猜想头上的重重迷雾。合数集合、非合数集合在自然数数列中都是无限数列。它们都是自然数的一部分，相互依存、互相影响。各个集合数列的元素密度都不一样，而且都具有周期性循环往复的特点。自然数数列的元素密度是最大的，为1；合数集合、非合数集合的元素密度由1/2向0缓慢过渡，而所有的合数集合加上最后的这个非合数集合的元素密度之和就是等于1。
自然数集合、各种合数集合和非合数集合它们之间的关系是怎么样的呢？
自然数集合是天然的。它的元素分布是非常均匀的。无论何处，相同大的范围内其元素个数肯定是相同的。
合数集合和非合数集合是人造的，就是说，它是人们定义出来的东西。它的元素分布大体上是均匀的，但小体上不均匀。而每一个集合的元素分布都是唯一的，没有可比性。由于元素的分布大体上均匀，所以就可以大致估算；由于小体上不均匀，所以在估算中就存在着误差。教科书中对于这个误差的估算显然太大，没有正确反映实际情况，导致“埃氏筛法没有理论意义”。
而用数塔理论来分析埃氏筛法，就可以使这个算法具有理论意义。
我们将筛素数和它后面的合数集合反映在数塔上，都可以表达为一个个小的数塔，它的顶点都在数塔的原点上，但由于各种合数集合的元素密度不一样，所以表示每一个合数集合的小数塔它们彼此之间的夹角不同。筛素数处于这个小数塔的塔顶。因为每一个数在数塔中都要占据1个相同的单位数面积，所以每一个筛素数由于它角度不断变小，那么它的高度就要不断变大。
数列是离散的，它的元素个数肯定是整数；而小数塔是连续的，但它的面积就不一定是个整数，大部分情况下是个分数。而且各个数列的元素分布是不均匀的，数塔的面积分布是非常均匀的。如何来消除这个矛盾？我们用虚拟合数来消除这个矛盾。
7、虚拟合数iHn
定义：iHn= ， n>1
将自然数塔A，按照Hn集合和NHn非合数集合的性质，分成n+1个小数塔，分别是数塔A的 ， ， ，…… ，；这最后一个数塔就是非合数集合NHn占据的面积。在每一个合数数塔中，把在Pn阶层线以上的部分称为虚拟合数iHn。
按照这种方法建立小数塔的数学依据是：连续N个自然数中，必有且只有一个自然数能够为N整除。
iHn的性质：
①iHn只在数塔中存在，在数列中不存在。
②它总体上存在，具体上不存在，通常以分数形式存在。
③随n增大，iHn增大。
iH1=
iH2= =
iH3= =
iH4= =
·
·
·
iHn=
iH1<iH2<iH3<……<iHn
④在A数塔中，iHn表现为其顶角越来越小的三角形，其尖端部分是Pn，Pn元素在iHn中的下底线距原点距离是 。Pn下面还有一个梯形，其上顶宽为 ，下底宽为 ，高为Pn-。
⑤iHn具有典型的悖论性质，它出现在数塔A中的位置是属于NHn的区域，但它本身属性越来越多地是属于Hn性质。
引入iHn概念，在合数集合Hn和素数Pn元素之间制造了一个过渡的元素。本来一个自然数，或者是合数，或者是素数，两者必居其一。但是将数列反映在数塔上，就产生了一个虚拟合数：非此非彼，亦此亦彼。虚拟合数的数值是数列和数塔之间存在差别的调剂数值，就是说：实际数列的个数是在数塔表示的数值上下浮动，浮动的最大幅度就是这个虚拟合数的数值。它的存在，使合数和素数两种元素在小范围分布不均匀的问题得到弥合，这样就使原教科书中“埃氏筛法”计算误差太大的缺陷得到有效的消除，恢复了埃氏筛法的理论意义。素数个数由测不准变得可以精确估计。
上述概念的定义、性质和内容，建议读者要反复阅读思考五遍。为什么要读五遍呢？因为深刻的东西就需要反复地去理解。毛主席曾经说过：《红楼梦》这部书要读了五遍之后才有发言权。他老人家说这个话的意思就是说《红楼梦》是部内容非常深刻的书，不反复阅读5遍，思想认识就达不到能够正确理解它的程度。我创造的这几个新的数学概念，其内容同样是有一定的深度的。说句狂妄一点的话：这几个数学概念会和《红楼梦》一样与世长存。因为《红楼梦》揭示了人世间的真相；我创造的这几个新的数学概念揭示了自然数中合数和素数之间的性质关系的真相。它们表达的都是真理，真理当然会与世长存。
现在我们在数塔上来讨论埃氏筛法，制造几个素数表：50之内的素数表；120之内的素数表；126之内的素数表。
50之内的筛素数有4个：分别是2，3，5，7；
120之内的筛素数有4个：分别是2，3，5，7；
126之内的筛素数有5个：分别是2，3，5，7，11；
这3个数数值不一样，因此表达在数塔上就是其阶层线不一样。然而由于都是偶数，所以在数塔上其偶数的集合都表现为占据了数塔的一半，就是说用以区分偶数和奇数的辐射线是一样的。50之内的偶数有25个；120之内的偶数有60个；126之内的偶数有63个。
接下来要筛出含有3素因子的合数。上述3个偶数中的含有3素因子的合数个数是不一样的，但是这些合数所占据的比例是基本相同的：50之内有：（3），9，15，21，27，33，39，45；其比值是8/50=4/25
120之内有：（3），9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99，105，111，117；其比值是20/120=1/6
126之内有：（3），9，15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，87，93，99，105，111，117，123；其比值是21/126=1/6；
由于比值基本相同，所以可以用一条相同的辐射线来表达这个筛素数和它之后的合数集合。
接下来要筛出含有5素因子的合数。上述3个偶数中的含有5素因子的合数个数是不一样的，但是这些合数所占据的比例是基本相同的：50之内有：（5），25，35；其比值是：3/50
120之内有：（5），25，35，55，65，85，95，115；其比值是：8/120=1/15
126之内有：（5），25，35，55，65，85，95，115，125；其比值是：9/126=1/14
同样，由于比值基本相同，所以可以用一条相同的辐射线来表达这个筛素数和它之后的合数集合。
为什么这个比值会基本相同呢？其背后的数学思想是：N个连续自然数中，必定有一个并且只能有一个数能为N所整除。这个数学思想的背后就是自然数公理和自然数唯一分解定理。正是因为有这条基本原理作支撑，数塔理论的大厦才能屹立不倒。其实这个道理先辈们早就知道了，教科书中关于埃氏筛法的公式，其中的主要项的确定就反映了这个思想。这是完全正确的，因为这个思想完全符合实际情况。
现在我们来讨论公式中的次要项的问题，也就是埃氏筛法的误差问题。
按照埃氏筛法的操作步骤来制造素数表，一点误差都没有。由于自然数是无限的，如果要制造一个数值非常大的素数表，这在实际操作上做不到。每一个筛素数之后到底会筛出多少个合数？筛素数越往后就越拿不准。虽然模模糊糊地知道越往后，误差就越大。但到底是多大？人们一直没有一个准确的估计。现在有了数塔理论，这个疑问可以解开了。
自然数数列是一个均匀、完美的数列，用2这个素数去“筛”，一下子就“筛”出了自然数中的一半。
留下的一半也算是一个均匀的体系，就是说相同的范围内有一样多的元素。
再用素数3去“筛”剩下的1/2数列，又筛出了原来的1/3。这时，在筛素数这个元素之后连续6的范围内，总是存在着2个元素。
再接下来用素数5去“筛”剩下的数列，又筛出了其中的1/5；这时留下的数列就不是很均匀的了，但是大体上还是均匀的。在30的范围内，总是有8个元素存在。
再接下来用素数7去“筛”剩下的数列，又筛出了其中的1/7；留下的数列就更不均匀了，但是大体上还是均匀的，不过这个“体”——就是这个范围扩大了7倍。在210的范围内，总是有48个元素存在。
不断地用越来越大的筛素数去“筛”剩余的数列，数列的元素分布就会越来越不均匀。一个合数集合Hn的不均匀来源于它的母体——非合数集合NHn-1，而一个非合数集合NHn的不均匀来源于它前面所有合数集合的不均匀的叠加。由于这些集合的元素分布越来越不均匀，所以估计数列的元素个数就会出现越来越大的误差。
教科书中的公式认为：误差随着筛素数的增多呈现指数增长：2的л()次方。这是不符合实际情况的。由于有了这个错误的估计，当筛素数增长到一定程度，竟然会使结果出现负值，这是非常荒谬的。比如说：126当中的筛素数有5个，2的5次方是32，而小于126的素数个数只有30个。本来只有30的数值出现了32的误差，当然这个估计就毫无用处。
而我认为：这个误差是随着筛素数的增多呈现线性增长，也就是说每一个筛素数和它的合数集合的元素总量其平均值就是数塔中的那个小数塔的面积，它的最大值是再加上一个虚拟合数的面积，最小值是减去一个虚拟合数的面积。由于虚拟合数虽然它也是缓慢增大，但是它增大的速率与素数总量随筛素数增大而增大的速率现比较，显得恰如其分。再以126这个数据为例：按照数塔理论，在126的奇数数列中存在4个合数集合，每个集合的虚拟合数数值如下：
iH1=
iH2==
iH3==
iH4==
·
表示这个误差的最大值就是是这4个虚拟合数之和：7；
按照数塔理论计算出来的素数面积是：126*（1/2*2/3*4/5*6/7*10/11）=26，那么其真实值就是在19至33之间。实际数值是30。这个估计就具有理论意义。因为虚拟合数之和与数塔中表示素数面积的比值总是小于1，并且越来越小。
综上所述，要估计出一个自然数数列中存在多少素数，埃氏筛法是个有用的数学方法。利用数塔理论，可以使埃氏筛法赋予新的理论意义。它的基本思想是：根据自然数数列的大小，确定其最大值N；根据N的数值确定，再确定中的素数个数，这些素数就是筛素数；根据筛素数的个数，确定能够分拆出几个合数集合；每一个合数集合与整个自然数数列的比值是一定的，其数学依据是：连续N个自然数中必有且只有一个自然数能够为N所整除。而这个自然数数列中的素数数列就是整个自然数数列除去各个合数数列之后剩余下来的数列。
将上述埃氏筛法的思想反映在数塔上，就是：根据N的数值确定数塔的阶层线以确定这个数的面积；根据N数值确定的数值从而确定筛素数的个数，在数塔上就能够确定划出几条辐射线；因为各个合数集合的比值是一定的，所以反映合数集合的辐射线之间的角度就是一定的；素数集合就是整个数塔面积减去各个合数集合的面积之后剩余的面积。每一个合数集合与对应的小数塔存在着误差，这是由于数列元素分布不均匀造成的；弥补这个误差可以使用虚拟合数这个概念。运用虚拟合数这个概念，埃氏筛法就有了显著的理论意义。虚拟合数这个新数学概念是解决埃氏筛法具有理论意义的关键。掌握了这个新的数学概念，就会对自然数中素数和合数之间的关系有更深刻的认识。下面这几个关系式和式子中各个代数符号的意义，你必须完全搞清楚并且牢牢记住。
NHn= Hn
iHn=
Pn≤< Pn+1
以上就是我认为“埃氏筛法具有理论意义”的阐述。我创造了一个新的“数塔理论”，建立了几个新的数学概念，自己觉得其中并没有什么特别神秘、深奥、古怪的东西。
建立数塔概念是体现数与面积类比的思想，在数塔中用阶层线来表示一个自然数数列；
建立合数集合和非合数集合概念是体现将一个整体精细划分的思想，划分要有完备性和独立性，使整体中的每一个元素都有一个合适的归属，不重不漏；
将上述概念结合起来，把合数结合和非合数集合的数列放置在数塔中，用不同的辐射线来为它们定位；
由于数列的数和数塔的形、数列的离散和数塔的连续、数列的元素分布不均匀和数塔的面积分布很均匀存在着矛盾，创造了一个虚拟合数来消除这个矛盾。
消除了矛盾就创造了和谐，就能够使“几乎无用”的埃氏筛法恢复它的理论意义；能够破解许多前人没有解决的难题。
我不知道尊敬的读者你搞懂了它没有？如果你已经搞懂了，我就非常的高兴；如果你还没有搞懂，我只有万分的惭愧。我希望你把你的疑惑详细的告诉我，让我重新审视自己的思路脉络，发现不足，填补漏洞。科学上有千万条规则，但归根结底最重要的一条是要通俗易懂。每个人懂道理的本能是天生的，世界上的真理本质上都是简单的，绝对不存在什么人们不可能理解的真理。我们每一个人都是有智慧的，只要你努力，就一定能够发现一些别人没有发现的真理。我们每个人都要拥有这样一个坚定的信念。
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联络邮箱： ganshide@sina.com 上传：2007.05
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