⒌6 原子中的磁效应

根据量子力学，电子的轨道力矩等于

L=ћ 〔146〕

这里l—轨道量子数，ћ=h/2π，h—普朗克常数。

在没有激化的氢原子中，电子处在S能级。它的空间分布呈球形对称。它像是沿着整个原子“涂满一层”，这个涂层的半径等于电子第一阶的半径。上述结论是根据薛定谔方程式和采用海森堡测不准关系式而引出的。对于在S阶上的电子，状态1=0，因此根据上面的公式轨道力矩等于0。磁矩也应该等于零，但是斯特恩和格拉赫实验证明，氢原子具有磁矩，等于1磁波尔。由此得出结论：电子具有本征动量矩，称为“自旋”，并且有本征磁矩。﹝16﹞、

电子自旋提出的历史是这样的。1920年，为了解释碱金属光谱的双重周期，索末菲引入了内部量子数j=l+s，这里l—轨道量子数，s—原子实的动量矩。能级分裂成两个半级说明，动量矩s对于在空间上分裂的方向有两个定向。写出空间的量子法则形式是2S+1=2，索末菲认为值S=1/2。﹝17﹞

1925年春天在汉堡发表一篇文章，在文章中给出了泡利不相容原理的通式。在文章中泡利证明，索末菲关于原子实动量矩的假说，与多电子原子的层壳构造相矛盾。他提出了新的假说，根据这种假说动量矩S是由于电子本身具有双重量子性。在这种情况下，他没有把自己的观点同任何运动学模式相联系。他强调，电子性质的双重特性并不服从于经典的描述。实际上，为了描述电子的状况，泡利模型中引进了新的量子数。﹝16﹞、﹝17﹞

1925年9月，乌伦别克和古德斯密特在研究了上面的文章之后得出结论：电子的动量矩是由于它们围绕自己的轴旋转，从这时开始把电子的动量矩叫做“自旋”。电子自旋假说的提出，解决了当时在谱学上的所有困难。1928年狄拉克指出，可以由电子的相对论性量子力学方程更早地自动引出电子存在自旋的结论。所以，自旋概念牢牢地进入量子力学。﹝17﹞

通常认为，是斯特恩和格拉赫用实验证明了电子自旋的存在。但是这些实验的解释是不可信的。在电磁极之间透射的原子束中，轨道磁矩的矢量方向是随机性的。非均质场在原子上引起双重作用。它引起原子的旋进，同时在垂直它的运动方向上产生偏离。轨道磁矩的向量将沿着围绕磁场向量的方向作圆周运动。轨道磁矩向量绕过原子的一半，如果从磁场向量末端观察的话，它与磁场构成的角度从0°到90°，完成了逆时针方向的旋进。轨道磁矩向量绕过原子的另一半，它与磁场方向间的夹角从90°到180°，在相反的方向上旋进。在不均匀磁场中，原子的两半应该偏离开一定的距离，但是在不同方向上。因此，这些实验不能作为引出电子存在自旋结论的根据。

今天，斯特恩和格拉赫的实验作如下解释。根据公式〔146〕，在类氢原子中，电子的轨道力矩在正常状态下等于0。那些原子不应该接受从不均匀磁场方面来的作用，因为电子的轨道磁矩也应该是零。但是在实验中可以观察到电子束的分叉。曾经这样假设，电子有自己特殊的磁矩和力矩。这个假设是错误的。对于沿轨道运动的电子来说，轨道力矩不可能等于零。公式〔146〕不可信。量子轨道力矩按规律

L=nћ,

这里n=1，2，…，k—轨道数；k—阶号。

因此，氢原子束在不均匀磁场中的分叉，不是由于电子自旋，而是由于电子的轨道力矩。

在没有激化的氢原子中，电子以速度V₁^/=2.186500611×10⁶M·S^-1沿着圆形轨道运动。轨道半径r₁^/=0.529177249×10^-11M。它建立的磁矩等于1磁波尔M_B。磁矩方向与轨道力矩的方向正相反。一个磁波尔的值可根据下式确定⒅

单位：焦尔/特斯拉。这里e^/=1.60217733×10^-19C（库仑）—电子电荷；h=6.6260755×10^-34，J·s—普朗克常数；m₁=9.1093897×10^-31，kg—电子质量。

我们对〔147〕式进行分析，沿电子轨道半径运动产生的磁矩等于

M_B=Si=πr₁^/2i 〔148〕

这里S—带电导线的面积；i—电流强度。

电子旋转周期T=2πr^/₁/V^/₁，所以，i=e^//T=e^/V^/₁/(2πr^/₁)。

将求出的值代入〔148〕式，我们得到

〔149〕

假如在〔147〕式中代替h的是它的根据〔99〕式算出的值，那么公式将取下面的形式

〔150〕

比较〔150〕式和〔149〕式我们发现，根据〔149〕式算出来的磁玻尔大约比现在采用的值要少1.000544617倍。比照普朗克常数，一个磁玻尔应等于氢原子中电子、质子轨道磁矩的总和：

。

考虑等式V^/₁m₁=V^/₂m₁和r^/₁m₁=r^/₂m₂，我们得

〔151〕

代入已知数值，我们得到的精确值是M_B=9.2689701×10^-24焦尔/特斯拉。

〔149〕式还可以写成更多其它形式。我们推测，电子电荷均匀地沿圆形轨道分布，那样，电荷的线密度将等于

圆周上面的长度单位元，在垂直于场方向上将产生相对于y轴的磁矩等于

dM=V^/₁cosγ · r^/₁cosγσdl，

这里，γ—场方向和半径—矢量之间的夹角（图5.6）。

整个导线将产生磁矩

所以，只有在电子电荷沿轨道均匀分布的情况下，轨道磁矩才等于（e^/V^/₁r^/₁）/2。在氢原子中，电子电荷实际上集中在一个点上。因此，处在第一能级轨道的电子磁矩，应该用类似于物体的轨道力矩的公式来描述，这种物体的质量集中在一个点上，也就是说

M=e^/V^/₁r^/_1.

计算了核磁矩在内的精确的磁玻尔公式是

M_B=e^/V^/₁r^/₁β_B， 〔152〕

这里，β_B=1+m²₁/m²₂ 。

依据这个公式，一个磁玻尔M_B将等于18.5379403×10^-24J/T。

如果按〔151〕式确定电子的轨道磁矩，那么磁旋比就等于

而如果按照〔152〕式，结果是

。

实验证明，磁旋比等于e^//m₁。﹝7﹞因此，在〔151〕和〔152〕两个公式中，〔152〕式是正确的。

如果在氢原子中，电子和质子的轨道平面垂直于外磁场的方向，那么作用在电子和质子上的力将指向同一方向。与磁场方向有关的这些力或者增大，或者减小电子和质子相对于质心的旋转速度。对于在磁场中的氢原子，下列方程式应当有效：

〔153〕

这里和—在磁场中的氢原子内电子和质子的轨道速度；—磁场中电子的轨道半径。

用表示，我们得到

考虑及此，〔153〕式可以写成

〔154〕

这里

对于未激发的氢原子，可以写成

由此得到

现在〔154〕式具有的形式是

这个方程式反映了和H之间的关系。解之，我们得到

〔155〕

或者 〔156〕

由方程式〔155〕和〔156〕可得到下列等式

〔157〕

〔158〕

这里，

我们为了计算在原子中电子和质子的能量参数而推导出这些公式。从〔153〕式的左右两部分同时消去，就得到

〔159〕

如果电子沿圆形轨道运动，则沿直径方向的值等于它的势能，而值是它的总能量。所以，〔159〕式的右部等于电子沿直径方向的势能。〔159〕式的右部的两个部分除2，我们就得到了电子总能量的绝对值。现在可以写出沿圆形轨道运动的电子的能量积分：

类似地也可得到质子的能量积分表达式：

逐项认真归总两个方程式的结果，并注意到有等式

和，

我们得到“电子-质子”系统的总能量表达式

〔160〕

第一个方程式借助于电子的运动特征值，可用于计算“电子-质子”系统的总能量，而第二个方程式借助于质子的运动特征值计算该系统的总能量。

现在研究一下电子的轨道平面沿与磁场方向呈α角度分布时的一般情形（图5.7）。为方便计算，确定角度是从X轴的正方向起算。X轴和轨道平面

之间的角度在施加磁场之前是φ。在施加磁场之后，轨道平面与前一种状况相比偏斜一个δ角。这时候X轴和轨道平面间的夹角就等于α。洛仑兹力对于电子和质子的运动显示出两种影响。一部分力沿半径-矢量的方向改变着电子的旋转速度和轨道半径，而另一部分力沿垂直于半径-矢量的方向引起绕OA轴的旋转作用。

在一般场合能量积分取下面的形式

〔161〕

这里。

因为在进一步计算中将要利用电子运动的特征值，我们引入符号“1”来表述之。能量积分对于电子运动显示影响仅仅是在半径方向上的那部分力。这使公式〔156〕、〔157〕和〔158〕相应地取以下形式

〔162〕

； 〔163〕

； 〔164〕

。 〔165〕

根据〔162〕式确定速度，可找到处在激发态的“电子-质子”系统的总能量

。

由于力的作用，系统的能量将等于

，

这里E=21.78687544×10^-19J—未激发状态的“电子-质子”系统的总能量。

公式〔162〕给出了两个速度值：—在存在磁场的情况下电子的轨道速度和—电子的对流速度。改造一下公式〔163〕，我们就得到旋转磁矩的表达式﹝19﹞ ，

这里Ω-电子的角速度；ω-电子的转移角速度；I-惯性矩。

因为

，

所以

〔166〕

垂直方向的那部分洛仑兹力也构成“电子-质子”系统的附加的能量。旋转磁矩引起电子相对于核的运动

，

而旋转磁矩引起了质子相对于电子的运动

。

总的旋转磁矩等于

。

在轨道的偏斜角减少dα时将做功

。

这功改变了“电子-质子”系统的能量。在轨道的偏斜角从α₁减少到α₂时能量的变化值是

。

青

将此式与〔166〕式进行比较，可以得出结论：更精确的表达E_t将有下列形式

〔167〕

当α₂=0

〔168〕

总能量的增加值等于

。

在图5.8上表示了E_r、E_t和E_∑和轨道偏斜角α的关系。在计算时H的值采用等于0.70472930A/m。﹝20﹞E_r的值从+130.78438×10^-25到-130.78438×10^-25J，E_t 的值-从0到+261.56877×10^-25J，E_∑=+130.78438×10^-25J。

气态氢的电子轨道方向是随机性的。在图5.9表示在磁场中电子轨道发生重新定向。在扇面Ⅰ，电子偏斜的角度是δ₁并围绕X轴旋进。在旋进中轨道的偏斜角度不能大于δ₁。在电磁辐射的作用下，轨道的特定频率从A状态转移到B状态。在这时将发生氢原子对电磁能量的吸收。这种现象叫做磁共振。原子吸收的能量可根据公式E_t=hν求出。磁场强度H=0.70472930A/m，相应的共振频率ν=30.008mHz⒇，而吸收能量E_t=0.198822×10^-25J。当洛仑兹力创造的力矩与旋转磁矩平衡时的角度δ₁可按〔168〕式确定。

代入已知数值，我们知δ₁=2.2341094°。

在扇面Ⅱ展布的电子轨道将围绕瞬发的旋转轴旋进，同时沿顺时针方向旋转，带动Y轴瞬间的共同旋转。当轨道平面和Y轴之间的角等于δ₂时，洛仑兹力矩与旋转磁矩平衡。电磁辐射可以将电子轨道从A状态转移到C状态。这时将损失能量，等于hν。代入值ν=19750，我们得E_t=130.86499×10^-25J。在这种情况下，公式〔167〕取下面的形式

。

代入已知的值，我们得δ₂=0.07886604°。

处在扇区Ⅲ的电子轨道也将进动（旋进），并同时沿顺时针方向旋转。当轨道平面与X轴完全一致时，旋进停止。

对于处在A和C状态的轨道，满足等式

。

由此得到

如果用δ角表示α角，那么对于处在A状态的轨道，我们得到

而对于处在C状态的轨道

代入已知的数值，得ν₁=ω₁/2π=769.43505mHz，ν₂=19737.848mHz。

“电子-原子核”系统的总能量等于

〔169〕

当电子沿圆形轨道运动时

将V^/和r^/的值代入〔169〕式，得

， 〔170〕

这里k—能级（阶）的编号；ν—电子绕核旋转的频率。

高精确度地确定原子辐射波的频率按公式﹝5﹞

，

这里，E_n和E_m—“电子-原子核”系统在起始阶和最后阶上的总能量。

考虑〔170〕式，可写出

。

作为计算的例子，电子在从第二阶（能级）向第一阶跃迁时，辐射出的波频率

，相应的波长121.56683nm（纳米）。因此，辐射波的频率与第一阶上电子绕核旋转的频率不一致，与在第二阶上旋转的频率也不一致，甚至也不等于它们的差值。同样地，磁共振时吸收波的频率与轨道绕X轴、Y轴旋进的频率不一致。共振频率仅仅取决于吸收能量的大小。共振频率、磁矩和旋进频率之间可以观察到以下的关系：

我们研究了在α角是正值时磁场中电子轨道的特性。对于α角是负值的情况，可以得到类似的结果。

今天用磁共振的方法确定核磁矩和电子磁矩的精确值。认为共振应该在与拉莫尔频率相符合时发生﹝21﹞﹝22﹞：

〔171〕

在磁场中，当带电流的导线回路之平面平行于电场方向时，能量等于

〔172〕

按公式确定电子或原子核所吸收的能量后，可以利用〔172〕式计算磁矩。但是，对于电子和原子核，共振频率不能根据〔171〕式确定，而要根据下式﹝21﹞﹝23﹞：

〔173〕

这里，J—电子或原子核的自旋。

这公式左右两边同乘2π并根据〔150〕式和〔99〕式置换M和h的值，我们得到对于电子

。

如果考虑到电子自旋并不存在，且轨道磁矩不是〔150〕式所表达的，而是〔152〕式所表达的，我们也可以获得精确的电子轨道进动频率的表达式。因此，〔171〕式是不可信的。

根据现存理论，电子磁矩与外加磁场相互作用的能量可用下式表达﹝20﹞﹝23﹞

〔174〕

而核磁矩（与外加磁场）相互作用能量公式是〔21〕〔23〕

〔175〕

在氢原子中，核自旋等于1/2，且因此，上面的表达式对于核可以改造成相似于对电子的〔174〕式，也就是

。

在磁场强度H=70472930A/m时可以观察到频度为30.006mHz和19750mHz的电磁波能量的共振吸收。使用〔173〕式、〔174〕式和〔175〕式，我们得到电子的磁矩值M_e=9.2847701×10^-24J/T和质子的磁矩值M_p=1.4106076J/T。实验测得的磁矩值与理论不符合。根据〔150〕式，M_B=9.2740154×10^-24J/T，也就是比M_e少1.0011597倍。质子磁矩则处于更为混乱的状态。核磁子按下面公式﹝24﹞确定

这里m₂—质子质量。

此处如果用ћ的值代入，公式有以下形式

用这种形式很难理解该表达式所描述的是什么。根据实验结果，M_P比M_Я的值大2.7928474倍。

上面所阐述的理论消除了所有这些矛盾。电子和质子没有自旋和本征磁矩，原子核的磁和电的顺磁性共振，不是由于旋转着的核和电子的进动，而是由于电子轨道的进动。现在看来，电子轨道在平行磁场方向的绕轴进动，伴随有电子的进动；而电子轨道在垂直于磁场方向的绕轴进动，伴随有核的进动。

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