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 陈建国 （jianguochen4@yahoo.com） 2007.06
第五章 原子结构和原子光谱（2）
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⒌2 氢原子
电子在原子中的轨道参数可通过阶（层级）轨道的参数表达出来。﹝8﹞在电子沿圆形轨道运动时，“电子-原子”系统的全部能量，或者按以下公式确定
这里z/—核的有效电荷数；或者按另一公式确定
因为在以后我们将仅仅涉及与电子有关的值，字母上的/标记将不再需要。故此有等式
r/V/β=kθ
〔105〕
〔98〕式可写成下列形式：
让〔103〕式和〔106〕式的右部相等，可以写出
〔107〕
在氢原子中，有效电荷数z不计算运动效应时等于1，因此对于一阶轨道〔107〕式有形式
因此，对于沿圆形轨道运动的电子来说，在任何原子中都满足等式
z/r/=zr=k2rH
。
由此得到
公式〔103〕改造成形式
使〔104〕式和〔109〕式右部相等，我们得
用于一阶轨道
因此，等式〔110〕可以写成
由此找到
沿着椭圆轨道运动的电子，它的总能量可写成下面的等式
〔113〕式改变成下式
这里n—表征轨道拉伸程度特性的轨道数。
使〔113〕式和〔115〕式的右部相等，得
注意到
由上面等式可得到
这些公式可以写成下面的形式
这里 —椭圆的偏心率。
复合运算〔116〕、〔117〕、〔118〕各式，可以得到下列关系式：
乘并分解〔113〕式的右部到乘积Va/r/a，它就可以写成下式：
使〔114〕和〔122〕等式的右部相等并考虑到〔111〕式，得
类似地有
从这些等式知
用rH表示ra、rn和l，我们得
“电子-原子”系统的总能量可以通过单阶原子的总能量表达出来。根据〔123〕式和〔124〕式置换〔114〕式中的V/a和V/n值后，得
现在，用电子在单阶原子中的旋转周期来表述任何绕核电子的旋转周期。为此，用〔86〕式的μ值置换〔94〕式中的μ值，得表达式
用rH表达l，而用VH表达Va和Vn，得
在单阶原子（氢）中的电子，据此等式
也因为此，对于任何原子中的电子
利用〔125〕式，〔127〕式还可表成以下形式
我们开始计算氢原子中的电子轨道参数。借助于〔75/〕式找到VH=2.186442460×106M·S-1；rH=5.291913231×10-11M；EH=21.78571660×10-19J；TH=1.520738462×10-16S。由于运动效应，V/H 和E/H的值增加了，而r/H和T/H的值减小了。在计算中应用的值是βH=1.000544617，θ=1.157676525×10-4M2·S-1。在〔97〕式中电子电荷e/=1.60217733×10-19C。此时是假设e/的大小与电子运动速度无关，但这个假设是错误的。〔97〕式有仿照〔103〕式的形式：
〔97〕式和〔130〕式左部相等，右部也应相等，所以
e/2=z/e2，
但是因为 而对于氢z=1，即
代入数值得e=1.602156024C。
在表⒌2上列出了氢原子中相应4个阶（能级）的轨道参数。计算是按以下程序进行的。据〔112〕式确定电子沿圆形轨道的运动速度，对于氢原子，速度是
按〔123〕式和〔124〕式确定电子沿椭圆轨道运动时，在近心点和远心点的速度。对于氢原子有下式
在表上列出了电子速度的真值，也就是计算了运动效应的值。对于圆形轨道，我们按〔76〕式找到它。而对于椭圆轨道，是按下列公式
圆形轨道的半径、椭圆轨道在近心点和远心点的半径都可以按下式确定
在氢原子中，沿圆形轨道运动电子的有效电荷按下式确定
而沿椭圆轨道运动的电子按下式
表⒌2 在氢原子中的电子轨道参数
Ⅰ段
|
台阶数k
|
轨道类型及编号
|
轨道数n
|
近心点速度V/n1×106MS-1
|
远心点速度V/a1×106MS-1
|
近心点半径r/n1×10-10M
|
|
Ⅰ
|
圆形轨道
|
1
|
2.186500611
|
2.186500611
|
0.529177249
|
|
Ⅱ
|
1-圆形轨道
|
2
|
1.093228498
|
1.093228498
|
2.116751219
|
|
2-椭圆轨道
|
1
|
4.080011431
|
0.292931642
|
0.283589719
|
|
Ⅲ
|
1-圆形轨道
|
3
|
0.728816306
|
0.728816306
|
4.762707838
|
|
2-椭圆轨道
|
2
|
1.908068681
|
0.278383469
|
1.212793217
|
|
3-椭圆轨道
|
1
|
4.247877841
|
0.125045849
|
0.272382215
|
|
Ⅳ
|
1-圆形轨道
|
4
|
0.546611523
|
0.546611523
|
8.467047101
|
|
2-椭圆轨道
|
3
|
1.210882086
|
0.246749450
|
2.866620271
|
|
3-椭圆轨道
|
2
|
2.039985368
|
0.146464359
|
1.134367330
|
|
4-椭圆轨道
|
1
|
4.303484883
|
0.069429114
|
0.268862656
|
2段
|
台阶数k
|
轨道类型及编号
|
轨道数n
|
远心点半径r/a1×10-10M
|
电荷数z/
|
长轴长度l/1×10-10M
|
|
Ⅰ
|
圆形轨道
|
1
|
0.529177249
|
1.000026596
|
1.058354498
|
|
Ⅱ
|
1-圆形轨道
|
2
|
2.116751219
|
1.000006648
|
4.233502438
|
|
2-椭圆轨道
|
1
|
3.949885269
|
1.000013297
|
4.233474988
|
|
Ⅲ
|
1-圆形轨道
|
3
|
4.762707838
|
1.000002954
|
9.525415676
|
|
2-椭圆轨道
|
2
|
8.312608374
|
1.000004432
|
9.525401591
|
|
3-椭圆轨道
|
1
|
9.252977104
|
1.000008865
|
9.525359319
|
|
Ⅳ
|
1-圆形轨道
|
4
|
8.467047101
|
1.000001662
|
16.93409420
|
|
2-椭圆轨道
|
3
|
14.06746452
|
1.000002216
|
16.93408479
|
|
3-椭圆轨道
|
2
|
15.79969878
|
1.000003324
|
16.93406611
|
|
4-椭圆轨道
|
1
|
16.66514681
|
1.000006648
|
16.93400946
|
3段
|
台阶数k
|
轨道类型及编号
|
轨道数n
|
短轴长度b1/×10-10M
|
总能量E×10-10J
|
旋转周期T/1
×10-16S
|
|
Ⅰ
|
圆形轨道
|
1
|
1.058354498
|
21.78687544
|
1.520657574
|
|
Ⅱ
|
1-圆形轨道
|
2
|
4.233502438
|
5.446501565
|
12.16574593
|
|
2-椭圆轨道
|
1
|
2.116737494
|
5.446573992
|
12.16558416
|
|
Ⅲ
|
1-圆形轨道
|
3
|
9.525415676
|
2.420649477
|
41.05969589
|
|
2-椭圆轨道
|
2
|
6.350267727
|
2.420656632
|
41.05957452
|
|
3-椭圆轨道
|
1
|
3.175119773
|
2.420678093
|
41.05921049
|
|
Ⅳ
|
1-圆形轨道
|
4
|
16.93409420
|
1.361611812
|
97.32693805
|
|
2-椭圆轨道
|
3
|
12.70056359
|
1.361613322
|
97.32683021
|
|
3-椭圆轨道
|
2
|
8.467033055
|
1.361616339
|
97.32661453
|
|
4-椭圆轨道
|
1
|
4.233502366
|
1.361625391
|
97.32596751
|
椭圆轨道长轴的长度可按〔116〕式计算，但按下式计算更简单
l/=r/a+r/n 。
短轴的长度按下式计算
总能量按〔125〕式进行计算，对于氢原子有以下形式
对于氢原子〔128〕式也可简化为
在上述计算的基础上可以引出一系列的结论。每条轨道仅仅以两个量子数为其特征：k和n。在氢原子中电子电荷数z，只有在电子相对于核不运动的状态下才等于单位数。在氢原子中，沿轨道运动的电子电荷数z/大于单位数。处在同一阶轨道上，但沿n值不同的轨道运动的电子，其轨道长轴有不同的值且相应地具有不同的总能量。实验以很高的精确度测定了在氢原子中第一阶的轨道参数，其它的可能出现的轨道参数也可以同样精确地根据公式计算出来。图⒌1描绘了列在表上的氢原子的四个阶的可能的电子轨道。
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