第三章 相互作用物体的运动规律（2）
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⒊⒉ 两相互作用物体的轨道运动
对于在巨大质量物体场中运动的有单位质量的小物体来说，其能量积分具有以下形式
从这里得到，沿圆周轨道运动物体单位质量的势能等于
而沿椭圆轨道运动的等于
上述两等式的左、右两部分分别除 r ，我们得到
这里等式的左部表达的是向心力，而右部是离心力。
如果相互作用物体的质量是可以相当的，那么两个物体将沿各自的轨道运动（图⒊1）。在这种情况下，对于具有质量m1的物体来说，等式〔58〕将有如下式
而对于具有质量m 2的物体—
这里V1—物体m1的轨道速度；r1和l1—物体m1的矢量半径和椭圆轨道长轴的长度；V2、r2和l2—对应于物体m2的相应值；r=r1+r2—物体m1和m2之间的距离；μ1=f m2；μ2=f m1。
利用等式r=r1+r2和m1r1=m2r2 ，上述等式可转化为下式
这里，
在等式〔59〕中约简消去r1，在等式〔60〕中约简消去r2，得到相应于圆形轨道和椭圆轨道时的势能表达式：
对于物体m1
对于物体m2
我们根据三个等式系统计算出物体m1的总能量：
这里，Vn1和Va1—物体m1在远心点和近心点的速度；rn1和ra1—远心点和近心点的半径。
结果我们得到
类似地，对于物体m2我们有
现在可以写出物体m1和m2的能量积分：
逐项合并这两个等式，并考虑到等式
和
，我们得到两个物体系统的能量积分表达式：
因此，能量积分或者可以通过与物体m1相关的数值表达出来，或者通过与物体 m2相关的数值表达出来。不难证明，等式左部的所有各项等于等式右部的相应项。
从以上等式可以找出物体m1和m2在任何一种轨道上的轨道速度：
在椭圆轨道上
在圆形轨道上
在抛物线轨道上
在双曲线轨道上
切向速度
在椭圆轨道上
在圆形轨道上
在抛物线轨道上
在双曲线轨道上
径向速度
在椭圆轨道上
在圆形轨道上
在抛物线轨道上
在双曲线轨道上
轨道方程可由下列关系式导出
这里，ψ1和ψ2—物体m1和m2的真近顶角。
由于因子β1和β2可消去，积分之后就得到与等式〔55〕一样的等式。
物体m1和m2坐标的时间关系，表如下式：
对椭圆轨道
对抛物线轨道
对双曲线轨道
对于上列的所有三种场合，都有t1= t2。
开卜勒第二定律可表如下式
代入Vt的值，最终我们得到
在根据〔62〕式确定了物体m1和m2相互旋转的半周期之后，我们找到开卜勒第三定律的表达式
或者
现在精确的开卜勒第三定律用下式描述
这里，a—椭圆长半轴的长度。在我们看来，这个表达式是
正如我们看到的，〔63〕式和〔65〕式有差异。这一点可以这样解释：在公式〔65〕的结论中，物体m1的真质量被导出值所替换，而真正的半径r1当作是半径等于r，该r值比真值大β1倍。长半轴的长度在〔64〕式中也比真值长β1倍，也就是说
对于小物体m1来说，公式〔64〕转化为公式〔63〕时，“a”的值即如此。对于物体m2可进行类似地证明。因此，按公式〔64〕和〔63〕进行计算的结果是相互符合的。
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