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陈建国专栏 >> 陈建国译:物理学不相信悖论(3.2)

陈建国 (jianguochen4@yahoo.com) 2007.06

第三章 相互作用物体的运动规律(2)

(征求出版商与征求评论稿,未经书面授权、不得转载!)

⒊⒉ 两相互作用物体的轨道运动

对于在巨大质量物体场中运动的有单位质量的小物体来说,其能量积分具有以下形式

从这里得到,沿圆周轨道运动物体单位质量的势能等于

而沿椭圆轨道运动的等于

上述两等式的左、右两部分分别除 r ,我们得到

这里等式的左部表达的是向心力,而右部是离心力。

如果相互作用物体的质量是可以相当的,那么两个物体将沿各自的轨道运动(图⒊1)。在这种情况下,对于具有质量m1的物体来说,等式〔58〕将有如下式

而对于具有质量m 2的物体—

这里V1—物体m1的轨道速度;r1l1—物体m1的矢量半径和椭圆轨道长轴的长度;V2、r2l2—对应于物体m2的相应值;r=r1+r2—物体m1和m2之间的距离;μ1=f m2;μ2=f m1

利用等式r=r1+r2和m1r1=m2r2 ,上述等式可转化为下式

这里,

在等式〔59〕中约简消去r1,在等式〔60〕中约简消去r2,得到相应于圆形轨道和椭圆轨道时的势能表达式:

对于物体m1

对于物体m2

我们根据三个等式系统计算出物体m1的总能量:

这里,Vn1和Va1—物体m1在远心点和近心点的速度;rn1和ra1—远心点和近心点的半径。

结果我们得到

类似地,对于物体m2我们有

现在可以写出物体m1和m2的能量积分:

逐项合并这两个等式,并考虑到等式,我们得到两个物体系统的能量积分表达式:

因此,能量积分或者可以通过与物体m1相关的数值表达出来,或者通过与物体 m2相关的数值表达出来。不难证明,等式左部的所有各项等于等式右部的相应项。

从以上等式可以找出物体m1和m2在任何一种轨道上的轨道速度:

在椭圆轨道上

在圆形轨道上

在抛物线轨道上

在双曲线轨道上

切向速度

在椭圆轨道上

在圆形轨道上

在抛物线轨道上

在双曲线轨道上

径向速度

在椭圆轨道上

在圆形轨道上

在抛物线轨道上

在双曲线轨道上

轨道方程可由下列关系式导出

这里,ψ1和ψ2—物体m1和m2的真近顶角。

由于因子β1和β2可消去,积分之后就得到与等式〔55〕一样的等式。

物体m1和m2坐标的时间关系,表如下式:

对椭圆轨道

对抛物线轨道

对双曲线轨道

对于上列的所有三种场合,都有t1= t2

开卜勒第二定律可表如下式

代入Vt的值,最终我们得到

在根据〔62〕式确定了物体m1和m2相互旋转的半周期之后,我们找到开卜勒第三定律的表达式

或者

现在精确的开卜勒第三定律用下式描述

这里,a—椭圆长半轴的长度。在我们看来,这个表达式是

正如我们看到的,〔63〕式和〔65〕式有差异。这一点可以这样解释:在公式〔65〕的结论中,物体m1的真质量被导出值所替换,而真正的半径r1当作是半径等于r,该r值比真值大β1倍。长半轴的长度在〔64〕式中也比真值长β1倍,也就是说

对于小物体m1来说,公式〔64〕转化为公式〔63〕时,“a”的值即如此。对于物体m2可进行类似地证明。因此,按公式〔64〕和〔63〕进行计算的结果是相互符合的。

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