陈建国 （jianguochen4@yahoo.com）　2007.06

对于在巨大质量物体场中运动的有单位质量的小物体来说，其能量积分具有以下形式

从这里得到，沿圆周轨道运动物体单位质量的势能等于

而沿椭圆轨道运动的等于

上述两等式的左、右两部分分别除 r ，我们得到

这里等式的左部表达的是向心力，而右部是离心力。

如果相互作用物体的质量是可以相当的，那么两个物体将沿各自的轨道运动（图⒊1）。在这种情况下，对于具有质量m₁的物体来说，等式〔58〕将有如下式

而对于具有质量m ₂的物体—

这里V₁—物体m₁的轨道速度；r₁和l₁—物体m₁的矢量半径和椭圆轨道长轴的长度；V₂、r₂和l₂—对应于物体m₂的相应值；r=r₁+r₂—物体m₁和m₂之间的距离；μ₁=f m₂；μ₂=f m₁。

利用等式r=r₁+r₂和m₁r₁=m₂r₂ ，上述等式可转化为下式

这里，

在等式〔59〕中约简消去r₁，在等式〔60〕中约简消去r₂，得到相应于圆形轨道和椭圆轨道时的势能表达式：

对于物体m₁

对于物体m₂

我们根据三个等式系统计算出物体m₁的总能量：

这里，Vn₁和Va₁—物体m₁在远心点和近心点的速度；r_n1和r_a1—远心点和近心点的半径。

结果我们得到

类似地，对于物体m₂我们有

现在可以写出物体m₁和m₂的能量积分：

逐项合并这两个等式，并考虑到等式和，我们得到两个物体系统的能量积分表达式：

因此，能量积分或者可以通过与物体m₁相关的数值表达出来，或者通过与物体 m₂相关的数值表达出来。不难证明，等式左部的所有各项等于等式右部的相应项。

从以上等式可以找出物体m₁和m₂在任何一种轨道上的轨道速度：

在椭圆轨道上

在圆形轨道上

在抛物线轨道上

在双曲线轨道上

切向速度

在椭圆轨道上

在圆形轨道上

在抛物线轨道上

在双曲线轨道上

径向速度

在椭圆轨道上

在圆形轨道上

在抛物线轨道上

在双曲线轨道上

轨道方程可由下列关系式导出

这里，ψ₁和ψ₂—物体m₁和m₂的真近顶角。

由于因子β₁和β₂可消去，积分之后就得到与等式〔55〕一样的等式。

物体m₁和m₂坐标的时间关系，表如下式：

对椭圆轨道

对抛物线轨道

对双曲线轨道

对于上列的所有三种场合，都有t₁= t₂。

开卜勒第二定律可表如下式

代入V_t的值，最终我们得到

在根据〔62〕式确定了物体m₁和m₂相互旋转的半周期之后，我们找到开卜勒第三定律的表达式

或者

现在精确的开卜勒第三定律用下式描述

这里，a—椭圆长半轴的长度。在我们看来，这个表达式是

正如我们看到的，〔63〕式和〔65〕式有差异。这一点可以这样解释：在公式〔65〕的结论中，物体m₁的真质量被导出值所替换，而真正的半径r₁当作是半径等于r，该r值比真值大β₁倍。长半轴的长度在〔64〕式中也比真值长β₁倍，也就是说

对于小物体m₁来说，公式〔64〕转化为公式〔63〕时，“a”的值即如此。对于物体m₂可进行类似地证明。因此，按公式〔64〕和〔63〕进行计算的结果是相互符合的。

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