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 陈建国 （jianguochen4@yahoo.com） 2007.06
第三章 相互作用物体的运动规律（1）
(征求出版商与征求评论稿，未经书面授权、不得转载！)
⒊⒈质量极小物体的轨道运动
两个相互作用的物体沿着轨道相互推动，如果中心物体的质量很大，且它的运动可以忽略不计，那么对于质量极小的单个物体，其能量和动量矩的守恒可以表如下式：
这里，V—轨道速度；r—半径—矢量；Vt—切线速度。
在重力场的相互作用中μ=fM，这里f—万有引力常数，M—中心物体质量。
对于沿着椭圆轨道运动的物体，将满足下列等式
这里，Vn和Va—物体在近心点和远心点的速度；rn和ra—近心和远心半径。
解该等式系统，我们得
这里 l —椭圆长轴的长度。
现在对应于每个可能轨道，其能量积分和和轨道速度都可以表现为下列方程式：
对于椭圆
对于圆
对于抛物线
对于双曲线
对于各种类型轨道，切向速度都等于
据〔53〕式找到Vn的值，我们最终得到
对于椭圆轨道
对于圆形轨道
对于抛物线轨道
对于双曲线轨道
确定径向速度根据公式
对于椭圆轨道
对于圆形轨道
对于抛物线轨道
对于双曲线轨道
轨道方程式可由下述关系式获得
对于椭圆轨道
对于圆形轨道
对于抛物线轨道
对于双曲线轨道
这里ψ—真近点角。方程〔55〕表述了开卜勒第一定律。
天体行过轨道长度元dS的时间等于
由此获得表达式
对于椭圆轨道
对于抛物线轨道
对于双曲线轨道
现在我们推导开卜勒第二定律。扇形的速率
将〔54〕式中的dψ值代入此式，而dt的值由〔56〕式代入，我们得
因此，对于任何一种轨道类型，扇形速率都是稳定值。半径矢量在时间t内所扫过的面积等于
为了获得开卜勒第三运动定律的表述，我们据〔57〕式找到椭圆轨道的半周期
在人造地球卫星的研究中，方便地应用了表述经过真近点角时间的公式：
对于椭圆轨道
对于抛物线轨道
对于双曲线轨道
在任意瞬间，不仅可以确定物体的坐标，也可确定其运动方向。利用关系式 我们得
对于椭圆轨道
对于抛物线轨道
对于双曲线轨道
这里α—半径-矢量和运动方向之间的角度。
可以认为，抛物线是长轴大到极限的椭圆。物体沿着抛物线轨道运动的速度无限地趋近于零。物体沿着双曲线轨道运动的速度，最终将趋近于完全确定的有限值。它可以由能量守恒定律确定：
由此
 。
（译者注：因为（ ）=0，利用上二式可得）
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