陈建国 （jianguochen4@yahoo.com）　2007.06

⒈⒏ 多普勒效应

目前，多普勒效应通常用下面的公式表述 ，

这里ν₀—波源发射出来的波的频率；ν—接收器接收到的波的频率；V和U—接收器和波源的相应的运动速度；C₀—波的传播速度；α₀和β₀—在波发射时刻观测线和接收器、波源的运动线三者之间所夹的相应角度。

该公式不考虑次生波列V/C₀和U/C₀。

波是在介质中传播的，所以，波源和接收器都相对于介质在运动并且影响到接收器所接收到的波的频率。然而根据相对论，光波是在真空中传播的。没有宇宙以太，所以接收器接收到的光波的频率仅仅与波源和接收器的相对运动有关。多普勒效应一般表如下式

第一个公式是描写接收器坐标系中的多普勒效应公式，而第二个公式是描写光源坐标系中的多普勒效应公式。因此，在第一个公式中V是光源的运动速度，ψ—观测线和光源运动方向之间的夹角，而在第二个公式中V—接收器的运动速度，ψ—观测线和接收器运动方向之间的夹角。

相对论的公式歪曲地描述了光学现象。光学和声学本来服从同样的规律。下面分三种可能的情况导出精确的公式。

在图⒈⒔a，描绘了当波源静止在B₀点，而接收器沿着直线A₀A运动时的情况。接收器在波发射的瞬间处在A₀点，而A点—波与接收器相遇的瞬间所处位置。对应于相遇前的无限小的时间间隔dt，波处在离开接收器无限小的距离dl。接收器所接收到的波的瞬时频率可由下式确定

这里C—波与接收器接近的速度；λ—波长。

对于静止的接收器有λ=λ₀；C=C₀；ν₀=C₀/λ₀ 。对于运动的接收器有λ=λ₀=C₀/v₀ ，（注：此处原书印刷错误，译时已改正。此类情况以后不再说明）而

这里α—观测线和接收器在与波相遇的瞬间运动方向之间的夹角。

将λ和C的值代入〔27〕式，得到

。

当α₀=90°时，

当α=90°时，

当cosα₀=- cosα=V/2C₀时，将观察不到多普勒效应。在这个界限时刻角α和α₀将达极大值。当增大或者减小界限角时它们的值减小，并直到它们在界限角达到0°或180°时等于零。如α=α₀=0；ν=ν₀(C₀+V)/C₀ 。如 α=α₀=180°；ν=ν₀(C₀-V)/C₀ 。

在图⒈⒔b，描绘了当波源沿着直线B₀B运动，而接收器静止在A₀点的情况。波源在B点出现的瞬间，从B₀点发射的波到达了接收器。它向接收器靠近的速度C=C₀ 。在线段BA₀方向上的波长

在这种场合，公式〔27〕取下面的形式

如β₀=90°，；如β=90°，。

当cosβ₀=- cosβ=U/2C₀时，将观察不到多普勒效应。β₀和β角之间的关系也正如α₀和α角之间的关系一样。 在β₀=β=0时，ν=ν₀C₀/(C₀-U)。在β₀=β=180°时，ν=ν₀C₀/(C₀+U)。

在图⒈⒔c描绘了接收器和波源同时运动的情况，在接收器出现在A点而波源在B点的瞬间，接收器收到了从B₀点发射来的波。接收器在波发射时处于A₀点。由于接收器的运动，接收到的波的频率

。

由于接收器和波源同时运动，所接收到的波的频率

用下列等式置换ν₁的值并演算，这些等式是

α₁=α+δ=α+arcsin(Usinβ)/C₀；

β₁=β₀-γ=β₀-arcsin(Vsinα₀)/C₀ 。整理后得到

如果波源不动，那么公式就转换成〔28〕式，而如果接收器不动，就转换成〔29〕式。

当α₀=β₀=90°时，；

当α=β=90°时，

在波源和接收器沿着观测线运动的时候，公式〔30〕就转变成众所周知的纵向多普勒效应公式

对于第三种种场合，公式的写法还可以作些改变。公式更为简单的形式是

这里α₁和β₁—波源和接收器的运动方向与连接波的发射点和波与接收器相遇点之间的连线形成的夹角。

参考文献
①Л·М·勃列霍夫斯基“层状介质中的波”，莫斯科，科学，1973。
②К·А·库利科夫“球体天文学教程”，莫斯科，科学，1969。
③В·Н·马特维因科、Ф·Ю·塔拉休克“声纳器材的作用深度”，列宁格勒，造船，1976。
④И·Ф·库什金“大气圈中光线的折光差”，莫斯科，矿产，1971。

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